Beginning and Intermediate Algebra
An open source (CC-BY) textbook
Available for free download at: http://wallace.ccfaculty.org/book/book.html
by Tyler Wallace
1

---

ISBN #978-1-4583-7768-5
Copyright 2010, Some Rights Reserved CC-BY.
Beginning and Intermediate Algebra by Tyler Wallace is licensed under a Creative Commons
Attribution 3.0 Unported License. (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/)
Based on a work at http://wallace.ccfaculty.org/book/book.html.
You are free:
•
to Share: to copy, distribute and transmit the work
•
to Remix: to adapt the work
Under the following conditions:
•
Attribution: You must attribute the work in the manner specified by the author or
licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the
work).
With the understanding that:
•
Waiver: Any of the above conditions can be waived if you get permission from the copy-
right holder.
•
Public Domain: Where the work or any of its elements is in the public domain under
applicable law, that status is in no way affected by the license.
•
Other Rights: In no way are any of the following rights affected by the license:
−
Your fair dealing or fair use rights, or other applicable copyright exceptions and
limitations;
−
The author’s moral rights;
−
Rights other persons may have either in the work itself or in how the work is used
such as publicity or privacy rights
•
Notice: For any reuse or distribution, you must make clear to others the license term of
this work. The best way to do this is with a link to the following web page:
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/
This is a human readable summary of the full legal code which can be read at the following
URL: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode
2

---

Special thanks to: My beautiful wife, Nicole Wallace
who spent countless hours typing problems and
my two wonderful kids for their patience and
support during this project
Another thanks goes to the faculty reviewers who reviewed this text: Donna Brown, Michelle
Sherwood, Ron Wallace, and Barbara Whitney
One last thanks to the student reviewers of the text: Eloisa Butler, Norma Cabanas, Irene
Chavez, Anna Dahlke, Kelly Diguilio, Camden Eckhart, Brad Evers, Lisa Garza, Nickie Hamp-
shire, Melissa Hanson, Adriana Hernandez, Tiffany Isaacson, Maria Martinez, Brandon Platt,
Tim Ries, Lorissa Smith, Nadine Svopa, Cayleen Trautman, and Erin White
3

---

Table of Contents
Chapter 0: Pre-Algebra
Chapter 3: Inequalities
0.1 Integers.........................................7
3.1 Solve and Graph Inequalities....118
0.2 Fractions.....................................12
3.2 Compound Inequalitites............124
0.3 Order of Operations....................18
3.3 Absolute Value Inequalities.......128
0.4 Properties of Algebra..................22
Chapter 4: Systems of Equations
Chapter 1: Solving Linear Equations
4.1 Graphing...................................134
1.1 One-Step Equations....................28
4.2 Substitution..............................139
1.2 Two-Step Equations....................33
4.3 Addition/Elimination................146
1.3 General Linear Equations...........37
4.4 Three Variables.........................151
1.4 Solving with Fractions................43
4.5 Application: Value Problems.....158
1.5 Formulas.....................................47
4.6 Application: Mixture Problems.167
1.6 Absolute Value Equations...........52
Chapter 5: Polynomials
1.7 Variation.....................................57
5.1 Exponent Properties.................177
1.8 Application: Number/Geometry.64
5.2 Negative Exponents..................183
1.9 Application: Age.........................72
5.3 Scientific Notation.....................188
1.10 Application: Distance................79
5.4 Introduction to Polynomials.....192
Chapter 2: Graphing
5.5 Multiply Polynomials................196
2.1 Points and Lines.........................89
5.6 Multiply Special Products.........201
2.2 Slope...........................................95
5.7 Divide Polynomials...................205
2.3 Slope-Intercept Form................102
2.4 Point-Slope Form......................107
2.5 Parallel & Perpendicular Lines.112
4

---

Chapter 6: Factoring
Chapter 9: Quadratics
6.1 Greatest Common Factor..........212
9.1 Solving with Radicals................326
6.2 Grouping...................................216
9.2 Solving with Exponents............332
6.3 Trinomials where a = 1..............221
9.3 Complete the Square.................337
6.4 Trinomials where a
1..............226
9.4 Quadratic Formula....................343

6.5 Factoring Special Products.......229
9.5 Build Quadratics From Roots...348
6.6 Factoring Strategy....................234
9.6 Quadratic in Form....................352
6.7 Solve by Factoring.....................237
9.7 Application: Rectangles............357
Chapter 7: Rational Expressions
9.8 Application: Teamwork.............364
7.1 Reduce Rational Expressions....243
9.9 Simultaneous Products.............370
7.2 Multiply and Divide..................248
9.10 Application: Revenue and Distance.373
7.3 Least Common Denominator....253
9.11 Graphs of Quadratics..............380
7.4 Add and Subtract.....................257
Chapter 10: Functions
7.5 Complex Fractions....................262
10.1 Function Notation...................386
7.6 Proportions...............................268
10.2 Operations on Functions.........393
7.7 Solving Rational Equations.......274
10.3 Inverse Functions....................401
7.8 Application: Dimensional Analysis....279
10.4 Exponential Functions.............406
Chapter 8: Radicals
10.5 Logarithmic Functions............410
8.1 Square Roots.............................288
10.6 Application: Compound Interest.414
8.2 Higher Roots.............................292
10.7 Trigonometric Functions.........420
8.3 Adding Radicals........................295
10.8 Inverse Trigonometric Functions.428
8.4 Multiply and Divide Radicals...298
Answers........................................438
8.5 Rationalize Denominators.........303
8.6 Rational Exponents...................310
8.7 Radicals of Mixed Index...........314
8.8 Complex Numbers.....................318
5

---

Chapter 0 : Pre-Algebra
0.1 Integers ............................................................................................................7
0.2 Fractions ........................................................................................................12
0.3 Order of Operations .......................................................................................18
0.4 Properties of Algebra .....................................................................................22
6

---

0.1
Pre-Algebra - Integers
Objective: Add, Subtract, Multiply and Divide Positive and Negative
Numbers.
The ability to work comfortably with negative numbers is essential to success in
algebra. For this reason we will do a quick review of adding, subtracting, multi-
plying and dividing of integers. Integers are all the positive whole numbers, zero,
and their opposites (negatives). As this is intended to be a review of integers, the
descriptions and examples will not be as detailed as a normal lesson.
World View Note: The first set of rules for working with negative numbers was
written out by the Indian mathematician Brahmagupa.
When adding integers we have two cases to consider. The first is if the signs
match, both positive or both negative. If the signs match we will add the num-
bers together and keep the sign. This is illustrated in the following examples
Example 1.
− 5 + ( − 3)
Same sign, add 5 + 3, keep the negative
− 8
Our Solution
Example 2.
− 7 + ( − 5)
Same sign, add 7 + 5, keep the negative
− 12
Our Solution
If the signs don’t match, one positive and one negative number, we will subtract
the numbers (as if they were all positive) and then use the sign from the larger
number. This means if the larger number is positive, the answer is positive. If the
larger number is negative, the answer is negative. This is shown in the following
examples.
Example 3.
− 7 + 2
Different signs, subtract 7 − 2, use sign from bigger number, negative
− 5
Our Solution
Example 4.
− 4 + 6
Different signs, subtract 6 − 4, use sign from bigger number, positive
2
Our Solution
7

---

Example 5.
4 + ( − 3)
Different signs, subtract 4 − 3, use sign from bigger number, positive
1
Our Solution
Example 6.
7 + ( − 10)
Different signs, subtract 10 − 7, use sign from bigger number, negative
− 3
Our Solution
For subtraction of negatives we will change the problem to an addition problem
which we can then solve using the above methods. The way we change a subtrac-
tion to an addition is to add the opposite of the number after the subtraction
sign. Often this method is refered to as “add the opposite.” This is illustrated in
the following examples.
Example 7.
8 − 3
Add the opposite of 3
8 + ( − 3)
Different signs, subtract 8 − 3, use sign from bigger number, positive
5
Our Solution
Example 8.
− 4 − 6
Add the opposite of 6
− 4 + ( − 6)
Same sign, add 4 + 6, keep the negative
− 10
Our Solution
Example 9.
9 − ( − 4)
Add the opposite of − 4
9 + 4
Same sign, add 9 + 4, keep the positive
13
Our Solution
Example 10.
− 6 − ( − 2)
Add the opposite of − 2
− 6 + 2
Different sign, subtract 6 − 2, use sign from bigger number, negative
− 4
Our Solution
8

---

Multiplication and division of integers both work in a very similar pattern. The
short description of the process is we multiply and divide like normal, if the signs
match (both positive or both negative) the answer is positive. If the signs don’t
match (one positive and one negative) then the answer is negative. This is shown
in the following examples
Example 11.
(4)( − 6)
Signs do not match, answer is negative
− 24
Our Solution
Example 12.
− 36
Signs match, answer is positive
− 9
4
Our Solution
Example 13.
− 2( − 6)
Signs match, answer is positive
12
Our Solution
Example 14.
15
Signs do not match, answer is negative
− 3
− 5
Our Solution
A few things to be careful of when working with integers. First be sure not to
confuse a problem like − 3 − 8 with − 3( − 8). The second problem is a multipli-
cation problem because there is nothing between the 3 and the parenthesis. If
there is no operation written in between the parts, then we assume that means we
are multiplying. The − 3 − 8 problem, is subtraction because the subtraction sep-
arates the 3 from what comes after it. Another item to watch out for is to be
careful not to mix up the pattern for adding and subtracting integers with the
pattern for multiplying and dividing integers. They can look very similar, for
example if the signs match on addition, the we keep the negative, − 3 + ( − 7) = −
10, but if the signs match on multiplication, the answer is positive, ( − 3)( − 7) =
21.
9

---

0.1 Practice - Integers
Evaluate each expression.
1) 1 − 3
2) 4 − ( − 1)
3) ( − 6) − ( − 8)
4) ( − 6) + 8
5) ( − 3) − 3
6) ( − 8) − ( − 3)
7) 3 − ( − 5)
8) 7 − 7
9) ( − 7) − ( − 5)
10) ( − 4) + ( − 1)
11) 3 − ( − 1)
12) ( − 1) + ( − 6)
13) 6 − 3
14) ( − 8) + ( − 1)
15) ( − 5) + 3
16) ( − 1) − 8
17) 2 − 3
18) 5 − 7
19) ( − 8) − ( − 5)
20) ( − 5) + 7
21) ( − 2) + ( − 5)
22) 1 + ( − 1)
23) 5 − ( − 6)
24) 8 − ( − 1)
25) ( − 6) + 3
26) ( − 3) + ( − 1)
27) 4 − 7
28) 7 − 3
29) ( − 7) + 7
30) ( − 3) + ( − 5)
Find each product.
31) (4)( − 1)
32) (7)( − 5)
33) (10)( − 8)
34) ( − 7)( − 2)
35) ( − 4)( − 2)
36) ( − 6)( − 1)
37) ( − 7)(8)
38) (6)( − 1)
39) (9)( − 4)
40) ( − 9)( − 7)
41) ( − 5)(2)
42) ( − 2)( − 2)
43) ( − 5)(4)
44) ( − 3)( − 9)
10

---

45) (4)( − 6)
Find each quotient.
46) 30
47) − 49
− 10
− 7
48) − 12
49) − 2
− 4
− 1
50) 30
6
51) 20
10
52) 27
3
53) − 35
− 5
54) 80
− 8
55) − 8
− 2
56) 50
5
57) − 16
2
58) 48
8
59) 60
− 10
60) 54
− 6
11

---

0.2
Pre-Algebra - Fractions
Objective: Reduce, add, subtract, multiply, and divide with fractions.
Working with fractions is a very important foundation to algebra. Here we will
briefly review reducing, multiplying, dividing, adding, and subtracting fractions.
As this is a review, concepts will not be explained in detail as other lessons are.
World View Note: The earliest known use of fraction comes from the Middle
Kingdom of Egypt around 2000 BC!
We always like our final answers when working with fractions to be reduced.
Reducing fractions is simply done by dividing both the numerator and denomi-
nator by the same number. This is shown in the following example
Example 15.
36
Both numerator and denominator are divisible by 4
84
36 ÷ 4
9
=
Both numerator and denominator are still divisible by 3
84 ÷ 4
21
12

---

9 ÷ 3
3
=
Our Soultion
21 ÷ 3
7
The previous example could have been done in one step by dividing both numer-
ator and denominator by 12. We also could have divided by 2 twice and then
divided by 3 once (in any order). It is not important which method we use as
long as we continue reducing our fraction until it cannot be reduced any further.
The easiest operation with fractions is multiplication. We can multiply fractions
by multiplying straight across, multiplying numerators together and denominators
together.
Example 16.
6 3
·
Multiply numerators across and denominators across
7 5
18
Our Solution
35
When multiplying we can reduce our fractions before we multiply. We can either
reduce vertically with a single fraction, or diagonally with several fractions, as
long as we use one number from the numerator and one number from the denomi-
nator.
Example 17.
25 32
·
Reduce 25 and 55 by dividing by 5. Reduce 32 and 24 by dividing by 8
24 55
5
4
·
Multiply numerators across and denominators across
3 11
20
Our Solution
33
Dividing fractions is very similar to multiplying with one extra step. Dividing
fractions requires us to first take the reciprocal of the second fraction and mul-
tiply. Once we do this, the multiplication problem solves just as the previous
problem.
13

---

Example 18.
21
28
÷
Multiply by the reciprocal
16
6
21
6
·
Reduce 21 and 28 by dividing by 7. Reduce 6 and 16 by dividing by 2
16 28
3 3
·
Multiply numerators across and denominators across
8 4
9
Our Soultion
32
To add and subtract fractions we will first have to find the least common denomi-
nator (LCD). There are several ways to find an LCD. One way is to find the
smallest multiple of the largest denominator that you can also divide the small
denomiator by.
Example 19.
Find the LCD of 8 and 12
Test multiples of 12
12
12?
Can′t divide 12 by 8
8
24
24?
= 3
Yes! We can divide 24 by 8!
8 24 OurSoultion
Adding and subtracting fractions is identical in process. If both fractions already
have a common denominator we just add or subtract the numerators and keep the
denominator.
Example 20.
7
3
+
Same denominator, add numerators 7 + 3
8
8
10
Reduce answer, dividing by 2
8
5
Our Solution
4
While 5 can be written as the mixed number 1 1 , in algebra we will almost never
4
4
use mixed numbers. For this reason we will always use the improper fraction, not
the mixed number.
14

---

Example 21.
13
9
−
Same denominator, subtract numerators 13 − 9
6
6
4
Reduce answer, dividing by 2
6
2
Our Solution
3
If the denominators do not match we will first have to identify the LCD and build
up each fraction by multiplying the numerators and denominators by the same
number so the denominator is built up to the LCD.
Example 22.
5
4
+
LCD is 18.
6
9
3 · 5
4 · 2
+
Multiply first fraction by 3 and the second by 2
3 · 6
9 · 2
15
8
+
Same denominator, add numerators, 15 + 8
18
18
23
Our Solution
18
Example 23.
2
1
−
LCD is 6
3
6
2 · 2
1
−
Multiply first fraction by 2, the second already has a denominator of 6
2 · 3
6
4
1
−
Same denominator, subtract numerators, 4 − 1
6
6
3
Reduce answer, dividing by 3
6
1
Our Solution
2
15

---

0.2 Practice - Fractions
Simplify each. Leave your answer as an improper fraction.
1) 42
2) 25
12
20
3) 35
4) 24
25
9
5) 54
6) 30
36
24
7) 45
8) 36
36
27
9) 27
10) 48
18
18
11) 40
12) 48
16
42
13) 63
14) 16
18
12
15) 80
16) 72
60
48
17) 72
18) 126
60
108
19) 36
20) 160
24
140
Find each product.
21) (9)(8)
22) ( − 2)( − 5)
9
6
23) (2)( − 2)
24) ( − 2)(1)
9
3
25) ( − 2)(13)
26) ( 3)( 1 )
8
2
2
27) ( − 6)( − 11)
28) ( − 3)( − 11)
5
8
7
8
29) (8)(1 )
30) ( − 2)( − 9)
2
7
31) ( 2)( 3 )
32) ( − 17)( − 3)
3
4
9
5
33 (2)(3)
34) ( 17)( − 3)
2
9
5
35) ( 1)( − 7)
36) ( 1)( 5 )
2
5
2
7
16

---

Find each quotient.
37) − 2 ÷ 7
38) − 12 ÷ − 9
4
7
5
39) − 1 ÷ − 1
40) − 2 ÷ − 3
9
2
2
41) − 3 ÷ 13
42) 5 ÷ 7
2
7
3
5
43) − 1 ÷ 2
44) 10 ÷ − 6
3
9
45) 8 ÷ 1
46) 1 ÷ −5
9
5
6
3
47) − 9 ÷ 1
48) − 13 ÷ − 15
7
5
8
8
49) − 2 ÷ − 3
50) − 4 ÷ − 13
9
2
5
8
51) 1 ÷ 3
52) 5 ÷ 5
10
2
3
3
Evaluate each expression.
53) 1 + ( − 4)
54) 1 + ( − 11)
3
3
7
7
55) 3 − 1
56) 1 + 5
7
7
3
3
57) 11 + 7
58) ( − 2) + ( − 15)
6
6
8
59) 3 + 5
60) ( − 1) − 2
5
4
3
61) 2 + 5
62) 12 − 9
5
4
7
7
63) 9 + ( − 2)
64) ( − 2) + 5
8
7
6
65) 1 + ( − 1)
66) 1 − 11
3
2
6
67) ( − 1) + 3
68) 11 − 1
2
2
8
2
69) 1 + 3
70) 6 − 8
5
4
5
5
71) ( − 5) − 15
72) ( − 1) + ( − 8)
7
8
3
5
73) 6 − 8
74) ( − 6) + ( − 5)
7
3
75) 3 − 15
76) ( − 1) − ( − 1)
2
8
3
77) ( − 15) + 5
78) 3 + 9
8
3
2
7
79) ( − 1) − ( − 1)
80) ( − 1) − ( − 3)
6
2
5
81) 5 − ( − 1)
82) 9 − ( − 5)
3
3
7
3
17

---

0.3
Pre-Algebra - Order of Operations
Objective: Evaluate expressions using the order of operations, including
the use of absolute value.
When simplifying expressions it is important that we simplify them in the correct
order. Consider the following problem done two different ways:
Example 24.
2 + 5 · 3 Add First
2 + 5 · 3 Multiply
7 · 3
Multiply
2 + 15
Add
21
Solution
17
Solution
The previous example illustrates that if the same problem is done two different
ways we will arrive at two different solutions. However, only one method can be
correct. It turns out the second method, 17, is the correct method. The order of
operations ends with the most basic of operations, addition (or subtraction).
Before addition is completed we must do repeated addition or multiplication (or
division). Before multiplication is completed we must do repeated multiplication
or exponents. When we want to do something out of order and make it come first
we will put it in parenthesis (or grouping symbols). This list then is our order of
operations we will use to simplify expressions.
Order of Operations:
Parenthesis (Grouping)
Exponents
Multiply and Divide (Left to Right)
Add and Subtract (Left to Right)
Multiply and Divide are on the same level because they are the same operation
(division is just multiplying by the reciprocal). This means they must be done left
to right, so some problems we will divide first, others we will multiply first. The
same is true for adding and subtracting (subtracting is just adding the opposite).
Often students use the word PEMDAS to remember the order of operations, as
the first letter of each operation creates the word PEMDAS. However, it is the
P
E
author’s suggestion to think about PEMDAS as a vertical word written as: MD
AS
so we don’t forget that multiplication and division are done left to right (same
with addition and subtraction). Another way students remember the order of
operations is to think of a phrase such as “Please Excuse My Dear Aunt Sally”
where each word starts with the same letters as the order of operations start with.
World View Note: The first use of grouping symbols are found in 1646 in the
Dutch mathematician, Franciscus van Schooten’s text, Vieta. He used a bar over
18

---

the expression that is to be evaluated first. So problems like 2(3 + 5) were written
as 2 · 3 + 5.
Example 25.
2 + 3(9 − 4)2
Parenthesis first
2 + 3(5)2
Exponents
2 + 3(25)
Multiply
2 + 75
Add
77
Our Solution
It is very important to remember to multiply and divide from from left to right!
Example 26.
30 ÷ 3 · 2
Divide first (left to right!)
10 · 2
Multiply
20
Our Solution
In the previous example, if we had multiplied first, five would have been the
answer which is incorrect.
If there are several parenthesis in a problem we will start with the inner most
parenthesis and work our way out. Inside each parenthesis we simplify using the
order of operations as well. To make it easier to know which parenthesis goes with
which parenthesis, different types of parenthesis will be used such as { } and [ ]
and ( ), these parenthesis all mean the same thing, they are parenthesis and must
be evaluated first.
Example 27.
2{82 − 7[32 − 4(32 + 1)]( − 1)}
Inner most parenthesis, exponents first
˜
2{82 − 7[32 − 4(9 + 1)]( − 1)}
Add inside those parenthesis
2{82 − 7[32− 4(10)]( − 1)}
Multiply inside inner most parenthesis
2{82 − 7[32 − 40]( − 1)}
Subtract inside those parenthesis
2{82 − 7[ − 8]( − 1)}
Exponents next
˜
2{64− 7[ − 8]( − 1)}
Multiply left to right, sign with the number
2{64 + 56( − 1)}
Finish multiplying
2{64 − 56}
Subtract inside parenthesis
2{8}
Multiply
16
Our Solution
As the above example illustrates, it can take several steps to complete a problem.
The key to successfully solve order of operations problems is to take the time to
show your work and do one step at a time. This will reduce the chance of making
a mistake along the way.
19

---

There are several types of grouping symbols that can be used besides parenthesis.
One type is a fraction bar. If we have a fraction, the entire numerator and the
entire denominator must be evaluated before we reduce the fraction. In these
cases we can simplify in both the numerator and denominator at the same time.
Example 28.
24
˜ − ( − 8) · 3 Exponentinthenumerator,divideindenominator
15 ÷ 5 − 1
16 − ( − 8) · 3
Multiply in the numerator, subtract in denominator
3 − 1
16 − ( − 24)
Add the opposite to simplify numerator, denominator is done.
2
40
Reduce, divide
2
20
Our Solution
Another type of grouping symbol that also has an operation with it, absolute
value. When we have absolute value we will evaluate everything inside the abso-
lute value, just as if it were a normal parenthesis. Then once the inside is com-
pleted we will take the absolute value, or distance from zero, to make the number
positive.
Example 29.
1 + 3| − 42 − ( − 8)| + 2|3 + ( − 5)2|
Evaluate absolute values first, exponents
˜
1 + 3|− 16 − ( − 8)| + 2|3 + 25|
Add inside absolute values
1 + 3| − 8| + 2|28|
Evaluate absolute values
1 + 3(8) + 2(28)
Multiply left to right
1 + 24 + 2(28)
Finish multiplying
1 + 24 + 56
Add left to right
25 + 56
Add
81
Our Solution
The above example also illustrates an important point about exponents. Expo-
nents only are considered to be on the number they are attached to. This means
when we see − 42, only the 4 is squared, giving us − (42) or − 16. But when the
negative is in parentheses, such as ( − 5)2 the negative is part of the number and
is also squared giving us a positive solution, 25.
20

---

0.3 Practice - Order of Operation
Solve.
1) − 6 · 4( − 1)
2) ( − 6 ÷ 6)3
3) 3 + (8) ÷ |4|
4) 5( − 5 + 6) · 62
5) 8 ÷ 4 · 2
6) 7 − 5 + 6
7) [ − 9 − (2 − 5)] ÷ ( − 6)
8) ( − 2 · 23 · 2) ÷ ( − 4)
9) − 6 + ( − 3 − 3)2 ÷ 3
10) ( − 7 − 5) ÷ [ − 2 − 2 − ( − 6)]
11) 4 − 232 − 16
12) − 10− 6 − 5
( − 2)2
13) [ − 1 − ( − 5)]|3 + 2|
14) − 3 − {3 − [ − 3(2 + 4) − ( − 2)]}
2 + 4
15)
7 + 22

4 · 2 + 5 · 3
16) − 4 − [2 + 4( − 6) − 4 − 22 − 5 · 2]


17) [6 · 2 + 2 − ( − 6)]( − 5 + − 18

)

6 
18) 2 · ( − 3) + 3 − 6[ − 2 − ( − 1 − 3)]
19)
− 13 − 2
2 − ( − 1)3 + ( − 6) − [ − 1 − ( − 3)]
20) − 52 + ( − 5)2
|42 − 25| − 2 · 3
21) 6 · − 8 − 4 + ( −4) − [ −4 − ( − 3)]
(42 + 32) ÷ 5
22)
− 9 · 2 − (3 − 6)
1 − ( − 2 + 1) − ( − 3)
23)
23 + 4
− 18 − 6 + ( − 4) − [ − 5( − 1)( − 5)]
24) 13+ ( − 3)2 + 4( − 3) + 1 − [ − 10− ( − 6)]
{[4 + 5] ÷ [42 − 32(4 − 3) − 8]} + 12
25)
5 + 32 − 24 ÷ 6 · 2
[5 + 3(22 − 5)] + 22 − 5|2
21

---

0.4
Pre-Algebra - Properties of Algebra
Objective: Simplify algebraic expressions by substituting given values,
distributing, and combining like terms
In algebra we will often need to simplify an expression to make it easier to use.
There are three basic forms of simplifying which we will review here.
World View Note: The term “Algebra” comes from the Arabic word al-jabr
which means “reunion”. It was first used in Iraq in 830 AD by Mohammad ibn-
Musa al-Khwarizmi.
The first form of simplifying expressions is used when we know what number each
variable in the expression represents. If we know what they represent we can
replace each variable with the equivalent number and simplify what remains using
order of operations.
Example 30.
p(q + 6) when p = 3 and q = 5
Replace p with 3 and q with 5
(3)((5) + 6)
Evaluate parenthesis
(3)(11)
Multiply
33
Our Solution
Whenever a variable is replaced with something, we will put the new number
inside a set of parenthesis. Notice the 3 and 5 in the previous example are in
parenthesis. This is to preserve operations that are sometimes lost in a simple
replacement. Sometimes the parenthesis won’t make a difference, but it is a good
habbit to always use them to prevent problems later.
Example 31.
 x 
x + zx(3 − z)
when x = − 6 and z = − 2
Replace all x′s with 6 and z′s with 2
3
 ( − 6) 
( − 6) + ( − 2)( − 6)(3 − ( − 2))
Evaluate parenthesis
3
− 6 + ( − 2)( − 6)(5)( − 2)
Multiply left to right
− 6 + 12(5)( − 2)
Multiply left to right
− 6 + 60( − 2)
Multiply
− 6 − 120
Subtract
− 126
Our Solution
22

---

It will be more common in our study of algebra that we do not know the value of
the variables. In this case, we will have to simplify what we can and leave the
variables in our final solution. One way we can simplify expressions is to combine
like terms. Like terms are terms where the variables match exactly (exponents
included). Examples of like terms would be 3xy and − 7xy or 3a2b and 8a2b or −
3 and 5. If we have like terms we are allowed to add (or subtract) the numbers in
front of the variables, then keep the variables the same. This is shown in the fol-
lowing examples
Example 32.
5x − 2y − 8x + 7y
Combine like terms 5x − 8x and − 2y + 7y
− 3x + 5y
Our Solution
Example 33.
8x2 − 3x + 7 − 2x2 + 4x − 3
Combine like terms 8x2 − 2x2 and − 3x + 4x and 7 − 3
6x2 + x + 4
Our Solution
As we combine like terms we need to interpret subtraction signs as part of the fol-
lowing term. This means if we see a subtraction sign, we treat the following term
like a negative term, the sign always stays with the term.
A final method to simplify is known as distributing. Often as we work with prob-
lems there will be a set of parenthesis that make solving a problem difficult, if not
impossible. To get rid of these unwanted parenthesis we have the distributive
property. Using this property we multiply the number in front of the parenthesis
by each term inside of the parenthesis.
Distributive Property: a(b + c) = ab + ac
Several examples of using the distributive property are given below.
Example 34.
4(2x − 7)
Multiply each term by 4
8x − 28
Our Solution
Example 35.
− 7(5x − 6)
Multiply each term by − 7
− 35 + 42
Our Solution
In the previous example we again use the fact that the sign goes with the number,
this means we treat the − 6 as a negative number, this gives ( − 7)( − 6) = 42, a
positive number. The most common error in distributing is a sign error, be very
careful with your signs!
23

---

It is possible to distribute just a negative through parenthesis. If we have a nega-
tive in front of parenthesis we can think of it like a − 1 in front and distribute the
− 1 through. This is shown in the following example.
Example 36.
− (4x − 5y + 6)
Negative can be thought of as − 1
− 1(4x − 5y + 6)
Multiply each term by − 1
− 4x + 5y − 6
Our Solution
Distributing through parenthesis and combining like terms can be combined into
one problem. Order of operations tells us to multiply (distribute) first then add or
subtract last (combine like terms). Thus we do each problem in two steps, dis-
tribute then combine.
Example 37.
5 + 3(2x − 4)
Distribute 3, multipling each term
5 + 6x − 12
Combine like terms 5 − 12
− 7 + 6x
Our Solution
Example 38.
3x − 2(4x − 5)
Distribute − 2, multilpying each term
3x − 8x + 10
Combine like terms 3x − 8x
− 5x + 10
Our Solution
In the previous example we distributed − 2, not just 2. This is because we will
always treat subtraction like a negative sign that goes with the number after it.
This makes a big difference when we multiply by the − 5 inside the parenthesis,
we now have a positive answer. Following are more involved examples of dis-
tributing and combining like terms.
Example 39.
2(5x − 8) − 6(4x + 3)
Distribute 2 into first parenthesis and − 6 into second
10x − 16 − 24x − 18
Combine like terms 10x − 24x and − 16 − 18
− 14x − 34
Our Solution
Example 40.
4(3x − 8) − (2x − 7)
Negative (subtract) in middle can be thought of as − 1
4(3x − 8) − 1(2x − 7)
Distribute 4 into first parenthesis, − 1 into second
12x − 32 − 2x + 7
Combine like terms 12x − 2x and − 32 + 7
10x − 25
Our Solution
24

---

0.4 Practice - Properties of Algebra
Evaluate each using the values given.
1) p + 1 + q − m; use m = 1, p = 3, q = 4
2) y2 + y − z; use y = 5, z = 1
3) p − pq; use p = 6 and q = 5
6
4) 6 + z − y ; use y = 1, z = 4
3
5) c2 − (a − 1); use a = 3 and c = 5
6) x + 6z − 4y; use x = 6, y = 4, z = 4
7) 5j + kh ; use h = 5, j = 4, k = 2
2
8) 5(b + a) + 1 + c; use a = 2, b = 6, c = 5
9) 4 − (p − m) + q; use m = 4, p = 6, q = 6
10) z + x − (12)3; use x = 5, z = 4
2
11) m + n + m + n ; use m = 1 and n = 2
12) 3 + z − 1 + y − 1; use y = 5, z = 4
2
13) q − p − (q − 1 − 3); use p = 3, q = 6
14) p + (q − r)(6 − p); use p = 6, q = 5, r = 5
15) y − [4 − y − (z − x)]; use x = 3, y = 1, z = 6
16) 4z − (x + x − (z − z)); use x = 3, z = 2
17) k × 32 − (j + k) − 5; use j = 4, k = 5
18) a3(c2 − c); use a = 3, c = 2
19) zx − (z − 4 + x); use x = 2, z = 6
20) 5 + qp + pq
6
− q; use p = 6, q = 3
Combine Like Terms
21) r − 9 + 10
22) − 4x + 2 − 4
23) n + n
24) 4b + 6 + 1 + 7b
25) 8v + 7v
26) − x + 8x
27) − 7x − 2x
28) − 7a − 6 + 5
29) k − 2 + 7
30) − 8p + 5p
31) x − 10 − 6x + 1
32) 1 − 10n − 10
33) m − 2m
34) 1 − r − 6
35) 9n − 1 + n + 4
36) − 4b + 9b
25

---

Distribute
37) − 8(x − 4)
38) 3(8v + 9)
39) 8n(n + 9)
40) − ( − 5 + 9a)
41) 7k( − k + 6)
42) 10x(1 + 2x)
43) − 6(1 + 6x)
44) − 2(n + 1)
45) 8m(5 − m)
46) − 2p(9p − 1)
47) − 9x(4 − x)
48) 4(8n − 2)
49) − 9b(b − 10)
50) − 4(1 + 7r)
51) − 8n(5 + 10n)
52) 2x(8x − 10)
Simplify.
53) 9(b + 10) + 5b
54) 4v − 7(1 − 8v)
55) − 3x(1 − 4x) − 4x2
56) − 8x + 9( − 9x + 9)
57) − 4k2 − 8k (8k + 1)
58) − 9 − 10(1 + 9a)
59) 1 − 7(5 + 7p)
60) − 10(x − 2) − 3
61) − 10 − 4(n − 5)
62) − 6(5 − m) + 3m
63) 4(x + 7) + 8(x + 4)
64) − 2r(1 + 4r) + 8r( − r + 4)
65) − 8(n + 6) − 8n(n + 8)
66) 9(6b + 5) − 4b(b + 3)
67) 7(7 + 3v) + 10(3 − 10v)
68) − 7(4x − 6) + 2(10x − 10)
69) 2n( − 10n + 5) − 7(6 − 10n)
70) − 3(4 + a) + 6a(9a + 10)
71) 5(1 − 6k) + 10(k − 8)
72) − 7(4x + 3) − 10(10x + 10)
73) (8n2 − 3n) − (5 + 4n2)
74) (7x2 − 3) − (5x2 + 6x)
75) (5p − 6) + (1 − p)
76) (3x2 − x) − (7 − 8x)
77) (2 − 4v2) + (3v2 + 2v)
78) (2b − 8) + (b − 7b2)
79) (4 − 2k2) + (8 − 2k2)
80) (7a2 + 7a) − (6a2 + 4a)
81) (x2 − 8) + (2x2 − 7)
82) (3 − 7n2) + (6n2 + 3)
26

---

Chapter 1 : Solving Linear Equations
1.1 One-Step Equations ...............................................................................28
1.2 Two-Step Equations ...............................................................................33
1.3 General Linear Equations ......................................................................37
1.4 Solving with Fractions ...........................................................................43
1.5 Formulas ................................................................................................47
1.6 Absolute Value Equations ......................................................................52
1.7 Variation ................................................................................................57
1.8 Application: Number and Geometry ......................................................64
1.9 Application: Age ....................................................................................72
1.10 Application: Distance, Rate and Time .................................................79
27

---

1.1
Solving Linear Equations - One Step Equations
Objective: Solve one step linear equations by balancing using inverse
operations
Solving linear equations is an important and fundamental skill in algebra. In
algebra, we are often presented with a problem where the answer is known, but
part of the problem is missing. The missing part of the problem is what we seek
to find. An example of such a problem is shown below.
Example 41.
4x + 16 = − 4
Notice the above problem has a missing part, or unknown, that is marked by x. If
we are given that the solution to this equation is − 5, it could be plugged into the
equation, replacing the x with − 5. This is shown in Example 2.
Example 42.
4( − 5) + 16 = − 4
Multiply 4( − 5)
− 20 + 16 = − 4
Add − 20 + 16
− 4 = − 4
True!
Now the equation comes out to a true statement! Notice also that if another
number, for example, 3, was plugged in, we would not get a true statement as
seen in Example 3.
Example 43.
4(3) + 16 = − 4
Multiply 4(3)
12 + 16 = − 4
Add 12 + 16
28
− 4
False!

Due to the fact that this is not a true statement, this demonstates that 3 is not
the solution. However, depending on the complexity of the problem, this “guess
and check” method is not very efficient. Thus, we take a more algebraic approach
to solving equations. Here we will focus on what are called “one-step equations” or
equations that only require one step to solve. While these equations often seem
very fundamental, it is important to master the pattern for solving these problems
so we can solve more complex problems.
28

---

Addition Problems
To solve equations, the general rule is to do the opposite. For example, consider
the following example.
Example 44.
x + 7 = − 5
The 7 is added to the x
− 7 − 7
Subtract 7 from both sides to get rid of it
x = − 12
Our solution!
Then we get our solution, x = − 12. The same process is used in each of the fol-
lowing examples.
Example 45.
4 + x = 8
7 = x + 9
5 = 8 + x
− 4
− 4
− 9
− 9
− 8 − 8
x = 4
− 2 = x
− 3 = x
Table 1. Addition Examples
Subtraction Problems
In a subtraction problem, we get rid of negative numbers by adding them to both
sides of the equation. For example, consider the following example.
Example 46.
x − 5 = 4
The 5 is negative, or subtracted from x
+ 5 + 5
Add 5 to both sides
x = 9
Our Solution!
Then we get our solution x = 9. The same process is used in each of the following
examples. Notice that each time we are getting rid of a negative number by
adding.
29

---

Example 47.
− 6 + x = − 2
− 10 = x − 7
5 = − 8 + x
+ 6
+ 6
+ 7
+ 7
+ 8 + 8
x = 4
− 3 = x
13 = x
Table 2. Subtraction Examples
Multiplication Problems
With a multiplication problem, we get rid of the number by dividing on both
sides. For example consider the following example.
Example 48.
4x = 20
Variable is multiplied by 4
4
4
Divide both sides by 4
x = 5
Our solution!
Then we get our solution x = 5
With multiplication problems it is very important that care is taken with signs. If
x is multiplied by a negative then we will divide by a negative. This is shown in
example 9.
Example 49.
− 5x = 30
Variable is multiplied by − 5
− 5 − 5
Divide both sides by − 5
x = − 6
Our Solution!
The same process is used in each of the following examples. Notice how negative
and positive numbers are handled as each problem is solved.
Example 50.
30

---

8x = − 24
− 4x = − 20
42 = 7x
8
8
− 4
− 4
7
7
x = − 3
x = 5
6 = x
Table 3. Multiplication Examples
Division Problems:
In division problems, we get rid of the denominator by multiplying on both sides.
For example consider our next example.
Example 51.
x = − 3
Variable is divided by 5
5
x
(5) = − 3(5)
Multiply both sides by 5
5
x = − 15
Our Solution!
Then we get our solution x = − 15. The same process is used in each of the fol-
lowing examples.
Example 52.
x = − 2
x
x
= 5
= 9
− 7
8
− 4
( − 7) x = − 2( − 7)
(8) x = 5(8)
( − 4) x = 9( − 4)
− 7
8
− 4
x = 14
x = 40
x = − 36
Table 4. Division Examples
The process described above is fundamental to solving equations. once this pro-
cess is mastered, the problems we will see have several more steps. These prob-
lems may seem more complex, but the process and patterns used will remain the
same.
World View Note: The study of algebra originally was called the “Cossic Art”
from the Latin, the study of “things” (which we now call variables).
31

---

1.1 Practice - One Step Equations
Solve each equation.
1) v + 9 = 16
2) 14 = b + 3
3) x − 11 = − 16
4) − 14 = x − 18
5) 30 = a + 20
6) − 1 + k = 5
7) x − 7 = − 26
8) − 13 + p = − 19
9) 13 = n − 5
10) 22 = 16 + m
11) 340 = − 17x
12) 4r = − 28
13) − 9 = n12
14) 5 = b
9
9
15) 20v = − 160
16) − 20x = − 80
17) 340 = 20n
18) 1 = a
2
8
19) 16x = 320
20) k = − 16
13
21) − 16 + n = − 13
22) 21 = x + 5
23) p − 8 = − 21
24) m − 4 = − 13
25) 180 = 12x
26) 3n = 24
27) 20b = − 200
28) − 17 = x12
29) r = 5
14
14
30) n + 8 = 10
31) − 7 = a + 4
32) v − 16 = − 30
33) 10 = x − 4
34) − 15 = x − 16
35) 13a = − 143
36) − 8k = 120
37) p = − 12
20
38) − 15 = x9
39) 9 + m = − 7
40) − 19 = n20
32

---

1.2
Linear Equations - Two-Step Equations
Objective: Solve two-step equations by balancing and using inverse
opperations.
After mastering the technique for solving equations that are simple one-step equa-
tions, we are ready to consider two-step equations. As we solve two-step equa-
tions, the important thing to remember is that everything works backwards!
When working with one-step equations, we learned that in order to clear a “plus
five” in the equation, we would subtract five from both sides. We learned that to
clear “divided by seven” we multiply by seven on both sides. The same pattern
applies to the order of operations. When solving for our variable x, we use order
of operations backwards as well. This means we will add or subtract first, then
multiply or divide second (then exponents, and finally any parentheses or
grouping symbols, but that’s another lesson). So to solve the equation in the first
example,
Example 53.
4x − 20 = − 8
We have two numbers on the same side as the x. We need to move the 4 and the
20 to the other side. We know to move the four we need to divide, and to move
the twenty we will add twenty to both sides. If order of operations is done back-
wards, we will add or subtract first. Therefore we will add 20 to both sides first.
Once we are done with that, we will divide both sides by 4. The steps are shown
below.
4x − 20 = − 8
Start by focusing on the subtract 20
+ 20 + 20
Add 20 to both sides
4x
= 12
Now we focus on the 4 multiplied by x
4
4
Divide both sides by 4
x = 3
Our Solution!
Notice in our next example when we replace the x with 3 we get a true state-
ment.
4(3) − 20 = − 8
Multiply 4(3)
12 − 20 = − 8
Subtract 12 − 20
− 8 = − 8
True!
33

---

The same process is used to solve any two-step equations. Add or subtract first,
then multiply or divide. Consider our next example and notice how the same pro-
cess is applied.
Example 54.
5x + 7 = 7
Start by focusing on the plus 7
− 7 − 7
Subtract 7 from both sides
5x
= 0
Now focus on the multiplication by 5
5
5
Divide both sides by 5
x =
0
Our Solution!
Notice the seven subtracted out completely! Many students get stuck on this
point, do not forget that we have a number for “nothing left” and that number is
zero. With this in mind the process is almost identical to our first example.
A common error students make with two-step equations is with negative signs.
Remember the sign always stays with the number. Consider the following
example.
Example 55.
4 − 2x = 10
Start by focusing on the positive 4
− 4
− 4
Subtract 4 from both sides
− 2x = 6
Negative (subtraction) stays on the 2x
− 2 − 2
Divide by − 2
x = − 3
Our Solution!
The same is true even if there is no coefficient in front of the variable. Consider
the next example.
Example 56.
8 − x = 2
Start by focusing on the positive 8
− 8
− 8
Subtract 8 from both sides
− x = − 6
Negative (subtraction) stays on the x
− 1x = − 6
Remember, no number in front of variable means 1
34

---

− 1 − 1
Divide both sides by − 1
x = 6
Our Solution!
Solving two-step equations is a very important skill to master, as we study
algebra. The first step is to add or subtract, the second is to multiply or divide.
This pattern is seen in each of the following examples.
Example 57.
− 3x + 7 = − 8
− 2 + 9x = 7
8 = 2x + 10
− 7 − 7
+ 2
+ 2
− 10
− 10
− 3x = − 15
9x = 9
− 2 = 2x
− 3 − 3
9
9
2
2
x = 5
x = 1
− 1 = x
7 − 5x = 17
− 5 − 3x = − 5
− 3 = x − 4
− 7
− 7
+ 5
+ 5
5
+ 4
+ 4
− 5x = 10
− 3x = 0
(5)(1) = x (5)
− 5 − 5
− 3 − 3
5
x = − 2
x = 0
5 = x
Table 5. Two-Step Equation Examples
As problems in algebra become more complex the process covered here will
remain the same. In fact, as we solve problems like those in the next example,
each one of them will have several steps to solve, but the last two steps are a two-
step equation like we are solving here. This is why it is very important to master
two-step equations now!
Example 58.
1
1
1
√
3x2 + 4 − x + 6
+
=
5x − 5 + 1 = x
log
x − 8
x
3
5(2x − 4) = 1
World View Note: Persian mathematician Omar Khayyam would solve alge-
braic problems geometrically by intersecting graphs rather than solving them
algebraically.
35

---

1.2 Practice - Two-Step Problems
Solve each equation.
1) 5 + n = 4
2) − 2 = − 2m + 12
4
3) 102 = − 7r + 4
4) 27 = 21 − 3x
5) − 8n + 3 = − 77
6) − 4 − b = 8
7) 0 = − 6v
8) − 2 + x = 4
2
9) − 8 = x − 6
5
10) − 5 = a − 1
4
11) 0 = − 7 + k2
12) − 6 = 15 + 3p
13) − 12 + 3x = 0
14) − 5m + 2 = 27
15) 24 = 2n − 8
16) − 37 = 8 + 3x
17) 2 = − 12 + 2r
18) − 8 + n = − 7
12
19) b + 7 = 10
3
20) x − 8 = − 8
1
21) 152 = 8n + 64
22) − 11 = − 8 + v2
23) − 16 = 8a + 64
24) − 2x − 3 = − 29
25) 56 + 8k = 64
26) − 4 − 3n = − 16
27) − 2x + 4 = 22
28) 67 = 5m − 8
29) − 20 = 4p + 4
30) 9 = 8 + x6
31) − 5 = 3 + n2
32) m − 1 = − 2
4
33) r − 6 = − 5
8
34) − 80 = 4x − 28
35) − 40 = 4n − 32
36) 33 = 3b + 3
37) 87 = 3 − 7v
38) 3x − 3 = − 3
39) − x + 1 = − 11
40) 4 + a = 1
3
36

---

1.3
Solving Linear Equations - General Equations
Objective: Solve general linear equations with variables on both sides.
Often as we are solving linear equations we will need to do some work to set them
up into a form we are familiar with solving. This section will focus on manipu-
lating an equation we are asked to solve in such a way that we can use our pat-
tern for solving two-step equations to ultimately arrive at the solution.
One such issue that needs to be addressed is parenthesis. Often the parenthesis
can get in the way of solving an otherwise easy problem. As you might expect we
can get rid of the unwanted parenthesis by using the distributive property. This is
shown in the following example. Notice the first step is distributing, then it is
solved like any other two-step equation.
Example 59.
4(2x − 6) = 16
Distribute 4 through parenthesis
8x − 24 = 16
Focus on the subtraction first
+ 24 + 24
Add 24 to both sides
8x = 40
Now focus on the multiply by 8
8
8
Divide both sides by 8
x = 5
Our Solution!
Often after we distribute there will be some like terms on one side of the equa-
tion. Example 2 shows distributing to clear the parenthesis and then combining
like terms next. Notice we only combine like terms on the same side of the equa-
tion. Once we have done this, our next example solves just like any other two-step
equation.
Example 60.
3(2x − 4) + 9 = 15
Distribute the 3 through the parenthesis
6x − 12 + 9 = 15
Combine like terms, − 12 + 9
6x − 3 = 15
Focus on the subtraction first
+ 3 + 3
Add 3 to both sides
6x = 18
Now focus on multiply by 6
37

---

6
6
Divide both sides by 6
x = 3
Our Solution
A second type of problem that becomes a two-step equation after a bit of work is
one where we see the variable on both sides. This is shown in the following
example.
Example 61.
4x − 6 = 2x + 10
Notice here the x is on both the left and right sides of the equation. This can
make it difficult to decide which side to work with. We fix this by moving one of
the terms with x to the other side, much like we moved a constant term. It
doesn’t matter which term gets moved, 4x or 2x,
however, it would be the
author’s suggestion to move the smaller term (to avoid negative coefficients). For
this reason we begin this problem by clearing the positive 2x by subtracting 2x
from both sides.
4x − 6 = 2x + 10
Notice the variable on both sides
− 2x
− 2x
Subtract 2x from both sides
2x − 6 = 10
Focus on the subtraction first
+ 6 + 6
Add 6 to both sides
2x = 16
Focus on the multiplication by 2
2
2
Divide both sides by 2
x = 8
Our Solution!
The previous example shows the check on this solution. Here the solution is
plugged into the x on both the left and right sides before simplifying.
Example 62.
4(8) − 6 = 2(8) + 10
Multiply 4(8) and 2(8) first
32 − 6 = 16 + 10
Add and Subtract
26 = 26
True!
The next example illustrates the same process with negative coefficients. Notice
first the smaller term with the variable is moved to the other side, this time by
adding because the coefficient is negative.
38

---

Example 63.
− 3x + 9 = 6x − 27
Notice the variable on both sides, − 3x is smaller
+ 3x
+ 3x
Add 3x to both sides
9 = 9x − 27
Focus on the subtraction by 27
+ 27
+ 27
Add 27 to both sides
36 = 9x
Focus on the mutiplication by 9
9
9
Divide both sides by 9
4 = x
Our Solution
Linear equations can become particularly intersting when the two processes are
combined. In the following problems we have parenthesis and the variable on both
sides. Notice in each of the following examples we distribute, then combine like
terms, then move the variable to one side of the equation.
Example 64.
2(x − 5) + 3x = x + 18
Distribute the 2 through parenthesis
2x − 10 + 3x = x + 18
Combine like terms 2x + 3x
5x − 10 = x + 18
Notice the variable is on both sides
− x
− x
Subtract x from both sides
4x − 10 = 18
Focus on the subtraction of 10
+ 10 + 10
Add 10 to both sides
4x = 28
Focus on multiplication by 4
4
4
Divide both sides by 4
x = 7
Our Solution
Sometimes we may have to distribute more than once to clear several parenthesis.
Remember to combine like terms after you distribute!
Example 65.
3(4x − 5) − 4(2x + 1) = 5
Distribute 3 and − 4 through parenthesis
12x − 15 − 8x − 4 = 5
Combine like terms 12x − 8x and − 15 − 4
4x − 19 = 5
Focus on subtraction of 19
+ 19 + 19
Add 19 to both sides
4x = 24
Focus on multiplication by 4
39

---

4
4
Divide both sides by 4
x = 6
Our Solution
This leads to a 5-step process to solve any linear equation. While all five steps
aren’t always needed, this can serve as a guide to solving equations.
1. Distribute through any parentheses.
2. Combine like terms on each side of the equation.
3. Get the variables on one side by adding or subtracting
4. Solve the remaining 2-step equation (add or subtract then multiply or
divide)
5. Check your answer by plugging it back in for x to find a true statement.
The order of these steps is very important.
World View Note: The Chinese developed a method for solving equations that
involved finding each digit one at a time about 2000 years ago!
We can see each of the above five steps worked through our next example.
Example 66.
4(2x − 6) + 9 = 3(x − 7) + 8x
Distribute 4 and 3 through parenthesis
8x − 24 + 9 = 3x − 21 + 8x
Combine like terms − 24 + 9 and 3x + 8x
8x − 15 = 11x − 21
Notice the variable is on both sides
− 8x
− 8x
Subtract 8x from both sides
− 15 = 3x − 21
Focus on subtraction of 21
+ 21
+ 21
Add 21 to both sides
6 = 3x
Focus on multiplication by 3
3
3
Divide both sides by 3
2 = x
Our Solution
Check:
4[2(2) − 6] + 9 = 3[(2) − 7] + 8(2)
Plug 2 in for each x. Multiply inside parenthesis
4[4 − 6] + 9 = 3[ − 5] + 8(2)
Finish parentesis on left, multiply on right
40

---

4[ − 2] + 9 = − 15 + 8(2)
Finish multiplication on both sides
− 8 + 9 = − 15 + 16
Add
1 = 1
True!
When we check our solution of x = 2 we found a true statement, 1 = 1. Therefore,
we know our solution x = 2 is the correct solution for the problem.
There are two special cases that can come up as we are solving these linear equa-
tions. The first is illustrated in the next two examples. Notice we start by dis-
tributing and moving the variables all to the same side.
Example 67.
3(2x − 5) = 6x − 15
Distribute 3 through parenthesis
6x − 15 = 6x − 15
Notice the variable on both sides
− 6x
− 6x
Subtract 6x from both sides
− 15 = − 15
Variable is gone! True!
Here the variable subtracted out completely! We are left with a true statement,
− 15 = − 15. If the variables subtract out completely and we are left with a true
statement, this indicates that the equation is always true, no matter what x is.
Thus, for our solution we say all real numbers or R.
Example 68.
2(3x − 5) − 4x = 2x + 7
Distribute 2 through parenthesis
6x − 10 − 4x = 2x + 7
Combine like terms 6x − 4x
2x − 10 = 2x + 7
Notice the variable is on both sides
− 2x
− 2x
Subtract 2x from both sides
− 10 7
Variable is gone! False!

Again, the variable subtracted out completely! However, this time we are left with
a false statement, this indicates that the equation is never true, no matter what x
is. Thus, for our solution we say no solution or ∅.
41

---

1.3 Practice - General Linear Equations
Solve each equation.
1) 2 − ( − 3a − 8) = 1
2) 2( − 3n + 8) = − 20
3) − 5( − 4 + 2v) = − 50
4) 2 − 8( − 4 + 3x) = 34
5) 66 = 6(6 + 5x)
6) 32 = 2 − 5( − 4n + 6)
7) 0 = − 8(p − 5)
8) − 55 = 8 + 7(k − 5)
9) − 2 + 2(8x − 7) = − 16
10) − (3 − 5n) = 12
11) − 21x + 12 = − 6 − 3x
12) − 3n − 27 = − 27 − 3n
13) − 1 − 7m = − 8m + 7
14) 56p − 48 = 6p + 2
15) 1 − 12r = 29 − 8r
16) 4 + 3x = − 12x + 4
17) 20 − 7b = − 12b + 30
18) − 16n + 12 = 39 − 7n
19) − 32 − 24v = 34 − 2v
20) 17 − 2x = 35 − 8x
21) − 2 − 5(2 − 4m) = 33 + 5m
22) − 25 − 7x = 6(2x − 1)
23) − 4n + 11 = 2(1 − 8n) + 3n
24) − 7(1 + b) = − 5 − 5b
25) − 6v − 29 = − 4v − 5(v + 1)
26) − 8(8r − 2) = 3r + 16
27) 2(4x − 4) = − 20 − 4x
28) − 8n − 19 = − 2(8n − 3) + 3n
29) − a − 5(8a − 1) = 39 − 7a
30) − 4 + 4k = 4(8k − 8)
31) − 57 = − ( − p + 1) + 2(6 + 8p)
32) 16 = − 5(1 − 6x) + 3(6x + 7)
33) − 2(m − 2) + 7(m − 8) = − 67
34) 7 = 4(n − 7) + 5(7n + 7)
35) 50 = 8 (7 + 7r) − (4r + 6)
36) − 8(6 + 6x) + 4( − 3 + 6x) = − 12
37) − 8(n − 7) + 3(3n − 3) = 41
38) − 76 = 5(1 + 3b) + 3(3b − 3)
39) − 61 = − 5(5r − 4) + 4(3r − 4)
40) − 6(x − 8) − 4(x − 2) = − 4
41) − 2(8n − 4) = 8(1 − n)
42) − 4(1 + a) = 2a − 8(5 + 3a)
43) − 3( − 7v + 3) + 8v = 5v − 4(1 − 6v)
44) − 6(x − 3) + 5 = − 2 − 5(x − 5)
45) − 7(x − 2) = − 4 − 6(x − 1)
46) − (n + 8) + n = − 8n + 2(4n − 4)
47) − 6(8k + 4) = − 8(6k + 3) − 2
48) − 5(x + 7) = 4( − 8x − 2)
49) − 2(1 − 7p) = 8(p − 7)
50) 8( − 8n + 4) = 4( − 7n + 8)
42

---

1.4
Solving Linear Equations - Fractions
Objective: Solve linear equations with rational coefficients by multi-
plying by the least common denominator to clear the fractions.
Often when solving linear equations we will need to work with an equation with
fraction coefficients. We can solve these problems as we have in the past. This is
demonstrated in our next example.
Example 69.
3
7
5
x − =
Focus on subtraction
4
2
6
7
7
7
+
+
Add
to both sides
2
2
2
Notice we will need to get a common denominator to add 5 + 7. Notice we have a
6
2


common denominator of 6. So we build up the denominator, 7 3
= 21, and we
2
3
6
can now add the fractions:
3
21
5
x −
=
Same problem, with common denominator 6
4
6
6
21
21
21
+
+
Add
to both sides
6
6
6
3
26
26
13
x =
Reduce
to
4
6
6
3
3
13
3
x =
Focus on multiplication by
4
3
4
We can get rid of 3 by dividing both sides by 3. Dividing by a fraction is the
4
4
same as multiplying by the reciprocal, so we will multiply both sides by 4.
3
 4 3
13 4 
x =
Multiply by reciprocal
3 4
3
3
52
x =
Our solution!
9
While this process does help us arrive at the correct solution, the fractions can
make the process quite difficult. This is why we have an alternate method for
dealing with fractions - clearing fractions. Clearing fractions is nice as it gets rid
of the fractions for the majority of the problem. We can easily clear the fractions
43

---

by finding the LCD and multiplying each term by the LCD. This is shown in the
next example, the same problem as our first example, but this time we will solve
by clearing fractions.
Example 70.
3
7
5
x − =
LCD = 12, multiply each term by 12
4
2
6
(12)3
(12)7
(12)5
x −
=
Reduce each 12 with denominators
4
2
6
(3)3x − (6)7 = (2)5
Multiply out each term
9x − 42 = 10
Focus on subtraction by 42
+ 42 + 42
Add 42 to both sides
9x = 52
Focus on multiplication by 9
9
9
Divide both sides by 9
52
x =
Our Solution
9
The next example illustrates this as well. Notice the 2 isn’t a fraction in the ori-
gional equation, but to solve it we put the 2 over 1 to make it a fraction.
Example 71.
2
3
1
x − 2 = x +
LCD = 6, multiply each term by 6
3
2
6
(6)2
(6)2
(6)3
(6)1
x −
=
x +
Reduce 6 with each denominator
3
1
2
6
(2)2x − (6)2 = (3)3x + (1)1
Multiply out each term
4x − 12 = 9x + 1
Notice variable on both sides
− 4x
− 4x
Subtract 4x from both sides
− 12 = 5x + 1
Focus on addition of 1
− 1
− 1
Subtract 1 from both sides
− 13 = 5x
Focus on multiplication of 5
5
5
Divide both sides by 5
13
−
= x
Our Solution
5
We can use this same process if there are parenthesis in the problem. We will first
distribute the coefficient in front of the parenthesis, then clear the fractions. This
is seen in the following example.
44

---

Example 72.
3 5
4 
3
x +
= 3
Distribute
through parenthesis, reducing if possible
2 9
27
2
5
2
x +
= 3
LCD = 18, multiply each term by 18
6
9
(18)5
(18)2
(18)3
x +
=
Reduce 18 with each denominator
6
9
9
(3)5x + (2)2 = (18)3
Multiply out each term
15x + 4 = 54
Focus on addition of 4
− 4 − 4
Subtract 4 from both sides
15x = 50
Focus on multiplication by 15
. 15
15
Divide both sides by 15. Reduce on right side.
10
x =
Our Solution
3
While the problem can take many different forms, the pattern to clear the frac-
tion is the same, after distributing through any parentheses we multiply each term
by the LCD and reduce. This will give us a problem with no fractions that is
much easier to solve. The following example again illustrates this process.
Example 73.
3
1
1 3
7
1
x − = ( x + 6) −
Distribute , reduce if possible
4
2
3 4
2
3
3
1
1
7
x − = x + 2 −
LCD = 4, multiply each term by 4.
4
2
4
2
(4)3
(4)1
(4)1
(4)2
(4)7
x −
=
x +
−
Reduce 4 with each denominator
4
2
4
1
2
(1)3x − (2)1 = (1)1x + (4)2 − (2)7
Multiply out each term
3x − 2 = x + 8 − 14
Combine like terms 8 − 14
3x − 2 = x − 6
Notice variable on both sides
− x
− x
Subtract x from both sides
2x − 2 = − 6
Focus on subtraction by 2
+ 2 + 2
Add 2 to both sides
2x = − 4
Focus on multiplication by 2
2
2
Divide both sides by 2
x = − 2
Our Solution
World View Note: The Egyptians were among the first to study fractions and
linear equations. The most famous mathematical document from Ancient Egypt
is the Rhind Papyrus where the unknown variable was called “heap”
45

---

1.4 Practice - Fractions
Solve each equation.
1) 3(1 + p) = 21
2) − 1 = 3k + 3
5
20
2
2
2
3) 0 = − 5(x − 6)
4) 3n − 8 = − 29
4
5
2
3
12
5) 3 − 5m = 113
6) 11 + 3 r = 163
4
4
24
4
4
32
7) 635 = − 5( − 11 + x)
8) − 16 = − 4(5 + n)
9
3 3
72
2
4
10) 3
v =
9) 2
− 7
− 9
b + 9 = − 11
2
4
8
5
5
12) 41 = 5 (x + 2 ) − 1x
11) 3( 7 n + 1) = 3
9
2
3
3
2 3
2
14) 1( − 7k + 1) − 10k = − 13
13) − a − 5( − 8a + 1) = − 19
3
4
3
8
4
3
4
16) − 1(2x − 3) − 7x = − 83
15) 55 = − 5(3
2 3
4
2
24
p − 5)
6
2 2
3
18) 2(m + 9) − 10 = − 53
3
4
3
18
17) 16 = − 4( − 4n − 4)
9
3
3
3
20) 1 = 4 x + 5 (x − 7)
12
3
3
4
19) − 5 = 5(r − 3)
8
4
2
22) 7 − 4n = − 3n + 2(n + 3)
6
3
2
2
21) − 11 + 3b = 5(b − 5)
3
2
2
3
24) − 149 − 11r= − 7r − 5( − 4r + 1)
16
3
4
4
3
23) − ( − 5x − 3) = − 3 + x
2
2
2
26) − 7(5a + 1) = 11a + 25
2 3
3
4
8
25) 45 + 3 n = 7n − 19
16
2
4
16
28) − 8 − 1x = − 4x − 2( − 13x + 1)
3
2
3
3
4
27) 3(v + 3) = − 7v − 19
2
2
4
6
30) 1n + 29 = 2(4n + 2)
3
6
3
3
29) 47 + 3 x = 5 ( 5x + 1)
9
2
3 2
46

---

1.5
Solving Linear Equations - Formulas
Objective: Solve linear formulas for a given variable.
Solving formulas is much like solving general linear equations. The only difference
is we will have several varaibles in the problem and we will be attempting to solve
for one specific variable. For example, we may have a formula such as A = πr2 +
πrs (formula for surface area of a right circular cone) and we may be interested in
solving for the varaible s. This means we want to isolate the s so the equation has
s on one side, and everything else on the other. So a solution might look like s =
A − πr2 . This second equation gives the same information as the first, they are
πs
algebraically equivalent, however, one is solved for the area, while the other is
solved for s (slant height of the cone). In this section we will discuss how we can
move from the first equation to the second.
When solving formulas for a variable we need to focus on the one varaible we are
trying to solve for, all the others are treated just like numbers. This is shown in
the following example. Two parallel problems are shown, the first is a normal one-
step equation, the second is a formula that we are solving for x
Example 74.
3x = 12
wx = z
In both problems, x is multiplied by something
3
3
w
w
To isolate the x we divide by 3 or w.
z
x = 4
x =
Our Solution
w
We use the same process to solve 3x = 12 for x as we use to solve w x = z for x.
Because we are solving for x we treat all the other variables the same way we
would treat numbers. Thus, to get rid of the multiplication we divided by w. This
same idea is seen in the following example.
Example 75.
m + n = p for n Solving for n, treat all other variables like numbers
− m − m
Subtract m from both sides
n = p − m
Our Solution
As p and m are not like terms, they cannot be combined. For this reason we leave
the expression as p − m. This same one-step process can be used with grouping
symbols.
47

---

Example 76.
a(x − y) = b
for a Solving for a, treat (x − y) like a number
(x − y) (x − y)
Divide both sides by (x − y)
b
a =
Our Solution
x − y
Because (x − y) is in parenthesis, if we are not searching for what is inside the
parenthesis, we can keep them together as a group and divide by that group.
However, if we are searching for what is inside the parenthesis, we will have to
break up the parenthesis by distributing. The following example is the same for-
mula, but this time we will solve for x.
Example 77.
a(x − y) = b for x Solving for x, we need to distribute to clear parenthesis
ax − ay = b
This is a two − step equation, ay is subtracted from our x term
+ ay + ay
Add ay to both sides
ax = b + ay
The x is multipied by a
a
a
Divide both sides by a
b + ay
x =
Our Solution
a
Be very careful as we isolate x that we do not try and cancel the a on top and
bottom of the fraction. This is not allowed if there is any adding or subtracting in
the fraction. There is no reducing possible in this problem, so our final reduced
answer remains x = b + ay . The next example is another two-step problem
a
Example 78.
y = mx + b for m Solving for m, focus on addition first
− b
− b
Subtract b from both sides
y − b = mx
m is multipied by x.
x
x
Divide both sides by x
y − b = m
Our Solution
x
It is important to note that we know we are done with the problem when the
variable we are solving for is isolated or alone on one side of the equation and it
does not appear anywhere on the other side of the equation.
The next example is also a two-step equation, it is the problem we started with at
the beginning of the lesson.
48

---

Example 79.
A = πr2 + πrs for s Solving for s, focus on what is added to the term with s
− πr2 − πr2
Subtract πr2 from both sides
A − πr2 = πrs
s is multipied by πr
πr
πr
Divide both sides by πr
A − πr2 = s
Our Solution
πr
Again, we cannot reduce the πr in the numerator and denominator because of the
subtraction in the problem.
Formulas often have fractions in them and can be solved in much the same way
we solved with fractions before. First identify the LCD and then multiply each
term by the LCD. After we reduce there will be no more fractions in the problem
so we can solve like any general equation from there.
Example 80.
2m
h =
for m To clear the fraction we use LCD = n
n
(n)2m
(n)h =
Multiply each term by n
n
nh = 2m
Reduce n with denominators
2
2
Divide both sides by 2
nh = m
Our Solution
2
The same pattern can be seen when we have several fractions in our problem.
Example 81.
a
c
+ = e for a To clear the fraction we use LCD = b
b
b
(b)a
(b)c
+
= e (b)
Multiply each term by b
b
b
a + c = eb
Reduce b with denominators
− c − c
Subtract c from both sides
a = eb − c
Our Solution
Depending on the context of the problem we may find a formula that uses the
same letter, one capital, one lowercase. These represent different values and we
must be careful not to combine a capital variable with a lower case variable.
Example 82.
A
a =
for b Use LCD (2 − b) as a group
2 − b
49

---

(2 − b)A
(2 − b)a =
Multiply each term by (2 − b)
2 − b
(2 − b)a = A
reduce (2 − b) with denominator
2a − ab = A
Distribute through parenthesis
− 2a
− 2a
Subtract 2a from both sides
− ab = A − 2a
The b is multipied by − a
− a
− a
Divide both sides by − a
A − 2a
b =
Our Solution
− a
Notice the A and a were not combined as like terms. This is because a formula
will often use a capital letter and lower case letter to represent different variables.
Often with formulas there is more than one way to solve for a variable. The next
example solves the same problem in a slightly different manner. After clearing the
denominator, we divide by a to move it to the other side, rather than distributing.
Example 83.
A
a =
for b Use LCD = (2 − b) as a group
2 − b
(2 − b)A
(2 − b)a =
Multiply each term by (2 − b)
2 − b
(2 − b)a = A
Reduce (2 − b) with denominator
a
a
Divide both sides by a
A
2 − b =
Focus on the positive 2
a
− 2
− 2
Subtract 2 from both sides
A
− b =
− 2
Still need to clear the negative
a
A
( − 1)( − b) = ( − 1) − 2( − 1)
Multiply (or divide) each term by − 1
a
A
b = −
+ 2
Our Solution
a
Both answers to the last two examples are correct, they are just written in a dif-
ferent form because we solved them in different ways. This is very common with
formulas, there may be more than one way to solve for a varaible, yet both are
equivalent and correct.
World View Note: The father of algebra, Persian mathematician Muhammad
ibn Musa Khwarizmi, introduced the fundamental idea of blancing by subtracting
the same term to the other side of the equation. He called this process al-jabr
which later became the world algebra.
50

---

1.5 Practice - Formulas
Solve each of the following equations for the indicated variable.
1) ab = c for b
2) g = h for h
i
3) f x = b for x
g
4) p = 3y for y
q
5) 3x = a for x
b
6) ym = c for y
b
d
7) E = mc2 for m
8) DS = ds for D
9) V = 4πr3 for π
3
10) E = mv2 for m
2
11) a + c = b for c
12) x − f = g for x
13) c = 4y for y
m + n
14) rs = k for r
a − 3
15) V = πDn for D
12
16) F = k(R − L) for k
17) P = n(p − c) for n
18) S = L + 2B for L
19) T = D − d for D
20) I = Ea − Eq for E
L
R
a
21) L = Lo(1 + at) for Lo
22) ax + b = c for x
23) 2m + p = 4m + q for m
24) q = 6(L − p) for L
25) k − m = q for k
26) R = aT + b for T
r
27) h = vt − 16t2 for v
28) S = πrh + πr2 for h
29) Q
30) L = π(r1 + r2) + 2d for r1
1 = P (Q2 − Q1) for Q2
31)
32) P = V1(V2 − V1) for V
R = kA(T1 + T2) for T
g
2
d
1
33) ax + b = c for a
34) rt = d for r
35) lwh = V for w
36) V = πr2h for h
3
37) 1 + b = c for a
38) 1 + b = c for b
a
a
a
a
39) at − bw = s for t
40) at − bw = s for w
41) ax + bx = c for a
42) x + 5y = 3 for x
43) x + 5y = 3 for y
44) 3x + 2y = 7 for x
45) 3x + 2y = 7 for y
46) 5a − 7b = 4 for a
47) 5a − 7b = 4 for b
48) 4x − 5y = 8 for x
49) 4x − 5y = 8 for y
50) C = 5 (F − 32) for F
9
51

---

1.6
Solving Linear Equations - Absolute Value
Objective: Solve linear absolute value equations.
When solving equations with absolute value we can end up with more than one
possible answer. This is because what is in the absolute value can be either nega-
tive or positive and we must account for both possibilities when solving equations.
This is illustrated in the following example.
Example 84.
|x| = 7
Absolute value can be positive or negative
x = 7 or x = − 7
Our Solution
Notice that we have considered two possibilities, both the positive and negative.
Either way, the absolute value of our number will be positive 7.
World View Note: The first set of rules for working with negatives came from
7th century India. However, in 1758, almost a thousand years later, British math-
ematician Francis Maseres claimed that negatives “Darken the very whole doc-
trines of the equations and make dark of the things which are in their nature
excessively obvious and simple.”
When we have absolute values in our problem it is important to first isolate the
absolute value, then remove the absolute value by considering both the positive
and negative solutions. Notice in the next two examples, all the numbers outside
of the absolute value are moved to the other side first before we remove the abso-
lute value bars and consider both positive and negative solutions.
Example 85.
5 + |x| = 8
Notice absolute value is not alone
− 5
− 5
Subtract 5 from both sides
|x| = 3
Absolute value can be positive or negative
x = 3 or x = − 3
Our Solution
Example 86.
− 4|x| = − 20
Notice absolute value is not alone
− 4
− 4
Divide both sides by − 4
52

---

|x| = 5
Absolute value can be positive or negative
x = 5 or x = − 5
Our Solution
Notice we never combine what is inside the absolute value with what is outside
the absolute value. This is very important as it will often change the final result
to an incorrect solution. The next example requires two steps to isolate the abso-
lute value. The idea is the same as a two-step equation, add or subtract, then
multiply or divide.
Example 87.
5|x| − 4 = 26
Notice the absolute value is not alone
+ 4 + 4
Add 4 to both sides
5|x| = 30
Absolute value still not alone
5
5
Divide both sides by 5
|x| = 6
Absolute value can be positive or negative
x = 6 or x = − 6
Our Solution
Again we see the same process, get the absolute value alone first, then consider
the positive and negative solutions. Often the absolute value will have more than
just a variable in it. In this case we will have to solve the resulting equations
when we consider the positive and negative possibilities. This is shown in the next
example.
Example 88.
|2x − 1| = 7
Absolute value can be positive or negative
2x − 1 = 7 or 2x − 1 = − 7
Two equations to solve
Now notice we have two equations to solve, each equation will give us a different
solution. Both equations solve like any other two-step equation.
2x − 1 = 7
2x − 1 = − 7
+ 1 + 1
+ 1 + 1
2x = 8
or
2x = − 6
2
2
2
2
x = 4
x = − 3
53

---

Thus, from our previous example we have two solutions, x = 4 or x = − 3.
Again, it is important to remember that the absolute value must be alone first
before we consider the positive and negative possibilities. This is illustrated in
below.
Example 89.
2 − 4|2x + 3| = − 18
To get the absolute value alone we first need to get rid of the 2 by subtracting,
then divide by − 4. Notice we cannot combine the 2 and − 4 becuase they are
not like terms, the − 4 has the absolute value connected to it. Also notice we do
not distribute the − 4 into the absolute value. This is because the numbers out-
side cannot be combined with the numbers inside the absolute value. Thus we get
the absolute value alone in the following way:
2 − 4|2x + 3| = − 18
Notice absolute value is not alone
− 2
− 2
Subtract 2 from both sides
− 4|2x + 3| = − 20
Absolute value still not alone
− 4
− 4
Divide both sides by − 4
|2x + 3| = 5
Absoloute value can be positive or negative
2x + 3 = 5 or 2x + 3 = − 5
Two equations to solve
Now we just solve these two remaining equations to find our solutions.
2x + 3 = 5
2x + 3 = − 5
− 3 − 3
− 3 − 3
2x = 2
or
2x = − 8
2
2
2
2
x = 1
x = − 4
We now have our two solutions, x = 1 and x = − 4.
As we are solving absolute value equations it is important to be aware of special
cases. Remember the result of an absolute value must always be positive. Notice
what happens in the next example.
54

---

Example 90.
7 + |2x − 5| = 4
Notice absolute value is not alone
− 7
− 7
Subtract 7 from both sides
|2x − 5| = − 3
Result of absolute value is negative!
Notice the absolute value equals a negative number! This is impossible with abso-
lute value. When this occurs we say there is no solution or ∅.
One other type of absolute value problem is when two absolute values are equal to
eachother. We still will consider both the positive and negative result, the differ-
ence here will be that we will have to distribute a negative into the second abso-
lute value for the negative possibility.
Example 91.
|2x − 7| = |4x + 6|
Absolute value can be positive or negative
2x − 7 = 4x + 6 or 2x − 7 = − (4x + 6)
make second part of second equation negative
Notice the first equation is the positive possibility and has no significant differ-
ence other than the missing absolute value bars. The second equation considers
the negative possibility. For this reason we have a negative in front of the expres-
sion which will be distributed through the equation on the first step of solving. So
we solve both these equations as follows:
2x − 7 = − (4x + 6)
2x − 7 = 4x + 6
2x − 7 = − 4x − 6
− 2x − 2x
+ 4x
+ 4x
− 7 = 2x + 6
6x − 7 = − 6
− 6
− 6
or
+ 7 + 7
− 13 = 2x
6x = 1
2
2
6
6
− 13 = x
1
2
x = 6
This gives us our two solutions, x = − 13 or x = 1.
2
6
55

---

1.6 Practice - Absolute Value Equations
Solve each equation.
1) |x| = 8
2) |n| = 7
3) |b| = 1
4) |x| = 2
5) |5 + 8a| = 53
6) |9n + 8| = 46
7) |3k + 8| = 2
8) |3 − x| = 6
9) |9 + 7x| = 30
10) |5n + 7| = 23
11) | 8 + 6m| = 50
12) |9p + 6| = 3
13) | 6 − 2x| = 24
14) |3n − 2| = 7
15) − 7| − 3 − 3r| = − 21
16) |2 + 2b| + 1 = 3
17) 7| − 7x − 3| = 21
18) | − 4 − 3n| = 2
4
19) | − 4b − 10| = 3
8
20) 8|5p + 8| − 5 = 11
21) 8|x + 7| − 3 = 5
22) 3 − |6n + 7| = − 40
23) 5|3 + 7m| + 1 = 51
24) 4|r + 7| + 3 = 59
25) 3 + 5|8 − 2x| = 63
26) 5 + 8| − 10n − 2| = 101
27) |6b − 2| + 10 = 44
28) 7|10v − 2| − 9 = 5
29) − 7 + 8| − 7x − 3| = 73
30) 8|3 − 3n| − 5 = 91
31) |5x + 3| = |2x − 1|
32) |2 + 3x| = |4 − 2x|
33) |3x − 4| = |2x + 3|
34) |2x − 5| = |3x + 4|
35) |4x − 2| = |6x + 3|
3
2
5
2
36) |3x +2| = |2x − 3|
2
3
56

---

1.7
Solving Linear Equations - Variation
Objective: Solve variation problems by creating variation equations and
finding the variation constant.
One application of solving linear equations is variation. Often different events are
related by what is called the constant of variation. For example, the time it takes
to travel a certain distance is related to how fast you are traveling. The faster you
travel, the less time it take to get there. This is one type of variation problem, we
will look at three types of variation here. Variation problems have two or three
variables and a constant in them. The constant, usually noted with a k, describes
the relationship and does not change as the other variables in the problem change.
There are two ways to set up a variation problem, the first solves for one of the
variables, a second method is to solve for the constant. Here we will use the
second method.
The greek letter pi (π) is used to represent the ratio of the circumference of a
circle to its diameter.
World View Note: In the 5th centure, Chinese mathematician Zu Chongzhi cal-
culated the value of π to seven decimal places (3.1415926). This was the most
accurate value of π for the next 1000 years!
If you take any circle and divide the circumference of the circle by the diameter
you will always get the same value, about 3.14159... If you have a bigger circum-
ference you will also have a bigger diameter. This relationship is called direct
variation or directly proportional. If we see this phrase in the problem we
know to divide to find the constant of variation.
Example 92.
m is varies directly as n
′′Directly′′ tells us to divide
m = k Our formula for the relationship
n
In kickboxing, one will find that the longer the board, the easier it is to break. If
you multiply the force required to break a board by the length of the board you
will also get a constant. Here, we are multiplying the variables, which means as
one variable increases, the other variable decreases. This relationship is called
indirect variation or inversly proportional. If we see this phrase in the
problem we know to multiply to find the constant of variation.
Example 93.
y is inversely proportional to z
′′Inversely′′ tells us to multiply
yz = k
Our formula for the relationship
57

---

The formula for the area of a triangle has three variables in it. If we divide the
area by the base times the height we will also get a constant, 1 . This relationship
2
is called joint variation or jointly proportional. If we see this phrase in the
problem we know to divide the first variable by the product of the other two to
find the constant of variation.
Example 94.
A varies jointly as x and y
′′Jointly′′ tells us to divide by the product
A = k Our formula for the relationship
xy
Once we have our formula for the relationship in a variation problem, we use
given or known information to calculate the constant of variation. This is shown
for each type of variation in the next three examples.
Example 95.
w is directly proportional to y and w = 50 when y = 5
w = k ′′directly′′ tellsus to divide
y
(50) = k Substitute known values
(5)
10 = k
Evaluate to find our constant
Example 96.
c varies indirectly as d and c = 4.5 when d = 6
cd = k
′′indirectly′′ tells us to multiply
(4.5)(6) = k
Substitute known values
27 = k
Evaluate to find our constant
Example 97.
x is jointly proportional to y and z and x = 48 when y = 2 and z = 4
x = k ′′Jointly′′ tells us to divide by the product
yz
(48) = k Substitute known values
(2)(4)
6 = k
Evaluate to find our constant
58

---

Once we have found the constant of variation we can use it to find other combina-
tions in the same relationship. Each of these problems we solve will have three
important steps, none of which should be skipped.
1. Find the formula for the relationship using the type of variation
2. Find the constant of variation using known values
3. Answer the question using the constant of variation
The next three examples show how this process is worked out for each type of
variation.
Example 98.
The price of an item varies directly with the sales tax. If a S25 item has a sales tax of S2,
what will the tax be on a S40 item?
p = k ′′Directly′′ tells us to divide price (p) and tax (t)
t
(25) = k Substitute knownvalues forprice and tax
(2)
12.5 = k
Evaluate to find our constant
40 = 12.5 Using our constant, substitute 40 for price to findthe tax
t
(t)40 = 12.5(t) Multiply by LCD = tto clear fraction
t
40 = 12.5t
Reduce the t with the denominator
12.5 12.5
Divide by 12.5
3.2 = t
Our solution: Tax is S3.20
Example 99.
The speed (or rate) Josiah travels to work is inversely proportional to time it
takes to get there. If he travels 35 miles per hour it will take him 2.5 hours to get
to work. How long will it take him if he travels 55 miles per hour?
rt = k
′′Inversely′′ tells us to multiply the rate and time
(35)(2.5) = k
Substitute known values for rate and time
87.5 = k
Evaluate to find our constant
55t = 87.5
Using our constant, substitute 55 for rate to find the time
55
55
Divide both sides by 55
t ≈ 1.59
Our solution: It takes him 1.59 hours to get to work
Example 100.
59

---

The amount of simple interest earned on an investment varies jointly as the prin-
ciple (amount invested) and the time it is invested. In an account, S150 invested
for 2 years earned S12 in interest. How much interest would be earned on a S220
investment for 3 years?
I = k ′′Jointly′′ divideInterest(I)byproductofPrinciple(P)&time(t)
Pt
(12)
= k
Substitute known values for Interest, Principle and time
(150)(2)
0.04 = k
Evaluate to find our constant
I
= 0.04
Using constant, substitute 220 for principle and 3 for time
(220)(3)
I = 0.04 Evaluate denominator
660
(660)I = 0.04(660) Multiply by 660 to isolate the variable
660
I = 26.4
Our Solution: The investment earned S26.40 in interest
Sometimes a variation problem will ask us to do something to a variable as we set
up the formula for the relationship. For example, π can be thought of as the ratio
of the area and the radius squared. This is still direct variation, we say the area
varies directly as the radius square and thus our variable is squared in our for-
mula. This is shown in the next example.
Example 101.
The area of a circle is directly proportional to the square of the radius. A circle
with a radius of 10 has an area of 314. What will the area be on a circle of radius
4?
A = k ′′Direct′′ tells us to divide, be sure we use r2 for the denominator
r2
(314) = k Substitute knownvalues into our formula
(10)2
(314) = k Exponents first
100
3.14 = k
Divide to find our constant
A = 3.14 Using theconstant, use 4 for r, don′t forget thesquared!
(4)2
A = 3.14 Evaluate the exponent
16
(16)A = 3.14(16) Multiplybothsides by 16
16
A = 50.24
Our Solution: Area is 50.24
When solving variation problems it is important to take the time to clearly state
the variation formula, find the constant, and solve the final equation.
60

---

1.7 Practice - Variation
Write the formula that expresses the relationship described
1. c varies directly as a
2. x is jointly proportional to y and z
3. w varies inversely as x
4. r varies directly as the square of s
5. f varies jointly as x and y
6. j is inversely proportional to the cube of m
7. h is directly proportional to b
8. x is jointly proportional with the square of a and the square root of b
9. a is inversely proportional to b
Find the constant of variation and write the formula to express the
relationship using that constant
10. a varies directly as b and a = 15 when b = 5
11. p is jointly proportional to q and r and p = 12 when q = 8 and r = 3
12. c varies inversely as d and c = 7 when d = 4
13. t varies directly as the square of u and t = 6 when u = 3
14. e varies jointly as f and g and e = 24 when f = 3 and g = 2
15. w is inversely proportional to the cube of x and w is 54 when x = 3
16. h is directly proportional to j and h = 12 when j = 8
17. a is jointly proportional with the square of x and the square root of y and
a = 25 when x = 5 and y = 9
18. m is inversely proportional to n and m = 1.8 when n = 2.1
Solve each of the following variation problems by setting up a formula
to express the relationship, finding the constant, and then answering
61

---

the question.
19. The electrical current, in amperes, in a circuit varies directly as the voltage.
When 15 volts are applied, the current is 5 amperes. What is the current when
18 volts are applied?
20. The current in an electrical conductor varies inversely as the resistance of the
conductor. If the current is 12 ampere when the resistance is 240 ohms, what
is the current when the resistance is 540 ohms?
21. Hooke’s law states that the distance that a spring is stretched by hanging
object varies directly as the mass of the object. If the distance is 20 cm when
the mass is 3 kg, what is the distance when the mass is 5 kg?
22. The volume of a gas varies inversely as the pressure upon it. The volume of a
gas is 200 cm3 under a pressure of 32 kg/cm2. What will be its volume under
a pressure of 40 kg/cm2?
23. The number of aluminum cans used each year varies directly as the number of
people using the cans. If 250 people use 60,000 cans in one year, how many
cans are used each year in Dallas, which has a population of 1,008,000?
24. The time required to do a job varies inversely as the number of peopel
working. It takes 5hr for 7 bricklayers to build a park well. How long will it
take 10 bricklayers to complete the job?
25. According to Fidelity Investment Vision Magazine, the average weekly
allowance of children varies directly as their grade level. In a recent year, the
average allowance of a 9th-grade student was 9.66 dollars per week. What was
the average weekly allowance of a 4th-grade student?
26. The wavelength of a radio wave varies inversely as its frequency. A wave with
a frequency of 1200 kilohertz has a length of 300 meters. What is the length
of a wave with a frequency of 800 kilohertz?
27. The number of kilograms of water in a human body varies directly as the
mass of the body. A 96-kg person contains 64 kg of water. How many kilo
grams of water are in a 60-kg person?
28. The time required to drive a fixed distance varies inversely as the speed. It
takes 5 hr at a speed of 80 km/h to drive a fixed distance. How long will it
take to drive the same distance at a speed of 70 km/h?
29. The weight of an object on Mars varies directly as its weight on Earth. A
person weighs 95lb on Earth weighs 38 lb on Mars. How much would a 100-lb
person weigh on Mars?
30. At a constant temperature, the volume of a gas varies inversely as the pres-
62

---

sure. If the pressure of a certain gas is 40 newtons per square meter when the
volume is 600 cubic meters what will the pressure be when the volume is
reduced by 240 cubic meters?
31. The time required to empty a tank varies inversely as the rate of pumping. If
a pump can empty a tank in 45 min at the rate of 600 kL/min, how long will
it take the pump to empty the same tank at the rate of 1000 kL/min?
32. The weight of an object varies inversely as the square of the distance from the
center of the earth. At sea level (6400 km from the center of the earth), an
astronaut weighs 100 lb. How far above the earth must the astronaut be in
order to weigh 64 lb?
33. The stopping distance of a car after the brakes have been applied varies
directly as the square of the speed r. If a car, traveling 60 mph can stop in 200
ft, how fast can a car go and still stop in 72 ft?
34. The drag force on a boat varies jointly as the wetted surface area and the
square of the velocity of a boat. If a boat going 6.5 mph experiences a drag
force of 86 N when the wetted surface area is 41.2 ft2, how fast must a boat
with 28.5 ft2 of wetted surface area go in order to experience a drag force of
94N?
35. The intensity of a light from a light bulb varies inversely as the square of the
distance from the bulb. Suppose intensity is 90 W/m2 (watts per square
meter) when the distance is 5 m. How much further would it be to a point
where the intesity is 40 W/m2?
36. The volume of a cone varies jointly as its height, and the square of its radius.
If a cone with a height of 8 centimeters and a radius of 2 centimeters has a
volume of 33.5 cm3, what is the volume of a cone with a height of 6 centime-
ters and a radius of 4 centimeters?
37. The intensity of a television signal varies inversely as the square of the dis-
tance from the transmitter. If the intensity is 25 W/m2 at a distance of 2 km,
how far from the trasmitter are you when the intensity is 2.56 W/m2?
38. The intensity of illumination falling on a surface from a given source of light
is inversely proportional to the square of the distance from the source of light.
The unit for measuring the intesity of illumination is usually the footcandle. If
a given source of light gives an illumination of 1 foot-candle at a distance of
10 feet, what would the illumination be from the same source at a distance
of 20 feet?
63

---

1.8
Linear Equations - Number and Geometry
Objective: Solve number and geometry problems by creating and
solving a linear equation.
Word problems can be tricky. Often it takes a bit of practice to convert the
English sentence into a mathematical sentence. This is what we will focus on here
with some basic number problems, geometry problems, and parts problems.
A few important phrases are described below that can give us clues for how to set
up a problem.
•
A number (or unknown, a value, etc) often becomes our variable
•
Is (or other forms of is: was, will be, are, etc) often represents equals (=)
x is 5 becomes x = 5
•
More than often represents addition and is usually built backwards,
writing the second part plus the first
Three more than a number becomes x + 3
•
Less than often represents subtraction and is usually built backwards as
well, writing the second part minus the first
Four less than a number becomes x − 4
Using these key phrases we can take a number problem and set up and equation
and solve.
Example 102.
If 28 less than five times a certain number is 232. What is the number?
5x − 28
Subtraction is built backwards, multiply the unknown by 5
5x − 28 = 232
Is translates to equals
+ 28 + 28
Add 28 to both sides
5x = 260
The variable is multiplied by 5
5
5
Divide both sides by 5
x = 52
The number is 52.
This same idea can be extended to a more involved problem as shown in the next
example.
Example 103.
64

---

Fifteen more than three times a number is the same as ten less than six times the
number. What is the number
3x + 15
First, addition is built backwards
6x − 10
Then, subtraction is also built backwards
3x + 15 = 6x − 10
Is between the parts tells us they must be equal
− 3x
− 3x
Subtract 3x so variable is all on one side
15 = 3x − 10
Now we have a two − step equation
+ 10
+ 10
Add 10 to both sides
25 = 3x
The variable is multiplied by 3
3
3
Divide both sides by 3
25
25
= x
Our number is
3
3
Another type of number problem involves consecutive numbers. Consecutive
numbers are numbers that come one after the other, such as 3, 4, 5. If we are
looking for several consecutive numbers it is important to first identify what they
look like with variables before we set up the equation. This is shown in the fol-
lowing example.
Example 104.
The sum of three consecutive integers is 93. What are the integers?
First x
Make the first number x
Second x + 1
To get the next number we go up one or + 1
Third x + 2
Add another 1(2 total) to get the third
F + S + T = 93
First (F ) plus Second (S) plus Third (T ) equals 93
(x) + (x + 1) + (x + 2) = 93
Replace F with x, S with x + 1, and T with x + 2
x + x + 1 + x + 2 = 93
Here the parenthesis aren′t needed.
3x + 3 = 93
Combine like terms x + x + x and 2 + 1
− 3 − 3
Add 3 to both sides
3x = 90
The variable is multiplied by 3
3
3
Divide both sides by 3
x = 30
Our solution for x
First 30
Replace x in our origional list with 30
Second (30) + 1 = 31
The numbers are 30, 31, and 32
Third (30) + 2 = 32
Sometimes we will work consective even or odd integers, rather than just consecu-
tive integers. When we had consecutive integers, we only had to add 1 to get to
the next number so we had x, x + 1, and x + 2 for our first, second, and third
number respectively. With even or odd numbers they are spaced apart by two. So
if we want three consecutive even numbers, if the first is x, the next number
would be x + 2, then finally add two more to get the third, x + 4. The same is
65

---

true for consecutive odd numbers, if the first is x, the next will be x + 2, and the
third would be x + 4. It is important to note that we are still adding 2 and 4 even
when the numbers are odd. This is because the phrase “odd” is refering to our x,
not to what is added to the numbers. Consider the next two examples.
Example 105.
The sum of three consecutive even integers is 246. What are the numbers?
First x
Make the first x
Second x + 2
Even numbers, so we add 2 to get the next
Third x + 4
Add 2 more (4 total) to get the third
F + S + T = 246
Sum means add First (F ) plus Second (S) plus Third (T )
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 246
Replace each F , S , and T with what we labeled them
x + x + 2 + x + 4 = 246
Here the parenthesis are not needed
3x + 6 = 246
Combine like terms x + x + x and 2 + 4
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
3x = 240
The variable is multiplied by 3
3
3
Divide both sides by 3
x = 80
Our solution for x
First 80
Replace x in the origional list with 80.
Second (80) + 2 = 82
The numbers are 80, 82, and 84.
Third ( 80) + 4 = 84
Example 106.
Find three consecutive odd integers so that the sum of twice the first, the second
and three times the third is 152.
First x
Make the first x
Second x + 2
Odd numbers so we add 2(same as even!)
Third x + 4
Add 2 more (4 total) to get the third
2F + S + 3T = 152
Twice the first gives 2F and three times the third gives 3T
2(x) + (x + 2) + 3(x + 4) = 152
Replace F , S , and T with what we labled them
2x + x + 2 + 3x + 12 = 152
Distribute through parenthesis
6x + 14 = 152
Combine like terms 2x + x + 3x and 2 + 14
− 14 − 14
Subtract 14 from both sides
6x = 138
Variable is multiplied by 6
6
6
Divide both sides by 6
x = 23
Our solution for x
First 23
Replace x with 23 in the original list
Second (23) + 2 = 25
The numbers are 23, 25, and 27
Third (23) + 4 = 27
66

---

When we started with our first, second, and third numbers for both even and odd
we had x, x + 2, and x + 4. The numbers added do not change with odd or even,
it is our answer for x that will be odd or even.
Another example of translating English sentences to mathematical sentences
comes from geometry. A well known property of triangles is that all three angles
will always add to 180. For example, the first angle may be 50 degrees, the second
30 degrees, and the third 100 degrees. If you add these together, 50 + 30 + 100 =
180. We can use this property to find angles of triangles.
World View Note: German mathematician Bernhart Thibaut in 1809 tried to
prove that the angles of a triangle add to 180 without using Euclid’s parallel pos-
tulate (a point of much debate in math history). He created a proof, but it was
later shown to have an error in the proof.
Example 107.
The second angle of a triangle is double the first. The third angle is 40 less than
the first. Find the three angles.
First x
With nothing given about the first we make that x
Second 2x
The second is double the first,
Third x − 40
The third is 40 less than the first
F + S + T = 180
All three angles add to 180
(x) + (2x) + (x − 40) = 180
Replace F , S , and T with the labeled values.
x + 2x + x − 40 = 180
Here the parenthesis are not needed.
4x − 40 = 180
Combine like terms, x + 2x + x
+ 40 + 40
Add 40 to both sides
4x = 220
The variable is multiplied by 4
4
4
Divide both sides by 4
x = 55
Our solution for x
First 55
Replace x with 55 in the original list of angles
Second 2(55) = 110
Our angles are 55, 110, and 15
Third (55) − 40 = 15
Another geometry problem involves perimeter or the distance around an object.
For example, consider a rectangle has a length of 8 and a width of 3. There are
two lengths and two widths in a rectangle (opposite sides) so we add 8 + 8 + 3 +
3 = 22. As there are two lengths and two widths in a rectangle an alternative to
find the perimeter of a rectangle is to use the formula P = 2L + 2W . So for the
rectangle of length 8 and width 3 the formula would give, P = 2(8) + 2(3) = 16 +
6 = 22. With problems that we will consider here the formula P = 2L + 2W will be
used.
Example 108.
67

---

The perimeter of a rectangle is 44. The length is 5 less than double the width.
Find the dimensions.
Length x
We will make the length x
Width 2x − 5
Width is five less than two times the length
P = 2L + 2W
The formula for perimeter of a rectangle
(44) = 2(x) + 2(2x − 5)
Replace P , L, and W with labeled values
44 = 2x + 4x − 10
Distribute through parenthesis
44 = 6x − 10
Combine like terms 2x + 4x
+ 10
+ 10
Add 10 to both sides
54 = 6x
The variable is multiplied by 6
6
6
Divide both sides by 6
9 = x
Our solution for x
Length 9
Replace x with 9 in the origional list of sides
Width 2(9) − 5 = 13
The dimensions of the rectangle are 9 by 13.
We have seen that it is imortant to start by clearly labeling the variables in a
short list before we begin to solve the problem. This is important in all word
problems involving variables, not just consective numbers or geometry problems.
This is shown in the following example.
Example 109.
A sofa and a love seat together costs S444. The sofa costs double the love seat.
How much do they each cost?
Love Seat x
With no information about the love seat, this is our x
Sofa 2x
Sofa is double the love seat, so we multiply by 2
S + L = 444
Together they cost 444, so we add.
(x) + (2x) = 444
Replace S and L with labeled values
3x = 444
Parenthesis are not needed, combine like terms x + 2x
3
3
Divide both sides by 3
x = 148
Our solution for x
Love Seat 148
Replace x with 148 in the origional list
Sofa 2(148) = 296
The love seat costs S148 and the sofa costs S296.
Be careful on problems such as these. Many students see the phrase “double” and
believe that means we only have to divide the 444 by 2 and get S222 for one or
both of the prices. As you can see this will not work. By clearly labeling the vari-
ables in the original list we know exactly how to set up and solve these problems.
68

---

1.8 Practice - Number and Geometry Problems
Solve.
1. When five is added to three more than a certain number, the result is 19.
What is the number?
2. If five is subtracted from three times a certain number, the result is 10. What
is the number?
3. When 18 is subtracted from six times a certain number, the result is − 42.
What is the number?
4. A certain number added twice to itself equals 96. What is the number?
5. A number plus itself, plus twice itself, plus 4 times itself, is equal to − 104.
What is the number?
6. Sixty more than nine times a number is the same as two less than ten times
the number. What is the number?
7. Eleven less than seven times a number is five more than six times the number.
Find the number.
8. Fourteen less than eight times a number is three more than four times the
number. What is the number?
9. The sum of three consecutive integers is 108. What are the integers?
10. The sum of three consecutive integers is − 126. What are the integers?
11. Find three consecutive integers such that the sum of the first, twice the
second, and three times the third is − 76.
12. The sum of two consecutive even integers is 106. What are the integers?
13. The sum of three consecutive odd integers is 189. What are the integers?
69

---

14. The sum of three consecutive odd integers is 255. What are the integers?
15. Find three consecutive odd integers such that the sum of the first, two times
the second, and three times the third is 70.
16. The second angle of a triangle is the same size as the first angle. The third
angle is 12 degrees larger than the first angle. How large are the angles?
17. Two angles of a triangle are the same size. The third angle is 12 degrees
smaller than the first angle. Find the measure the angles.
18. Two angles of a triangle are the same size. The third angle is 3 times as large
as the first. How large are the angles?
19. The third angle of a triangle is the same size as the first. The second angle is
4 times the third. Find the measure of the angles.
20. The second angle of a triangle is 3 times as large as the first angle. The third
angle is 30 degrees more than the first angle. Find the measure of the angles.
21. The second angle of a triangle is twice as large as the first. The measure of
the third angle is 20 degrees greater than the first. How large are the angles?
22. The second angle of a triangle is three times as large as the first. The measure
of the third angle is 40 degrees greater than that of the first angle. How large
are the three angles?
23. The second angle of a triangle is five times as large as the first. The measure
of the third angle is 12 degrees greater than that of the first angle. How large
are the angles?
24. The second angle of a triangle is three times the first, and the third is 12
degrees less than twice the first. Find the measures of the angles.
25. The second angle of a triangle is four times the first and the third is 5 degrees
more than twice the first. Find the measures of the angles.
26. The perimeter of a rectangle is 150 cm. The length is 15 cm greater than the
width. Find the dimensions.
27. The perimeter of a rectangle is 304 cm. The length is 40 cm longer than the
width. Find the length and width.
28. The perimeter of a rectangle is 152 meters. The width is 22 meters less than
the length. Find the length and width.
29. The perimeter of a rectangle is 280 meters. The width is 26 meters less than
the length. Find the length and width.
70

---

30. The perimeter of a college basketball court is 96 meters and the length is 14
meters more than the width. What are the dimensions?
31. A mountain cabin on 1 acre of land costs S30,000. If the land cost 4 times as
much as the cabin, what was the cost of each?
32. A horse and a saddle cost S5000. If the horse cost 4 times as much as the
saddle, what was the cost of each?
33. A bicycle and a bicycle helmet cost S240. How much did each cost, if the
bicycle cost 5 times as much as the helmet?
34. Of 240 stamps that Harry and his sister collected, Harry collected 3 times as
many as his sisters. How many did each collect?
35. If Mr. Brown and his son together had S220, and Mr. Brown had 10 times as
much as his son, how much money had each?
36. In a room containing 45 students there were twice as many girls as boys. How
many of each were there?
37. Aaron had 7 times as many sheep as Beth, and both together had 608. How
many sheep had each?
38. A man bought a cow and a calf for S990, paying 8 times as much for the cow
as for the calf. What was the cost of each?
39. Jamal and Moshe began a business with a capital of S7500. If Jamal
furnished half as much capital as Moshe, how much did each furnish?
40. A lab technician cuts a 12 inch piece of tubing into two pieces in such a way
that one piece is 2 times longer than the other.
41. A 6 ft board is cut into two pieces, one twice as long as the other. How long
are the pieces?
42. An eight ft board is cut into two pieces. One piece is 2 ft longer than the
other. How long are the pieces?
43. An electrician cuts a 30 ft piece of wire into two pieces. One piece is 2 ft
longer than the other. How long are the pieces?
44. The total cost for tuition plus room and board at State University is S2,584.
Tuition costs S704 more than room and board. What is the tuition fee?
45. The cost of a private pilot course is S1,275. The flight portion costs S625
more than the groung school portion. What is the cost of each?
71

---

1.9
Solving Linear Equations - Age Problems
Objective: Solve age problems by creating and solving a linear equa-
tion.
An application of linear equations is what are called age problems. When we are
solving age problems we generally will be comparing the age of two people both
now and in the future (or past). Using the clues given in the problem we will be
working to find their current age. There can be a lot of information in these prob-
lems and we can easily get lost in all the information. To help us organize and
solve our problem we will fill out a three by three table for each problem. An
example of the basic structure of the table is below
Age Now Change
Person 1
Person 2
Table 6. Structure of Age Table
Normally where we see “Person 1” and “Person 2” we will use the name of the
person we are talking about. We will use this table to set up the following
example.
Example 110.
Adam is 20 years younger than Brian. In two years Brian will be twice as old as
Adam. How old are they now?
Age Now + 2
We use Adam and Brian for our persons
Adam
We use + 2 for change because the second phrase
Brian
is two years in the future
Consider the ′′Now′′ part, Adam is 20 years
Age Now + 2
youger than Brian. We are given information about
Adam
x − 20
Adam, not Brian. So Brian is x now. To show Adam
Brain
x
is 20 years younger we subtract 20, Adam is x − 20.
Age Now
+ 2
Now the + 2 column is filled in. This is done by adding
Adam
x − 20
x − 20 + 2
2 to both Adam′s and Brian′s now column as shown
Brian
x
x + 2
in the table.
Age Now
+ 2
Combine like terms in Adam′s future age: − 20 + 2
Adam
x − 20
x − 18
This table is now filled out and we are ready to try
Brian
x
x + 2
and solve.
72

---

Our equation comes from the future statement:
B = 2A
Brian will be twice as old as Adam. This means
the younger, Adam, needs to be multiplied by 2.
Replace B and A with the information in their future
(x + 2) = 2(x − 18)
cells, Adam (A) is replaced with x − 18 and Brian (B)
is replaced with (x + 2) This is the equation to solve!
x + 2 = 2x − 36
Distribute through parenthesis
− x
− x
Subtract x from both sides to get variable on one side
2 = x − 36
Need to clear the − 36
+ 36
+ 36
Add 36 to both sides
38 = x
Our solution for x
Age now
The first column will help us answer the question.
Adam 38 − 20 = 18
Replace the x′s with 38 and simplify.
Brian
38
Adam is 18 and Brian is 38
Solving age problems can be summarized in the following five steps. These five
steps are guidelines to help organize the problem we are trying to solve.
1. Fill in the now column. The person we know nothing about is x.
2. Fill in the future/past collumn by adding/subtracting the change to the
now column.
3. Make an equation for the relationship in the future. This is independent of
the table.
4. Replace variables in equation with information in future cells of table
5. Solve the equation for x, use the solution to answer the question
These five steps can be seen illustrated in the following example.
Example 111.
Carmen is 12 years older than David. Five years ago the sum of their ages was 28.
How old are they now?
Age Now − 5
Carmen
Five years ago is − 5 in the change column.
David
Age Now − 5
Carmen is 12 years older than David. We don′t
Carmen
x + 12
know about David so he is x, Carmen then is x + 12
David
x
Age Now
− 5
Carmen
x + 12
x + 12 − 5
Subtract 5 from now column to get the change
David
x
x − 5
73

---

Age Now
− 5
Simplify by combining like terms 12 − 5
Carmen
x + 12
x + 7
Our table is ready!
David
x
x − 5
C + D = 28
The sum of their ages will be 29. So we add C and D
(x + 7) + (x − 5) = 28
Replace C and D with the change cells.
x + 7 + x − 5 = 28
Remove parenthesis
2x + 2 = 28
Combine like terms x + x and 7 − 5
− 2 − 2
Subtract 2 from both sides
2x = 26
Notice x is multiplied by 2
2
2
Divide both sides by 2
x = 13
Our solution for x
Age Now
Replace x with 13 to answer the question
Caremen 13 + 12 = 25
Carmen is 25 and David is 13
David
13
Sometimes we are given the sum of their ages right now. These problems can be
tricky. In this case we will write the sum above the now column and make the
first person’s age now x. The second person will then turn into the subtraction
problem total − x. This is shown in the next example.
Example 112.
The sum of the ages of Nicole and Kristin is 32. In two years Nicole will be three
times as old as Kristin. How old are they now?
32
Age Now + 2
The change is + 2 for two years in the future
Nicole
x
The total is placed above Age Now
Kristen
32 − x
The first person is x. The second becomes 32 − x
Age Now
+ 2
Nicole
x
x + 2
Add 2 to each cell fill in the change column
Kristen
32 − x
32 − x + 2
Age Now
+ 2
Nicole
x
x + 2
Combine like terms 32 + 2, our table is done!
Kristen
32 − x
34 − x
N = 3K
Nicole is three times as old as Kristin.
(x + 2) = 3(34 − x)
Replace variables with information in change cells
x + 2 = 102 − 3x
Distribute through parenthesis
+ 3x
+ 3x
Add 3x to both sides so variable is only on one side
74

---

4x + 2 = 102
Solve the two − step equation
− 2 − 2
Subtract 2 from both sides
4x = 100
The variable is multiplied by 4
4
4
Divide both sides by 4
x = 25
Our solution for x
Age Now
Plug 25 in for x in the now column
Nicole
25
Nicole is 25 and Kristin is 7
Kristen 32 − 25 = 7
A slight variation on age problems is to ask not how old the people are, but
rather ask how long until we have some relationship about their ages. In this case
we alter our table slightly. In the change column because we don’t know the time
to add or subtract we will use a variable, t, and add or subtract this from the now
column. This is shown in the next example.
Example 113.
Louis is 26 years old. Her daughter is 4 years old. In how many years will Louis
be double her daughter’s age?
Age Now + t
As we are given their ages now, these numbers go into
Louis
26
the table. The change is unknown, so we write + t for
Daughter
4
the change
Age Now
+ t
Fill in the change column by adding t to each person′s
Louis
26
26 + t
age. Our table is now complete.
Daughter
4
4 + t
L = 2D
Louis will be double her daughter
(26 + t) = 2(4 + t)
Replace variables with information in change cells
26 + t = 8 + 2t
Distribute through parenthesis
− t
− t
Subtract t from both sides
26 = 8 + t
Now we have an 8 added to the t
− 8 − 8
Subtract 8 from both sides
18 = t
In 18 years she will be double her daughter′s age
Age problems have several steps to them. However, if we take the time to work
through each of the steps carefully, keeping the information organized, the prob-
lems can be solved quite nicely.
World View Note: The oldest man in the world was Shigechiyo Izumi from
Japan who lived to be 120 years, 237 days. However, his exact age has been dis-
puted.
75

---

1.9 Practice - Age Problems
1. A boy is 10 years older than his brother. In 4 years he will be twice as old as
his brother. Find the present age of each.
2. A father is 4 times as old as his son. In 20 years the father will be twice as old
as his son. Find the present age of each.
3. Pat is 20 years older than his son James. In two years Pat will be twice as old
as James. How old are they now?
4. Diane is 23 years older than her daughter Amy. In 6 years Diane will be twice
as old as Amy. How old are they now?
5. Fred is 4 years older than Barney. Five years ago the sum of their ages was 48.
How old are they now?
6. John is four times as old as Martha. Five years ago the sum of their ages was
50. How old are they now?
7. Tim is 5 years older than JoAnn. Six years from now the sum of their ages will
be 79. How old are they now?
8. Jack is twice as old as Lacy. In three years the sum of their ages will be 54.
How old are they now?
9. The sum of the ages of John and Mary is 32. Four years ago, John was twice
as old as Mary. Find the present age of each.
10. The sum of the ages of a father and son is 56. Four years ago the father was 3
times as old as the son. Find the present age of each.
11. The sum of the ages of a china plate and a glass plate is 16 years. Four years
ago the china plate was three times the age of the glass plate. Find the
present age of each plate.
12. The sum of the ages of a wood plaque and a bronze plaque is 20 years. Four
76

---

years ago, the bronze plaque was one-half the age of the wood plaque. Find
the present age of each plaque.
13. A is now 34 years old, and B is 4 years old. In how many years will A be
twice as old as B?
14. A man’s age is 36 and that of his daughter is 3 years. In how many years will
the man be 4 times as old as his daughter?
15. An Oriental rug is 52 years old and a Persian rug is 16 years old. How many
years ago was the Oriental rug four times as old as the Persian Rug?
16. A log cabin quilt is 24 years old and a friendship quilt is 6 years old. In how
may years will the log cabin quilt be three times as old as the friendship
quilt?
17. The age of the older of two boys is twice that of the younger; 5 years ago it
was three times that of the younger. Find the age of each.
18. A pitcher is 30 years old, and a vase is 22 years old. How many years ago was
the pitcher twice as old as the vase?
19. Marge is twice as old as Consuelo. The sum of their ages seven years ago was
13. How old are they now?
20. The sum of Jason and Mandy’s age is 35. Ten years ago Jason was double
Mandy’s age. How old are they now?
21. A silver coin is 28 years older than a bronze coin. In 6 years, the silver coin
will be twice as old as the bronze coin. Find the present age of each coin.
22. A sofa is 12 years old and a table is 36 years old. In how many years will the
table be twice as old as the sofa?
23. A limestone statue is 56 years older than a marble statue. In 12 years, the
limestone will be three times as old as the marble statue. Find the present age
of the statues.
24. A pewter bowl is 8 years old, and a silver bowl is 22 years old. In how many
years will the silver bowl be twice the age of the pewter bowl?
25. Brandon is 9 years older than Ronda. In four years the sum of their ages will
be 91. How old are they now?
26. A kerosene lamp is 95 years old, and an electric lamp is 55 years old. How
many years ago was the kerosene lamp twice the age of the electric lamp?
27. A father is three times as old as his son, and his daughter is 3 years younger
77

---

than the son. If the sum of their ages 3 years ago was 63 years, find the
present age of the father.
28. The sum of Clyde and Wendy’s age is 64. In four years, Wendy will be three
times as old as Clyde. How old are they now?
29. The sum of the ages of two ships is 12 years. Two years ago, the age of the
older ship was three times the age of the newer ship. Find the present age of
each ship.
30. Chelsea’s age is double Daniel’s age. Eight years ago the sum of their ages
was 32. How old are they now?
31. Ann is eighteen years older than her son. One year ago, she was three times
as old as her son. How old are they now?
32. The sum of the ages of Kristen and Ben is 32. Four years ago Kristen was
twice as old as Ben. How old are they both now?
33. A mosaic is 74 years older than the engraving. Thirty years ago, the mosaic
was three times as old as the engraving. Find the present age of each.
34. The sum of the ages of Elli and Dan is 56. Four years ago Elli was 3 times as
old as Dan. How old are they now?
35. A wool tapestry is 32 years older than a linen tapestry. Twenty years ago, the
wool tapestry was twice as old as the linen tapestry. Find the present age of
each.
36. Carolyn’s age is triple her daughter’s age. In eight years the sum of their ages
will be 72. How old are they now?
37. Nicole is 26 years old. Emma is 2 years old. In how many years will Nicole be
triple Emma’s age?
38. The sum of the ages of two children is 16 years. Four years ago, the age of the
older child was three times the age of the younger child. Find the present age
of each child.
39. Mike is 4 years older than Ron. In two years, the sum of their ages will be 84.
How old are they now?
40. A marble bust is 25 years old, and a terra-cotta bust is 85 years old. In how
many years will the terra-cotta bust be three times as old as the marble bust?
78

---

1.10
Solving Linear Equations - Distance, Rate and Time
Objective: Solve distance problems by creating and solving a linear
equation.
An application of linear equations can be found in distance problems. When
solving distance problems we will use the relationship rt = d or rate (speed) times
time equals distance. For example, if a person were to travel 30 mph for 4 hours.
To find the total distance we would multiply rate times time or (30)(4) = 120.
This person travel a distance of 120 miles. The problems we will be solving here
will be a few more steps than described above. So to keep the information in the
problem organized we will use a table. An example of the basic structure of the
table is blow:
Rate Time Distance
Person 1
Person 2
Table 7. Structure of Distance Problem
The third column, distance, will always be filled in by multiplying the rate and
time columns together. If we are given a total distance of both persons or trips we
will put this information below the distance column. We will now use this table to
set up and solve the following example
79

---

Example 114.
Two joggers start from opposite ends of an 8 mile course running towards each
other. One jogger is running at a rate of 4 mph, and the other is running at a
rate of 6 mph. After how long will the joggers meet?
Rate Time Distance
Jogger 1
The basic table for the joggers, one and two
Jogger 2
Rate Time Distance
We are given the rates for each jogger.
Jogger 1
4
These are added to the table
Jogger 2
6
Rate Time Distance
We only know they both start and end at the
Jogger 1
4
t
same time. We use the variable t for both times
Jogger 2
6
t
Rate Time Distance
The distance column is filled in by multiplying
Jogger 1
4
t
4t
rate by time
Jogger 2
6
t
6t
8
We have total distance, 8 miles, under distance
4t + 6t = 8
The distance column gives equation by adding
10t = 8
Combine like terms, 4t + 6t
10 10
Divide both sides by 10
4
4
t =
Our solution for t,
hour (48 minutes)
5
5
As the example illustrates, once the table is filled in, the equation to solve is very
easy to find. This same process can be seen in the following example
Example 115.
Bob and Fred start from the same point and walk in opposite directions. Bob
walks 2 miles per hour faster than Fred. After 3 hours they are 30 miles apart.
How fast did each walk?
Rate Time Distance
The basic table with given times filled in
Bob
3
Both traveled 3 hours
Fred
3
80

---

Rate Time Distance
Bob walks 2 mph faster than Fred
Bob r + 2
3
We know nothing about Fred, so use r for his rate
Fred
r
3
Bob is r + 2, showing 2 mph faster
Rate Time Distance
Distance column is filled in by multiplying rate by
Bob r + 2
3
3r + 6
Time. Be sure to distribute the 3(r + 2) for Bob.
Fred
r
3
3r
30
Total distance is put under distance
3r + 6 + 3r = 30
The distance columns is our equation, by adding
6r + 6 = 30
Combine like terms 3r + 3r
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
6r = 24
The variable is multiplied by 6
6
6
Divide both sides by 6
r = 4
Our solution for r
Rate
To answer the question completely we plug 4 in for
Bob 4 + 2 = 6
r in the table. Bob traveled 6 miles per hour and
Fred
4
Fred traveled 4 mph
Some problems will require us to do a bit of work before we can just fill in the
cells. One example of this is if we are given a total time, rather than the indi-
vidual times like we had in the previous example. If we are given total time we
will write this above the time column, use t for the first person’s time, and make
a subtraction problem, Total − t, for the second person’s time. This is shown in
the next example
Example 116.
Two campers left their campsite by canoe and paddled downstream at an average
speed of 12 mph. They turned around and paddled back upstream at an average
rate of 4 mph. The total trip took 1 hour. After how much time did the campers
turn around downstream?
Rate Time Distance
Basic table for down and upstream
Down
12
Given rates are filled in
Up
4
1
Total time is put above time column
Rate Time Distance
As we have the total time, in the first time we have
Down
12
t
t, the second time becomes the subtraction,
Up
4
1 − t
total − t
81

---

Distance column is found by multiplying rate
Rate Time Distance
by time. Be sure to distribute 4(1 − t) for
Down
12
t
12t
=
upstream. As they cover the same distance,
Up
4
1 − t
4 − 4t
= is put after the down distance
12t = 4 − 4t
With equal sign, distance colum is equation
+ 4t
+ 4t
Add 4t to both sides so variable is only on one side
16t = 4
Variable is multiplied by 16
16 16
Divide both sides by 16
1
1
t =
Our solution, turn around after
hr (15 min )
4
4
Another type of a distance problem where we do some work is when one person
catches up with another. Here a slower person has a head start and the faster
person is trying to catch up with him or her and we want to know how long it
will take the fast person to do this. Our startegy for this problem will be to use t
for the faster person’s time, and add amount of time the head start was to get the
slower person’s time. This is shown in the next example.
Example 117.
Mike leaves his house traveling 2 miles per hour. Joy leaves 6 hours later to catch
up with him traveling 8 miles per hour. How long will it take her to catch up
with him?
Rate Time Distance
Basic table for Mike and Joy
Mike
2
The given rates are filled in
Joy
8
Rate Time Distance
Joy, the faster person, we use t for time
Mike
2
t + 6
Mike′s time is t + 6 showing his 6 hour head start
Joy
8
t
Distance column is found by multiplying the rate
Rate Time Distance
by time. Be sure to distribute the 2(t + 6) for Mike
Mike
2
t + 6
2t + 12 =
As they cover the same distance, = is put after
Joy
8
t
8t
Mike′s distance
2t + 12 = 8t
Now the distance column is the equation
− 2t
− 2t
Subtract 2t from both sides
12 = 6t
The variable is multiplied by 6
6
6
Divide both sides by 6
82

---

2 = t
Our solution for t, she catches him after 2 hours
World View Note: The 10,000 race is the longest standard track event. 10,000
meters is approximately 6.2 miles. The current (at the time of printing) world
record for this race is held by Ethiopian Kenenisa Bekele with a time of 26 min-
utes, 17.53 second. That is a rate of 12.7 miles per hour!
As these example have shown, using the table can help keep all the given informa-
tion organized, help fill in the cells, and help find the equation we will solve. The
final example clearly illustrates this.
Example 118.
On a 130 mile trip a car travled at an average speed of 55 mph and then reduced
its speed to 40 mph for the remainder of the trip. The trip took 2.5 hours. For
how long did the car travel 40 mph?
Rate Time Distance
Basic table for fast and slow speeds
Fast
55
The given rates are filled in
Slow
40
2.5
Total time is put above the time column
Rate
Time
Distance
As we have total time, the first time we have t
Fast
55
t
The second time is the subtraction problem
Slow
40
2.5 − t
2.5 − t
2.5
Rate Time
Distance
Distance column is found by multiplying rate
Fast
55
t
55t
by time. Be sure to distribute 40(2.5 − t) for slow
Slow
40
2.5 − t 100 − 40t
130
Total distance is put under distance
55t + 100 − 40t = 130
The distance column gives our equation by adding
15t + 100 = 130
Combine like terms 55t − 40t
− 100 − 100
Subtract 100 from both sides
15t = 30
The variable is multiplied by 30
15 15
Divide both sides by 15
t = 2
Our solution for t.
Time
To answer the question we plug 2 in for t
Fast
2
The car traveled 40 mph for 0.5 hours (30 minutes)
Slow 2.5 − 2 = 0.5
83

---

1.10 Practice - Distance, Rate, and Time Problems
1. A is 60 miles from B. An automobile at A starts for B at the rate of 20 miles
an hour at the same time that an automobile at B starts for A at the rate of
25 miles an hour. How long will it be before the automobiles meet?
2. Two automobiles are 276 miles apart and start at the same time to travel
toward each other. They travel at rates differing by 5 miles per hour. If they
meet after 6 hours, find the rate of each.
3. Two trains travel toward each other from points which are 195 miles apart.
They travel at rate of 25 and 40 miles an hour respectively. If they start at the
same time, how soon will they meet?
4. A and B start toward each other at the same time from points 150 miles apart.
If A went at the rate of 20 miles an hour, at what rate must B travel if they
meet in 5 hours?
5. A passenger and a freight train start toward each other at the same time from
two points 300 miles apart. If the rate of the passenger train exceeds the rate
of the freight train by 15 miles per hour, and they meet after 4 hours, what
must the rate of each be?
6. Two automobiles started at the same time from a point, but traveled in
opposite directions. Their rates were 25 and 35 miles per hour respectively.
After how many hours were they 180 miles apart?
7. A man having ten hours at his disposal made an excursion, riding out at the
rate of 10 miles an hour and returning on foot, at the rate of 3 miles an hour.
84

---

Find the distance he rode.
8. A man walks at the rate of 4 miles per hour. How far can he walk into the
country and ride back on a trolley that travels at the rate of 20 miles per hour,
if he must be back home 3 hours from the time he started?
9. A boy rides away from home in an automobile at the rate of 28 miles an hour
and walks back at the rate of 4 miles an hour. The round trip requires 2 hours.
How far does he ride?
10. A motorboat leaves a harbor and travels at an average speed of 15 mph
toward an island. The average speed on the return trip was 10 mph. How far
was the island from the harbor if the total trip took 5 hours?
11. A family drove to a resort at an average speed of 30 mph and later returned
over the same road at an average speed of 50 mph. Find the distance to the
resort if the total driving time was 8 hours.
12. As part of his flight trainging, a student pilot was required to fly to an airport
and then return. The average speed to the airport was 90 mph, and the
average speed returning was 120 mph. Find the distance between the two
airports if the total flying time was 7 hours.
13. A, who travels 4 miles an hour starts from a certain place 2 hours in advance
of B, who travels 5 miles an hour in the same direction. How many hours
must B travel to overtake A?
14. A man travels 5 miles an hour. After traveling for 6 hours another man starts
at the same place, following at the rate of 8 miles an hour. When will the
second man overtake the first?
15. A motorboat leaves a harbor and travels at an average speed of 8 mph toward
a small island. Two hours later a cabin cruiser leaves the same harbor and
travels at an average speed of 16 mph toward the same island. In how many
hours after the cabin cruiser leaves will the cabin cuiser be alongside the
motorboat?
16. A long distance runner started on a course running at an average speed of 6
mph. One hour later, a second runner began the same course at an average
speed of 8 mph. How long after the second runner started will the second
runner overtake the first runner?
17. A car traveling at 48 mph overtakes a cyclist who, riding at 12 mph, has had
a 3 hour head start. How far from the starting point does the car overtake
the cyclist?
18. A jet plane traveling at 600 mph overtakes a propeller-driven plane which has
85

---

had a 2 hour head start. The propeller-driven plane is traveling at 200 mph.
How far from the starting point does the jet overtake the propeller-driven
plane?
19. Two men are traveling in opposite directions at the rate of 20 and 30 miles an
hour at the same time and from the same place. In how many hours will they
be 300 miles apart?
20. Running at an average rate of 8 m/s, a sprinter ran to the end of a track and
then jogged back to the starting point at an average rate of 3 m/s. The
sprinter took 55 s to run to the end of the track and jog back. Find the
length of the track.
21. A motorboat leaves a harbor and travels at an average speed of 18 mph to an
island. The average speed on the return trip was 12 mph. How far was the
island from the harbor if the total trip took 5 h?
22. A motorboat leaves a harbor and travels at an average speed of 9 mph toward
a small island. Two hours later a cabin cruiser leaves the same harbor and
travels at an average speed of 18 mph toward the same island. In how many
hours after the cabin cruiser leaves will the cabin cruiser be alongside the
motorboat?
23. A jet plane traveling at 570 mph overtakes a propeller-driven plane that has
had a 2 h head start. The propeller-driven plane is traveling at 190 mph.
How far from the starting point does the jet overtake the propeller-driven
plane?
24. Two trains start at the same time from the same place and travel in opposite
directions. If the rate of one is 6 miles per hour more than the rate of the
other and they are 168 miles apart at the end of 4 hours, what is the rate of
each?
25. As part of flight traning, a student pilot was required to fly to an airport and
then return. The average speed on the way to the airport was 100 mph, and
the average speed returning was 150 mph. Find the distance between the two
airports if the total flight time was 5 h.
26. Two cyclists start from the same point and ride in opposite directions. One
cyclist rides twice as fast as the other. In three hours they are 72 miles apart.
Find the rate of each cyclist.
27. A car traveling at 56 mph overtakes a cyclist who, riding at 14 mph, has had
a 3 h head start. How far from the starting point does the car overtake the
cyclist?
28. Two small planes start from the same point and fly in opposite directions.
86

---

The first plan is flying 25 mph slower than the second plane. In two hours
the planes are 430 miles apart. Find the rate of each plane.
29. A bus traveling at a rate of 60 mph overtakes a car traveling at a rate of 45
mph. If the car had a 1 h head start, how far from the starting point does
the bus overtake the car?
30. Two small planes start from the same point and fly in opposite directions.
The first plane is flying 25 mph slower than the second plane. In 2 h, the
planes are 470 mi apart. Find the rate of each plane.
31. A truck leaves a depot at 11 A.M. and travels at a speed of 45 mph. At noon,
a van leaves the same place and travels the same route at a speed of 65 mph.
At what time does the van overtake the truck?
32. A family drove to a resort at an average speed of 25 mph and later returned
over the same road at an average speed of 40 mph. Find the distance to the
resort if the total driving time was 13 h.
33. Three campers left their campsite by canoe and paddled downstream at an
average rate of 10 mph. They then turned around and paddled back
upstream at an average rate of 5 mph to return to their campsite. How long
did it take the campers to canoe downstream if the total trip took 1 hr?
34. A motorcycle breaks down and the rider has to walk the rest of the way to
work. The motorcycle was being driven at 45 mph, and the rider walks at a
speed of 6 mph. The distance from home to work is 25 miles, and the total
time for the trip was 2 hours. How far did the motorcycle go before if broke
down?
35. A student walks and jogs to college each day. The student averages 5 km/hr
walking and 9 km/hr jogging. The distance from home to college is 8 km,
and the student makes the trip in one hour. How far does the student jog?
36. On a 130 mi trip, a car traveled at an average speed of 55 mph and then
reduced its speed to 40 mph for the remainder of the trip. The trip took a
total of 2.5 h. For how long did the car travel at 40 mph?
37. On a 220 mi trip, a car traveled at an average speed of 50 mph and then
reduced its average speed to 35 mph for the remainder of the trip. The trip
took a total of 5 h. How long did the car travel at each speed?
38. An executive drove from home at an average speed of 40 mph to an airport
where a helicopter was waiting. The executive boarded the helicopter and
flew to the corporate offices at and average speed of 60 mph. The entire
distance was 150 mi. The entire trip took 3 h. Find the distance from the
airport to the corporate offices.
87

---

Chapter 2 : Graphing
2.1 Points and Lines ......................................................................................89
2.2 Slope ........................................................................................................95
2.3 Slope-Intercept Form .............................................................................102
2.4 Point-Slope Form ...................................................................................107
2.5 Parallel and Perpendicular Lines ...........................................................112
88

---

2.1
Graphing - Points and Lines
Objective: Graph points and lines using xy coordinates.
Often, to get an idea of the behavior of an equation we will make a picture that
represents the solutions to the equations. A graph is simply a picture of the solu-
tions to an equation. Before we spend much time on making a visual representa-
tion of an equation, we first have to understand the basis of graphing. Following
is an example of what is called the coordinate plane.
The plane is divided into four sections
2
by a horizontal number line (x-axis)
1
and a vertical number line (y-axis).
-4
-3
-2
-1
1
2
3
Where the two lines meet in the center
is called the origin. This center origin
-1
is where x = 0 and y = 0. As we move
to the right the numbers count up
-2
from zero, representing x = 1, 2, 3 .
 
To the left the numbers count down from zero, representing x = − 1, − 2, − 3 .
 
Similarly, as we move up the number count up from zero, y = 1, 2, 3 ., and as we
 
move down count down from zero, y = − 1, − 2, − 3. We can put dots on the
graph which we will call points. Each point has an “address” that defines its loca-
tion. The first number will be the value on the x − axis or horizontal number line.
This is the distance the point moves left/right from the origin. The second
number will represent the value on the y − axis or vertical number line. This is
the distance the point moves up/down from the origin. The points are given as an
ordered pair (x, y).
World View Note: Locations on the globe are given in the same manner, each
number is a distance from a central point, the origin which is where the prime
meridian and the equator. This “origin is just off the western coast of Africa.
The following example finds the address or coordinate pair for each of several
points on the coordinate plane.
Example 119.
Give the coordinates of each point.
A
B
C
89

---

Tracing from the origin, point A is
3). C is straight down 2 units. There
right 1, up 4. This becomes A(1, 4).
is no left or right. This means we go
Point B is left 5, up 3. Left is back-
right zero so the point is C(0, − 2).
wards or negative so we have B( − 5,
A(1, 4), B( − 5, 3), C(0, − 2)
Our Solution
Just as we can give the coordinates for a set of points, we can take a set of points
and plot them on the plane.
Example 120.
Graph the points A(3, 2), B ( − 2, 1), C (3, − 4), D ( − 2, − 3), E ( − 3, 0), F (0, 2),
G(0, 0)
The first point, A is at (3, 2) this
A
means x = 3 (right 3) and y = 2 (up 2).
B
Following these instructions, starting
Up 2
from the origin, we get our point.
Up 1Left 2 Right 3
The second point, B ( − 2, 1), is left 2
(negative moves backwards), up 1.
This is also illustrated on the graph.
The third point, C (3, − 4) is right 3,
A
down 4 (negative moves backwards).
B
Right 3
Left 2
Down 3
The fourth point, D ( − 2, − 3) is left
Down 4
2, down 3 (both negative, both move
D
backwards)
C
The last three points have zeros in them. We still treat these points just like the
other points. If there is a zero there is just no movement.
Next is E ( − 3, 0). This is left 3 (nega-
tive is backwards), and up zero, right
F
A
B
on the x − axis.
Up 2
Then is F (0, 2). This is right zero,
E Left 3 G
and up two, right on the y − axis.
Finally is G (0, 0). This point has no
D
movement. Thus the point is right on
C
the origin.
90

---

A
F
B
Our Solution
E
G
D
C
The main purpose of graphs is not to plot random points, but rather to give a
picture of the solutions to an equation. We may have an equation such as y =
2x − 3. We may be interested in what type of solution are possible in this equa-
tion. We can visualize the solution by making a graph of possible x and y combi-
nations that make this equation a true statement. We will have to start by
finding possible x and y combinations. We will do this using a table of values.
Example 121.
Graph y = 2x − 3
We make a table of values
x
y
− 1
We will test three values for x. Any three can be used
0
1
x
y
Evaluate each by replacing x with the given value
− 1 − 5
x = − 1; y = 2( − 1) − 3 = − 2 − 3 = − 5
0
− 3
x = 0; y = 2(0) − 3 = 0 − 3 = − 3
1
− 1
x = 1; y = 2(1) − 3 = 2 − 3 = − 1
( − 1, − 5), (0, − 3), (1, − 1)
These then become the points to graph on our equation
91

---

nect the dots to make a line.
Plot each point.
The graph is our solution
Once the point are on the graph, con-
What this line tells us is that any point on the line will work in the equation y =
2x − 3. For example, notice the graph also goes through the point (2, 1). If we use
x = 2, we should get y = 1. Sure enough, y = 2(2) − 3 = 4 − 3 = 1, just as the graph
suggests. Thus we have the line is a picture of all the solutions for y = 2x − 3. We
can use this table of values method to draw a graph of any linear equation.
Example 122.
Graph 2x − 3y = 6
We will use a table of values
x
y
− 3
We will test three values for x. Any three can be used.
0
3
2( − 3) − 3y = 6
Substitute each value in for x and solve for y
− 6 − 3y = 6
Start with x = − 3, multiply first
+ 6
+ 6
Add 6 to both sides
− 3y = 12
Divide both sides by − 3
− 3 − 3
y = − 4
Solution for y when x = − 3, add this to table
2(0) − 3y = 6
Next x = 0
− 3y = 6
Multiplying clears the constant term
− 3 − 3
Divide each side by − 3
y = − 2
Solution for y when x = 0, add this to table
2(3) − 3y = 6
Next x = 3
6 − 3y = 6
Multiply
− 6
− 6
Subtract 9 from both sides
− 3y = 0
Divide each side by − 3
− 3 − 3
y = 0
Solution for y when x = − 3, add this to table
92

---

x
y
− 3 − 4
Our completed table.
0
− 2
3
0
( − 3, − 4), (0, 2), (3, 0)
Table becomes points to graph
Graph points and connect dots
Our Solution
93

---

2.1 Practice - Points and Lines
State the coordinates of each point.
D
K
G
J
C
E
1)
I
F
B
H
Plot each point.
2) L( − 5, 5)
K(1, 0)
J( − 3, 4)
I( − 3, 0)
H( − 4, 2) G(4, -2)
F ( − 2, − 2) E (3, − 2) D(0, 3)
C (0, 4)
Sketch the graph of each line.
3) y = − 1x − 3
4) y = x − 1
4
6) y = − 3x + 1
5) y = − 5x − 4
5
4
8) y = 5x + 4
7) y = − 4x + 2
3
10) y = − x − 2
9) y = 3x − 5
2
12) y = 1x
2
11) y = − 4x − 3
5
14) 8x − y = 5
13) x + 5y = − 15
16) 3x + 4y = 16
15) 4x + y = 5
18) 7x + 3y = − 12
17) 2x − y = 2
20) 3x + 4y = 8
19) x + y = − 1
22) 9x − y = − 4
21) x − y = − 3
94

---

2.2
Graphing - Slope
Objective: Find the slope of a line given a graph or two points.
As we graph lines, we will want to be able to identify different properties of the
lines we graph. One of the most important properties of a line is its slope. Slope
is a measure of steepness. A line with a large slope, such as 25, is very steep. A
line with a small slope, such as 1 is very flat. We will also use slope to describe
10
the direction of the line. A line that goes up from left to right will have a positive
slope and a line that goes down from left to right will have a negative slope.
As we measure steepness we are interested in how fast the line rises compared to
how far the line runs. For this reason we will describe slope as the fraction rise.
run
Rise would be a vertical change, or a change in the y-values. Run would be a hor-
izontal change, or a change in the x-values. So another way to describe slope
would be the fraction changein y . It turns out that if we have a graph we can draw
change in x
vertical and horiztonal lines from one point to another to make what is called a
slope triangle. The sides of the slope triangle give us our slope. The following
examples show graphs that we find the slope of using this idea.
Example 123.
To find the slope of this line we will
consider the rise, or verticle change
and the run or horizontal change.
Rise − 4
Drawing these lines in makes a slope
triangle that we can use to count from
Run 6
one point to the next the graph goes
down 4, right 6. This is rise − 4, run
6. As a fraction it would be, − 4 .
6
Reduce the fraction to get − 2.
3
2
−
Our Solution
3
World View Note: When French mathematicians Rene Descartes and Pierre de
Fermat first developed the coordinate plane and the idea of graphing lines (and
other functions) the y-axis was not a verticle line!
Example 124.
95

---

To find the slope of this line, the rise
Run 3
is up 6, the run is right 3. Our slope is
then written as a fraction, rise or 6 .
run
3
Rise 6
This fraction reduces to 2. This will
be our slope.
2 Our Solution
There are two special lines that have unique slopes that we need to be aware of.
They are illustrated in the following example.
Example 125.
In this graph there is no rise, but the
run is 3 units. This slope becomes
This line has a rise of 5, but no run.
The
slope
becomes
5
=
0
0
=
0.
This
line,
undefined.
This
line,
3
and all horizontal lines have a zero slope.
and all vertical lines, have no slope.
As you can see there is a big difference between having a zero slope and having no
slope or undefined slope. Remember, slope is a measure of steepness. The first
slope is not steep at all, in fact it is flat. Therefore it has a zero slope. The
second slope can’t get any steeper. It is so steep that there is no number large
enough to express how steep it is. This is an undefined slope.
We can find the slope of a line through two points without seeing the points on a
graph. We can do this using a slope formula. If the rise is the change in y values,
we can calculate this by subtracting the y values of a point. Similarly, if run is a
change in the x values, we can calculate this by subtracting the x values of a
point. In this way we get the following equation for slope.
y
The slope of a line through (x
2 − y1
1, y1) and (x2, y2) is x2 − x1
96

---

When mathematicians began working with slope, it was called the modular slope.
For this reason we often represent the slope with the variable m. Now we have
the following for slope.
rise
change in y
y
Slope = m =
=
= 2 − y1
run
change in x
x2 − x1
As we subtract the y values and the x values when calculating slope it is impor-
tant we subtract them in the same order. This process is shown in the following
examples.
Example 126.
Find the slope between ( − 4, 3) and (2, − 9)
Identify x1, y1, x2, y2
y
(x
2 − y1
1, y1) and (x2, y2)
Use slope formula, m = x2−x1
− 9 − 3
m =
Simplify
2 − ( − 4)
− 12
m =
Reduce
6
m = − 2
Our Solution
Example 127.
Find the slope between (4,
6) and (2, − 1)
Identify x1, y1, x2, y2
y
(x
2 − y1
1, y1) and (x2, y2)
Use slope formula, m = x2−x1
− 1 − 6
m =
Simplify
2 − 4
− 7
m =
Reduce, dividing by − 1
− 27
m =
Our Solution
2
We may come up against a problem that has a zero slope (horiztonal line) or no
slope (vertical line) just as with using the graphs.
Example 128.
Find the slope between ( − 4, − 1) and ( − 4, − 5)
Identify x1, y1, x2, y2
97

---

y
(x
2 − y1
1 , y1) and
(x2, y2)
Use slope formula, m = x2−x1
− 5 − ( − 1)
m =
Simplify
− 4 − ( − 4)
− 4
m =
Can′t divide by zero, undefined
0
m = no slope
Our Solution
Example 129.
Find the slope between (3, 1) and ( − 2, 1)
Identify x1, y1, x2, y2
y
(x
2 − y1
1, y1) and (x2, y2)
Use slope formula, m = x2−x1
1 − 1
m =
Simplify
− 2 − 3
0
m =
Reduce
− 5
m = 0
Our Solution
Again, there is a big difference between no slope and a zero slope. Zero is an
integer and it has a value, the slope of a flat horizontal line. No slope has no
value, it is undefined, the slope of a vertical line.
Using the slope formula we can also find missing points if we know what the slope
is. This is shown in the following two examples.
Example 130.
Find the value of y between the points (2, y) and (5, − 1) with slope − 3
y
m = 2 − y1
We will plug values into slope formula
x2 − x1
− 1 − y
− 3 =
Simplify
5 − 2
− 1 − y
− 3 =
Multiply both sides by 3
3
− 1 − y
− 3(3) =
(3)
Simplify
3
− 9 = − 1 − y
Add 1 to both sides
+ 1 + 1
− 8 = − y
Divide both sides by − 1
− 1 − 1
8 = y
Our Solution
98

---

Example 131.
Find the value of x between the points ( − 3, 2) and (x, 6) with slope 25
y
m = 2 − y1
We will plug values into slope formula
x2 − x1
2
6 − 2
=
Simplify
5
x − ( − 3)
2
4
=
Multiply both sides by (x + 3)
5
x + 3
2 (x + 3) = 4 Multiply by 5 to clear fraction
5
2
(5) (x + 3) = 4(5)
Simplify
5 2(x+3)=20 Distribute
2x + 6 = 20
Solve.
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
2x = 14
Divide each side by 2
2
2
x = 7
Our Solution
99

---

2.2 Practice - Slope
Find the slope of each line.
1)
2)
3)
4)
6)
5)
8)
7)
100

---

9)
10)
Find the slope of the line through each pair of points.
11) ( − 2, 10), ( − 2, − 15)
12) (1, 2), ( − 6, − 14)
13) ( − 15, 10), (16, − 7)
14) (13, − 2), (7, 7)
15) (10, 18), ( − 11, − 10)
16) ( − 3, 6), ( − 20, 13)
17) ( − 16, − 14), (11, − 14)
18) (13, 15), (2, 10)
19) ( − 4, 14), ( − 16, 8)
20) (9, − 6), ( − 7, − 7)
21) (12, − 19), (6, 14)
22) ( − 16, 2), (15, − 10)
23) ( − 5, − 10), ( − 5, 20)
24) (8, 11), ( − 3, − 13)
25) ( − 17, 19), (10, − 7)
26) (11, − 2), (1, 17)
27) (7, − 14), ( − 8, − 9)
28) ( − 18, − 5), (14, − 3)
29) ( − 5, 7), ( − 18, 14)
30) (19, 15), (5, 11)
Find the value of x or y so that the line through the points has the
given slope.
31) (2, 6) and (x, 2); slope: 4
32) (8, y) and ( − 2, 4); slope: − 1
7
5
33) ( − 3, − 2) and (x, 6); slope: − 85
34) ( − 2, y) and (2, 4); slope: 14
35) ( − 8, y) and ( − 1, 1); slope: 67
36) (x, − 1) and ( − 4, 6); slope: − 710
37) (x, − 7) and ( − 9, − 9); slope: 2
38) (2, − 5) and (3, y); slope: 6
5
39) (x, 5) and (8, 0); slope: − 5
40) (6, 2) and (x, 6); slope: − 4
6
5
101

---

2.3
Graphing - Slope-Intercept Form
Objective: Give the equation of a line with a known slope and y-inter-
cept.
When graphing a line we found one method we could use is to make a table of
values. However, if we can identify some properties of the line, we may be able to
make a graph much quicker and easier. One such method is finding the slope and
the y-intercept of the equation. The slope can be represented by m and the y-
intercept, where it crosses the axis and x = 0, can be represented by (0, b) where b
is the value where the graph crosses the vertical y-axis. Any other point on the
line can be represented by (x, y). Using this information we will look at the slope
formula and solve the formula for y.
Example 132.
m, (0, b), (x, y)
Using the slope formula gives:
y − b = m Simplify
x − 0
y − b = m Multiply both sides by x
x
y − b = mx
Add b to both sides
+ b
+ b
y = mx + b
Our Solution
This equation, y = mx + b can be thought of as the equation of any line that as a
slope of m and a y-intercept of b. This formula is known as the slope-intercept
equation.
Slope − Intercept Equation: y = mx + b
If we know the slope and the y-intercept we can easily find the equation that rep-
resents the line.
Example 133.
3
Slope = , y − intercept = − 3
Use the slope − intercept equation
4
y = mx + b
m is the slope, b is the y − intercept
3
y = x − 3
Our Solution
4
We can also find the equation by looking at a graph and finding the slope and y-
intercept.
Example 134.
102

---

Identify the point where the graph
crosses the y-axis (0,3). This means
the y-intercept is 3.
Idenfity one other point and draw a
slope triangle to find the slope. The
slope is − 23
y = mx + b
Slope-intercept equation
2
y = − x + 3
Our Solution
3
We can also move the opposite direction, using the equation identify the slope
and y-intercept and graph the equation from this information. However, it will be
important for the equation to first be in slope intercept form. If it is not, we will
have to solve it for y so we can identify the slope and the y-intercept.
Example 135.
Write in slope − intercept form: 2x − 4y = 6
Solve for y
− 2x
− 2x
Subtract 2x from both sides
− 4y = − 2x + 6
Put x term first
− 4
− 4 − 4
Divide each term by − 4
1
3
y = x −
Our Solution
2
2
Once we have an equation in slope-intercept form we can graph it by first plotting
the y-intercept, then using the slope, find a second point and connecting the dots.
Example 136.
1
Graph y = x − 4
Recall the slope − intercept formula
2
y = mx + b
Idenfity the slope, m, and the y − intercept, b
1
m = , b = − 4
Make the graph
2
Starting with a point at the y-inter-
cept of − 4,
Then use the slope rise, so we will rise
run
1 unit and run 2 units to find the next
point.
Once we have both points, connect the
dots to get our graph.
World View Note: Before our current system of graphing, French Mathemati-
cian Nicole Oresme, in 1323 sugggested graphing lines that would look more like a
103

---

bar graph with a constant slope!
Example 137.
Graph 3x + 4y = 12
Not in slope intercept form
− 3x
− 3x
Subtract 3x from both sides
4y = − 3x + 12
Put the x term first
4
4
4
Divide each term by 4
3
y = − x + 3
Recall slope − intercept equation
4
y = mx + b
Idenfity m and b
3
m = − , b = 3
Make the graph
4
Starting with a point at the y-inter-
cept of 3,
Then use the slope rise, but its nega-
run
tive so it will go downhill, so we will
drop 3 units and run 4 units to find
the next point.
Once we have both points, connect the
dots to get our graph.
We want to be very careful not to confuse using slope to find the next point with
use a coordinate such as (4, − 2) to find an individule point. Coordinates such as
(4, − 2) start from the origin and move horizontally first, and vertically second.
Slope starts from a point on the line that could be anywhere on the graph. The
numerator is the vertical change and the denominator is the horizontal change.
Lines with zero slope or no slope can make a problem seem very different. Zero
slope, or horiztonal line, will simply have a slope of zero which when multiplied
by x gives zero. So the equation simply becomes y = b or y is equal to the y-coor-
dinate of the graph. If we have no slope, or a vertical line, the equation can’t be
written in slope intercept at all because the slope is undefined. There is no y in
these equations. We will simply make x equal to the x-coordinate of the graph.
Example 138.
Give the equation of the line in the
graph.
Because we have a vertical line and no
slope there is no slope-intercept equa-
tion we can use. Rather we make x
equal to the x-coordinate of − 4
x = − 4
Our Solution
104

---

2.3 Practice - Slope-Intercept
Write the slope-intercept form of the equation of each line given the
slope and the y-intercept.
1) Slope = 2, y-intercept = 5
2) Slope = − 6, y-intercept = 4
3) Slope = 1, y-intercept = − 4
4) Slope = − 1, y-intercept = − 2
5) Slope = − 3, y-intercept = − 1
6) Slope = − 1, y-intercept = 3
4
4
7) Slope = 1 , y-intercept = 1
8) Slope = 2 , y-intercept = 5
3
5
Write the slope-intercept form of the equation of each line.
9)
10)
11)
12)
13)
14)
105

---

15) x + 10y = − 37
16) x − 10y = 3
17) 2x + y = − 1
18) 6x − 11y = − 70
19) 7x − 3y = 24
20) 4x + 7y = 28
21) x = − 8
22) x − 7y = − 42
23) y − 4 = − (x + 5)
24) y − 5 = 5(x − 2)
2
25) y − 4 = 4(x − 1)
26) y − 3 = − 2(x + 3)
3
27) y + 5 = − 4(x − 2)
28) 0 = x − 4
29) y + 1 = − 1(x − 4)
30) y + 2 = 6 (x + 5)
2
5
Sketch the graph of each line.
31) y = 1x + 4
32) y = − 1x − 4
3
5
33) y = 6x − 5
34) y = − 3x − 1
5
2
35) y = 3x
36) y = − 3x + 1
2
4
37) x − y + 3 = 0
38) 4x + 5 = 5y
39) − y − 4 + 3x = 0
40) − 8 = 6x − 2y
41) − 3y = − 5x + 9
42) − 3y = 3 − 3x
2
106

---

2.4
Graphing - Point-Slope Form
Objective: Give the equation of a line with a known slope and point.
The slope-intercept form has the advantage of being simple to remember and use,
however, it has one major disadvantage: we must know the y-intercept in order to
use it! Generally we do not know the y-intercept, we only know one or more
points (that are not the y-intercept). In these cases we can’t use the slope inter-
cept equation, so we will use a different more flexible formula. If we let the slope
of an equation be m, and a specific point on the line be (x1, y1), and any other
point on the line be (x, y). We can use the slope formula to make a second equa-
tion.
Example 139.
m, (x1, y1), (x, y)
Recall slope formula
y2 − y1 = m Plug in values
x2 − x1
y − y1 = m Multiply both sides by (x −x
x − x
1)
1
y − y1 = m(x − x1)
Our Solution
If we know the slope, m of an equation and any point on the line (x1, y1) we can
easily plug these values into the equation above which will be called the point-
slope formula.
Point − Slope Formula: y − y1 = m(x − x1)
Example 140.
Write the equation of the line through the point (3, − 4) with a slope of 3.
5
y − y1 = m(x − x1)
Plug values into point − slope formula
3
y − ( − 4) = (x − 3)
Simplify signs
5
3
y + 4 = (x − 3)
Our Solution
5
Often, we will prefer final answers be written in slope intercept form. If the direc-
107

---

tions ask for the answer in slope-intercept form we will simply distribute the
slope, then solve for y.
Example 141.
Write the equation of the line through the point ( − 6, 2) with a slope of − 2 in
3
slope-intercept form.
y − y1 = m(x − x1)
Plug values into point − slope formula
2
y − 2 = − (x − ( − 6))
Simplify signs
3
2
y − 2 = − (x + 6)
Distribute slope
3 2
y − 2 = − x − 4
Solve for y
3
+ 2
+ 2
2
y = − x − 2
Our Solution
3
An important thing to observe about the point slope formula is that the operation
between the x’s and y’s is subtraction. This means when you simplify the signs
you will have the opposite of the numbers in the point. We need to be very
careful with signs as we use the point-slope formula.
In order to find the equation of a line we will always need to know the slope. If
we don’t know the slope to begin with we will have to do some work to find it
first before we can get an equation.
Example 142.
Find the equation of the line through the points ( − 2, 5) and (4, − 3).
y
m = 2 − y1
First we must find the slope
x2 − x1
− 3 − 5
− 8
4
m =
=
= −
Plug values in slope formula and evaluate
4 − ( − 2)
6
3
y − y1 = m(x − x1)
With slope and either point, use point − slope formula
4
y − 5 = − (x − ( − 2))
Simplify signs
3
4
y − 5 = − (x + 2)
Our Solution
3
Example 143.
108

---

Find the equation of the line through the points ( − 3, 4) and ( − 1, − 2) in slope-
intercept form.
y
m = 2 − y1
First we must find the slope
x2 − x1
− 2 − 4
− 6
m =
=
= − 3
Plug values in slope formula and evaluate
− 1 − ( − 3)
2
y − y1 = m(x − x1)
With slope and either point, point − slope formula
y − 4 = − 3(x − ( − 3))
Simplify signs
y − 4 = − 3(x + 3)
Distribute slope
y − 4 = − 3x − 9
Solve for y
+ 4
+ 4
Add 4 to both sides
y = − 3x − 5
Our Solution
Example 144.
Find the equation of the line through the points (6, − 2) and ( − 4, 1) in slope-
intercept form.
y
m = 2 − y1
First we must find the slope
x2 − x1
1 − ( − 2)
3
3
m =
=
= −
Plug values into slope formula and evaluate
− 4 − 6
− 10
10
y − y1 = m(x − x1)
Use slope and either point, use point − slope formula
3
y − ( − 2) = −
(x − 6)
Simplify signs
10
3
y + 2 = −
(x − 6)
Distribute slope
103
9
y + 2 = −
x +
Solve for y. Subtract 2 from both sides
10
5
10
10
− 2
−
Using
on right so we have a common denominator
5
5
3
1
y = −
x −
Our Solution
10
5
World View Note: The city of Konigsberg (now Kaliningrad, Russia) had a
river that flowed through the city breaking it into several parts. There were 7
bridges that connected the parts of the city. In 1735 Leonhard Euler considered
the question of whether it was possible to cross each bridge exactly once and only
once. It turned out that this problem was impossible, but the work laid the foun-
dation of what would become graph theory.
109

---

2.4 Practice - Point-Slope Form
Write the point-slope form of the equation of the line through the
given point with the given slope.
1) through (2, 3), slope = undefined
2) through (1, 2), slope = undefined
3) through (2, 2), slope = 1
4) through (2, 1), slope = − 1
2
2
5) through ( − 1, − 5), slope = 9
6) through (2, − 2), slope = − 2
7) through ( − 4, 1), slope = 3
8) through (4, − 3), slope = − 2
4
9) through (0, − 2), slope = − 3
10) through ( − 1, 1), slope = 4
11) through (0, − 5), slope = − 1
12) through (0, 2), slope =
4
− 54
13) through ( − 5, − 3), slope = 1
14) through ( − 1, − 4), slope = − 2
5
3
15) through ( − 1, 4), slope = − 5
16) through (1, − 4), slope = − 3
4
2
Write the slope-intercept form of the equation of the line through the
given point with the given slope.
17) through: ( − 1, − 5), slope = 2
18) through: (2, − 2), slope = − 2
19) through: (5, − 1), slope = − 3
20) through: ( − 2, − 2), slope = − 2
5
3
21) through: ( − 4, 1), slope = 1
22) through: (4, − 3), slope = − 7
2
4
23) through: (4, − 2), slope = − 3
24) through: ( − 2, 0), slope = − 5
2
2
25) through: ( − 5, − 3), slope = − 2
26) through: (3, 3), slope = 7
5
3
27) through: (2, − 2), slope = 1
28) through: ( − 4, − 3), slope = 0
29) through:( − 3, 4), slope=undefined
30) through: ( − 2, − 5), slope = 2
31) through: ( − 4, 2), slope = − 1
32) through: (5, 3), slope = 6
2
5
110

---

Write the point-slope form of the equation of the line through the
given points.
33) through: ( − 4, 3) and ( − 3, 1)
34) through: (1, 3) and ( − 3, 3)
35) through: (5, 1) and ( − 3, 0)
36) through: ( − 4, 5) and (4, 4)
37) through: ( − 4, − 2) and (0, 4)
38) through: ( − 4, 1) and (4, 4)
39) through: (3, 5) and ( − 5, 3)
40) through: ( − 1, − 4) and ( − 5, 0)
41) through: (3, − 3) and ( − 4, 5)
42) through: ( − 1, − 5) and ( − 5, − 4)
Write the slope-intercept form of the equation of the line through the
given points.
43) through: ( − 5, 1) and ( − 1, − 2)
44) through: ( − 5, − 1) and (5, − 2)
45) through: ( − 5, 5) and (2, − 3)
46) through: (1, − 1) and ( − 5, − 4)
47) through: (4, 1) and (1, 4)
48) through: (0, 1) and ( − 3, 0)
49) through: (0, 2) and (5, − 3)
50) through: (0, 2) and (2, 4)
51) through: (0, 3) and ( − 1, − 1)
52) through: ( − 2, 0) and (5, 3)
111

---

2.5
Graphing - Parallel and Perpendicular Lines
Objective: Identify the equation of a line given a parallel or perpendic-
ular line.
There is an interesting connection between the slope of lines that are parallel and
the slope of lines that are perpendicular (meet at a right angle). This is shown in
the following example.
Example 145.
The above graph has two parallel
The above graph has two perpendic-
lines. The slope of the top line is
ular lines. The slope of the flatter line
down 2, run 3, or − 2. The slope of
is
up
2,
run
3
or
3
2
the bottom line is down 2, run 3 as
. The slope of the steeper line is down 3,
3
well, or − 2.
run 2 or − 3.
3
2
World View Note: Greek Mathematician Euclid lived around 300 BC and pub-
lished a book titled, The Elements. In it is the famous parallel postulate which
mathematicians have tried for years to drop from the list of postulates. The
attempts have failed, yet all the work done has developed new types of geome-
tries!
As the above graphs illustrate, parallel lines have the same slope and perpendic-
ular lines have opposite (one positive, one negative) reciprocal (flipped fraction)
slopes. We can use these properties to make conclusions about parallel and per-
pendicular lines.
Example 146.
Find the slope of a line parallel to 5y − 2x = 7.
5y − 2x = 7
To find the slope we will put equation in slope − intercept form
+ 2x + 2x
Add 2x to both sides
5y = 2x + 7
Put x term first
5
5
5
Divide each term by 5
2
7
y = x +
The slope is the coefficient of x
5
5
112

---

2
m =
Slope of first line. Parallel lines have the same slope
5
2
m =
Our Solution
5
Example 147.
Find the slope of a line perpendicular to 3x − 4y = 2
3x − 4y = 2
To find slope we will put equation in slope − intercept form
− 3x
− 3x
Subtract 3x from both sides
− 4y = − 3x + 2
Put x term first
− 4
− 4 − 4
Divide each term by − 4
3
1
y = x −
The slope is the coefficient of x
4
2
3
m =
Slope of first lines. Perpendicular lines have opposite reciprocal slopes
4
4
m = −
Our Solution
3
Once we have a slope, it is possible to find the complete equation of the second
line if we know one point on the second line.
Example 148.
Find the equation of a line through (4, − 5) and parallel to 2x − 3y = 6.
2x − 3y = 6
We first need slope of parallel line
− 2x
− 2x
Subtract 2x from each side
− 3y = − 2x + 6
Put x term first
− 3
− 3 − 3
Divide each term by − 3
2
y = x − 2
Identify the slope, the coefficient of x
3
2
m =
Parallel lines have the same slope
3
2
m =
We will use this slope and our point (4, − 5)
3
y − y1 = m(x − x1)
Plug this information into point slope formula
2
y − ( − 5) = (x − 4)
Simplify signs
3
2
y + 5 = (x − 4)
Our Solution
3
113

---

Example 149.
Find the equation of the line through (6, − 9) perpendicular to y = − 3x + 4 in
5
slope-intercept form.
3
y = − x + 4
Identify the slope, coefficient of x
5
3
m = −
Perpendicular lines have opposite reciprocal slopes
5
5
m =
We will use this slope and our point (6, − 9)
3
y − y1 = m(x − x1)
Plug this information into point − slope formula
5
y − ( − 9) = (x − 6)
Simplify signs
3
5
y + 9 = (x − 6)
Distribute slope
3
5
y + 9 = x − 10
Solve for y
3
− 9
− 9
Subtract 9 from both sides
5
y = x − 19
Our Solution
3
Zero slopes and no slopes may seem like opposites (one is a horizontal line, one is
a vertical line). Because a horizontal line is perpendicular to a vertical line we can
say that no slope and zero slope are actually perpendicular slopes!
Example 150.
Find the equation of the line through (3, 4) perpendicular to x = − 2
x = − 2
This equation has no slope, a vertical line
no slope
Perpendicular line then would have a zero slope
m = 0
Use this and our point (3, 4)
y − y1 = m(x − x1)
Plug this information into point − slope formula
y − 4 = 0(x − 3)
Distribute slope
y − 4 = 0
Solve for y
+ 4 + 4
Add 4 to each side
y = 4
Our Solution
Being aware that to be perpendicular to a vertical line means we have a hori-
zontal line through a y value of 4, thus we could have jumped from this point
right to the solution, y = 4.
114

---

2.5 Practice - Parallel and Perpendicular Lines
Find the slope of a line parallel to each given line.
1) y = 2x + 4
2) y = − 2x + 5
3
3) y = 4x − 5
4) y = − 10x − 5
3
5) x − y = 4
6) 6x − 5y = 20
7) 7x + y = − 2
8) 3x + 4y = − 8
Find the slope of a line perpendicular to each given line.
9) x = 3
10) y = − 1x − 1
2
11) y = − 1x
3
12) y = 4x
5
13) x − 3y = − 6
14) 3x − y = − 3
15) x + 2y = 8
16) 8x − 3y = − 9
Write the point-slope form of the equation of the line described.
17) through: (2, 5), parallel to x = 0
18) through: (5, 2), parallel to y = 7x + 4
5
19) through: (3, 4), parallel to y = 9x − 5
2
20) through: (1, − 1), parallel to y = − 3x + 3
4
21) through: (2, 3), parallel to y = 7x + 4
5
22) through: ( − 1, 3), parallel to y = − 3x − 1
23) through: (4, 2), parallel to x = 0
24) through: (1, 4), parallel to y = 7x + 2
5
25) through: (1, − 5), perpendicular to − x + y = 1
26) through: (1, − 2), perpendicular to − x + 2y = 2
115

---

27) through: (5, 2), perpendicular to 5x + y = − 3
28) through: (1, 3), perpendicular to − x + y = 1
29) through: (4, 2), perpendicular to − 4x + y = 0
30) through: ( − 3, − 5), perpendicular to 3x + 7y = 0
31) through: (2, − 2) perpendicular to 3y − x = 0
32) through: ( − 2, 5). perpendicular to y − 2x = 0
Write the slope-intercept form of the equation of the line described.
33) through: (4, − 3), parallel to y = − 2x
34) through: ( − 5, 2), parallel to y = 3x
5
35) through: ( − 3, 1), parallel to y = − 4x − 1
3
36) through: ( − 4, 0), parallel to y = − 5x + 4
4
37) through: ( − 4, − 1), parallel to y = − 1x + 1
2
38) through: (2, 3), parallel to y = 5x − 1
2
39) through: ( − 2, − 1), parallel to y = − 1x − 2
2
40) through: ( − 5, − 4), parallel to y = 3x − 2
5
41) through: (4, 3), perpendicular to x + y = − 1
42) through: ( − 3, − 5), perpendicular to x + 2y = − 4
43) through: (5, 2), perpendicular to x = 0
44) through: (5, − 1), perpendicular to − 5x + 2y = 10
45) through: ( − 2, 5), perpendicular to − x + y = − 2
46) through: (2, − 3), perpendicular to − 2x + 5y = − 10
47) through: (4, − 3), perpendicular to − x + 2y = − 6
48) through: ( − 4, 1), perpendicular to 4x + 3y = − 9
116

---

Chapter 3 : Inequalities
3.1 Solve and Graph Inequalities .................................................................118
3.2 Compound Inequalities ..........................................................................124
3.3 Absolute Value Inequalities ....................................................................128
117

---

3.1
Inequalities - Solve and Graph Inequalities
Objective: Solve, graph, and give interval notation for the solution to
linear inequalities.
When we have an equation such as x = 4 we have a specific value for our variable.
With inequalities we will give a range of values for our variable. To do this we
will not use equals, but one of the following symbols:
>
Greater than
>
Greater than or equal to
<
Less than
6
Less than or equal to
World View Note: English mathematician Thomas Harriot first used the above
symbols in 1631. However, they were not immediately accepted as symbols such
as ⊏ and ⊐ were already coined by another English mathematician, William
Oughtred.
If we have an expression such as x < 4, this means our variable can be any number
smaller than 4 such as − 2, 0, 3, 3.9 or even 3.999999999 as long as it is smaller
118

---

than 4. If we have an expression such as x > − 2, this means our variable can be
any number greater than or equal to − 2, such as 5, 0, − 1, − 1.9999, or even − 2.
Because we don’t have one set value for our variable, it is often useful to draw a
picture of the solutions to the inequality on a number line. We will start from the
value in the problem and bold the lower part of the number line if the variable is
smaller than the number, and bold the upper part of the number line if the vari-
able is larger. The value itself we will mark with brackets, either ) or ( for less
than or greater than respectively, and ] or [ for less than or equal to or greater
than or equal to respectively.
Once the graph is drawn we can quickly convert the graph into what is called
interval notation. Interval notation gives two numbers, the first is the smallest
value, the second is the largest value. If there is no largest value, we can use ∞
(infinity). If there is no smallest value, we can use − ∞ negative infinity. If we
use either positive or negative infinity we will always use a curved bracket for that
value.
Example 151.
Graph the inequality and give the interval notation
x < 2
Start at 2 and shade below
Use ) for less than
Our Graph
( − ∞, 2)
Interval Notation
Example 152.
Graph the inequality and give the interval notation
y > − 1
Start at − 1 and shade above
Use [ for greater than or equal
Our Graph
[ − 1, ∞)
Interval Notation
We can also take a graph and find the inequality for it.
119

---

Example 153.
Give the inequality for the graph:
Graph starts at 3 and goes up or greater. Curved bracket means just greater than
x > 3
Our Solution
Example 154.
Give the inequality for the graph:
Graph starts at − 4 and goes down or less. Square bracket means less than or
equal to
x 6 − 4
Our Solution
Generally when we are graphing and giving interval notation for an inequality we
will have to first solve the inequality for our variable. Solving inequalities is very
similar to solving equations with one exception. Consider the following inequality
and what happens when various operations are done to it. Notice what happens
to the inequality sign as we add, subtract, multiply and divide by both positive
and negative numbers to keep the statment a true statement.
5 > 1
Add 3 to both sides
8 > 4
Subtract 2 from both sides
6 > 2
Multiply both sides by 3
12 > 6
Divide both sides by 2
6 > 3
Add − 1 to both sides
5 > 2
Subtract − 4 from both sides
9 > 6
Multiply both sides by − 2
− 18 < − 12
Divide both sides by − 6
3 > 2
Symbol flipped when we multiply or divide by a negative!
As the above problem illustrates, we can add, subtract, multiply, or divide on
both sides of the inequality. But if we multiply or divide by a negative number,
the symbol will need to flip directions. We will keep that in mind as we solve
inequalities.
Example 155.
Solve and give interval notation
5 − 2x > 11
Subtract 5 from both sides
120

---

− 5
− 5
− 2x > 6
Divide both sides by − 2
− 2 − 2
Divide by a negative − flip symbol!
x 6 − 3
Graph, starting at − 3, going down with ] for less than or equal to
( − ∞, − 3]
Interval Notation
The inequality we solve can get as complex as the linear equations we solved. We
will use all the same patterns to solve these inequalities as we did for solving
equations. Just remember that any time we multiply or divide by a negative the
symbol switches directions (multiplying or dividing by a positive does not change
the symbol!)
Example 156.
Solve and give interval notation
3(2x − 4) + 4x < 4(3x − 7) + 8
Distribute
6x − 12 + 4x < 12x − 28 + 8
Combine like terms
10x − 12 < 12x − 20
Move variable to one side
− 10x
− 10x
Subtract 10x from both sides
− 12 < 2x − 20
Add 20 to both sides
+ 20
+ 20
8 < 2x
Divide both sides by 2
2
2
4 < x
Be careful with graph, x is larger!
(4, ∞)
Interval Notation
It is important to be careful when the inequality is written backwards as in the
previous example (4 < x rather than x > 4). Often students draw their graphs the
wrong way when this is the case. The inequality symbol opens to the variable,
this means the variable is greater than 4. So we must shade above the 4.
121

---

3.1 Practice - Solve and Graph Inequalities
Draw a graph for each inequality and give interval notation.
1) n > − 5
2) n > 4
3) − 2 > k
4) 1 > k
5) 5 > x
6) − 5 < x
Write an inequality for each graph.
7)
8)
9)
10)
11)
12)
122

---

Solve each inequality, graph each solution, and give interval notation.
13) x > 10
14) − 2 6 n
11
13
15) 2 + r < 3
16) m 6 − 6
5
5
17) 8 + n > 6
3
18) 11 > 8 + x2
19) 2 > a − 2
20) v − 9 6 2
5
− 4
21) − 47 > 8 − 5x
22) 6 + x 6 − 1
12
23) − 2(3 + k) < − 44
24) − 7n − 10 > 60
25) 18 < − 2( − 8 + p)
26) 5 > x + 1
5
27) 24 > − 6(m − 6)
28) − 8(n − 5) > 0
29) − r − 5(r − 6) < − 18
30) − 60 > − 4( − 6x − 3)
31) 24 + 4b < 4(1 + 6b)
32) − 8(2 − 2n) > − 16 + n
33) − 5v − 5 < − 5(4v + 1)
34) − 36 + 6x > − 8(x + 2) + 4x
35) 4 + 2(a + 5) < − 2( − a − 4)
36) 3(n + 3) + 7(8 − 8n) < 5n + 5 + 2
37) − (k − 2) > − k − 20
38) − (4 − 5p) + 3 > − 2(8 − 5p)
123

---

3.2
Inequalities - Compound Inequalities
Objective: Solve, graph and give interval notation to the solution of
compound inequalities.
Several inequalities can be combined together to form what are called compound
inequalities. There are three types of compound inequalities which we will investi-
gate in this lesson.
The first type of a compound inequality is an OR inequality. For this type of
inequality we want a true statment from either one inequality OR the other
inequality OR both. When we are graphing these type of inequalities we will
graph each individual inequality above the number line, then move them both
down together onto the actual number line for our graph that combines them
together.
When we give interval notation for our solution, if there are two different parts to
the graph we will put a ∪ (union) symbol between two sets of interval notation,
one for each part.
Example 157.
Solve each inequality, graph the solution, and give interval notation of solution
2x − 5 > 3 or 4 − x > 6
Solve each inequality
+ 5 + 5
− 4
− 4
Add or subtract first
2x > 8 or − x > 2
Divide
2
2
− 1 − 1
Dividing by negative flips sign
x > 4 or x 6 − 2
Graph the inequalities separatly above number line
( − ∞, − 2] ∪ (4, ∞) Interval Notation
World View Note: The symbol for infinity was first used by the Romans,
although at the time the number was used for 1000. The greeks also used the
symbol for 10,000.
There are several different results that could result from an OR statement. The
graphs could be pointing different directions, as in the graph above, or pointing in
the same direction as in the graph below on the left, or pointing opposite direc-
tions, but overlapping as in the graph below on the right. Notice how interval
notation works for each of these cases.
124

---

As the graphs overlap, we take the
When the graphs are combined they
largest graph for our solution.
cover the entire number line.
Interval Notation: ( − ∞, 1)
Interval Notation: ( − ∞, ∞) or R
The second type of compound inequality is an AND inequality. AND inequalities
require both statements to be true. If one is false, they both are false. When we
graph these inequalities we can follow a similar process, first graph both inequali-
ties above the number line, but this time only where they overlap will be drawn
onto the number line for our final graph. When our solution is given in interval
notation it will be expressed in a manner very similar to single inequalities (there
is a symbol that can be used for AND, the intersection - ∩ , but we will not use it
here).
Example 158.
Solve each inequality, graph the solution, and express it interval notation.
2x + 8 > 5x − 7 and 5x − 3 > 3x + 1
Move variables to one side
− 2x
− 2x
− 3x
− 3x
8 > 3x − 7 and 2x − 3 > 1
Add 7 or 3 to both sides
+ 7
+ 7
+ 3 + 3
15 > 3x and 2x > 4
Divide
3
3
2 2
5 > x and x > 2
Graph, x is smaller (or equal) than 5,
greater than 2
(2, 5]
Interval Notation
Again, as we graph AND inequalities, only the overlapping parts of the individual
graphs makes it to the final number line. As we graph AND inequalities there are
also three different types of results we could get. The first is shown in the above
125

---

example. The second is if the arrows both point the same way, this is shown
below on the left. The third is if the arrows point opposite ways but don’t
overlap, this is shown below on the right. Notice how interval notation is
expressed in each case.
In this graph, the overlap is only the
In this graph there is no overlap of the
smaller graph, so this is what makes it
parts. Because their is no overlap, no
to the final number line.
values make it to the final number
Interval Notation: ( − ∞, − 2)
line.
Interval Notation: No Solution or ∅
The third type of compound inequality is a special type of AND inequality. When
our variable (or expression containing the variable) is between two numbers, we
can write it as a single math sentence with three parts, such as 5 < x 6 8, to show
x is between 5 and 8 (or equal to 8). When solving these type of inequalities,
because there are three parts to work with, to stay balanced we will do the same
thing to all three parts (rather than just both sides) to isolate the variable in the
middle. The graph then is simply the values between the numbers with appro-
priate brackets on the ends.
Example 159.
Solve the inequality, graph the solution, and give interval notation.
− 6 6 − 4x + 2 < 2
Subtract 2 from all three parts
− 2
− 2 − 2
− 8 6 − 4x < 0
Divide all three parts by − 4
− 4 − 4 − 4
Dividing by a negative flips the symbols
2 > x > 0
Flip entire statement so values get larger left to right
0 < x 6 2
Graph x between 0 and 2
(0, 2]
Interval Notation
126

---

3.2 Practice - Compound Inequalities
Solve each compound inequality, graph its solution, and give interval
notation.
1) n 6 − 3 or − 5n 6 − 10
2) 6m > − 24 or m − 7 < − 12
3
3) x + 7 > 12 or 9x < − 45
4) 10r > 0 or r − 5 < − 12
5) x − 6 < − 13 or 6x 6 − 60
6) 9 + n < 2 or 5n > 40
7) v > − 1 and v − 2 < 1
8) − 9x < 63 and x < 1
8
4
9) − 8 + b < − 3 and 4b < 20
10) − 6n 6 12 and n 6 2
3
11) a + 10 > 3 and 8a 6 48
12) − 6 + v > 0 and 2v > 4
13) 3 6 9 + x 6 7
14) 0 > x > − 1
9
15) 11 < 8 + k 6 12
16) − 11 6 n − 9 6 − 5
17) − 3 < x − 1 < 1
18) 1 6 p 6 0
8
19) − 4 < 8 − 3m 6 11
20) 3 + 7r > 59 or − 6r − 3 > 33
21) − 16 6 2n − 10 6 − 22
22) − 6 − 8x > − 6 or 2 + 10x > 82
23) − 5b + 10 6 30 and 7b + 2 6 − 40
24) n + 10 > 15 or 4n − 5 < − 1
25) 3x − 9 < 2x + 10 and 5 + 7x 6 10x − 10
26) 4n + 8 < 3n − 6 or 10n − 8 > 9 + 9n
27) − 8 − 6v 6 8 − 8v and 7v + 9 6 6 + 10v
28) 5 − 2a > 2a + 1 or 10a − 10 > 9a + 9
29) 1 + 5k 6 7k − 3 or k − 10 > 2k + 10
30) 8 − 10r 6 8 + 4r or − 6 + 8r < 2 + 8r
31) 2x + 9 > 10x + 1 and 3x − 2 < 7x + 2
32) − 9m + 2 < − 10 − 6m or − m + 5 > 10 + 4m
127

---

3.3
Inequalities - Absolute Value Inequalities
Objective: Solve, graph and give interval notation for the solution to
inequalities with absolute values.
When an inequality has an absolute value we will have to remove the absolute
value in order to graph the solution or give interval notation. The way we remove
the absolute value depends on the direction of the inequality symbol.
Consider |x| < 2.
Absolute value is defined as distance from zero. Another way to read this
inequality would be the distance from zero is less than 2. So on a number line we
will shade all points that are less than 2 units away from zero.
This graph looks just like the graphs of the three part compound inequalities!
When the absolute value is less than a number we will remove the absolute value
by changing the problem to a three part inequality, with the negative value on the
left and the positive value on the right. So |x| < 2 becomes − 2 < x < 2, as the
graph above illustrates.
Consider |x| > 2.
Absolute value is defined as distance from zero. Another way to read this
inequality would be the distance from zero is greater than 2. So on the number
line we shade all points that are more than 2 units away from zero.
This graph looks just like the graphs of the OR compound inequalities! When the
absolute value is greater than a number we will remove the absolute value by
changing the problem to an OR inequality, the first inequality looking just like
the problem with no absolute value, the second flipping the inequality symbol and
changing the value to a negative. So |x| > 2 becomes x > 2 or x < − 2, as the graph
above illustrates.
World View Note: The phrase “absolute value” comes from German mathemati-
cian Karl Weierstrass in 1876, though he used the absolute value symbol for com-
plex numbers. The first known use of the symbol for integers comes from a 1939
128

---

edition of a college algebra text!
For all absolute value inequalities we can also express our answers in interval
notation which is done the same way it is done for standard compound inequali-
ties.
We can solve absolute value inequalities much like we solved absolute value equa-
tions. Our first step will be to isolate the absolute value. Next we will remove the
absolute value by making a three part inequality if the absolute value is less than
a number, or making an OR inequality if the absolute value is greater than a
number. Then we will solve these inequalites. Remember, if we multiply or divide
by a negative the inequality symbol will switch directions!
Example 160.
Solve, graph, and give interval notation for the solution
|4x − 5| > 6
Absolute value is greater, use OR
4x − 5 > 6 OR 4x − 5 6 − 6
Solve
+ 5 + 5
+ 5
+ 5
Add 5 to both sides
4x > 11 OR 4x 6 − 1
Divide both sides by 4
4
4
4
4
11
1
x >
OR x 6 −
Graph
4
4

1   11

− ∞, −
∪
, ∞
Interval notation
4
4
Example 161.
Solve, graph, and give interval notation for the solution
− 4 − 3|x| 6 − 16
Add 4 to both sides
+ 4
+ 4
− 3|x| 6 − 12
Divide both sides by − 3
− 3
− 3
Dividing by a negative switches the symbol
|x| > 4
Absolute value is greater, use OR
129

---

x > 4 OR x 6 − 4
Graph
( − ∞, − 4] ∪ [4, ∞)
Interval Notation
In the previous example, we cannot combine − 4 and − 3 because they are not like
terms, the − 3 has an absolute value attached. So we must first clear the − 4 by
adding 4, then divide by − 3. The next example is similar.
Example 162.
Solve, graph, and give interval notation for the solution
9 − 2|4x + 1| > 3
Subtract 9 from both sides
− 9
− 9
− 2|4x + 1| > − 6
Divide both sides by − 2
− 2
− 2
Dividing by negative switches the symbol
|4x + 1| < 3
Absolute value is less, use three part
− 3 < 4x + 1 < 3
Solve
− 1
− 1 − 1
Subtract 1 from all three parts
− 4 < 4x < 2
Divide all three parts by 4
4
4
4
1
− 1 < x <
Graph
2

1 
− 1,
Interval Notation
2
In the previous example, we cannot distribute the − 2 into the absolute value.
We can never distribute or combine things outside the absolute value with what is
inside the absolute value. Our only way to solve is to first isolate the absolute
value by clearing the values around it, then either make a compound inequality
(and OR or a three part) to solve.
130

---

It is important to remember as we are solving these equations, the absolute value
is always positive. If we end up with an absolute value is less than a negative
number, then we will have no solution because absolute value will always be posi-
tive, greater than a negative. Similarly, if absolute value is greater than a nega-
tive, this will always happen. Here the answer will be all real numbers.
Example 163.
Solve, graph, and give interval notation for the solution
12 + 4|6x − 1| < 4
Subtract 12 from both sides
− 12
− 12
4|6x − 1| < − 8
Divide both sides by 4
4
4
|6x − 1| < − 2
Absolute value can′t be less than a negative
No Solution or ∅
Example 164.
Solve, graph, and give interval notation for the solution
5 − 6|x + 7| 6 17
Subtract 5 from both sides
− 5
− 5
− 6|x + 7| 6 12
Divide both sides by − 6
− 6
− 6
Dividing by a negative flips the symbol
|x + 7| > − 2
Absolute value always greater than negative
All Real Numbers or R
131

---

3.3 Practice - Absolute Value Inequalities
Solve each inequality, graph its solution, and give interval notation.
1) |x| < 3
2) |x| 6 8
3) |2x| < 6
4) |x + 3| < 4
5) |x − 2| < 6
6) x − 8| < 12
7) |x − 7| < 3
8) |x + 3| 6 4
9) |3x − 2| < 9
10) |2x + 5| < 9
11) 1 + 2|x − 1| 6 9
12) 10 − 3|x − 2| > 4
13) 6 − |2x − 5| > = 3
14) |x| > 5
15) |3x| > 5
16) |x − 4| > 5
17) |x = 3| > = 3
18) |2x − 4| > 6
19) |3x − 5| > > 3
20) 3 − |2 − x| < 1
21) 4 + 3|x − 1| > = 10
22) 3 − 2|3x − 1| > − 7
23) 3 − 2|x − 5| 6 − 15
24) 4 − 6| − 6 − 3x| 6 − 5
25) − 2 − 3|4 − 2x| > − 8
26) − 3 − 2|4x − 5| > 1
27) 4 − 5| − 2x − 7| < − 1
28) − 2 + 3|5 − x| 6 4
29) 3 − 2|4x − 5| > 1
30) − 2 − 3| − 3x − 5 > − 5
31) − 5 − 2|3x − 6| < − 8
32) 6 − 3|1 − 4x| < − 3
33) 4 − 4| − 2x + 6| > − 4
34) − 3 − 4| − 2x − 5| > − 7
35) | − 10 + x| > 8
132

---

Chapter 4 : Systems of Equations
4.1 Graphing ................................................................................................134
4.2 Substitution ............................................................................................139
4.3 Addition/Elimination .............................................................................146
4.4 Three Variables ......................................................................................151
4.5 Application: Value Problems .................................................................158
4.6 Application: Mixture Problems .............................................................167
133

---

4.1
Systems of Equations - Graphing
Objective: Solve systems of equations by graphing and identifying the
point of intersection.
We have solved problems like 3x − 4 = 11 by adding 4 to both sides and then
dividing by 3 (solution is x = 5). We also have methods to solve equations with
more than one variable in them. It turns out that to solve for more than one vari-
able we will need the same number of equations as variables. For example, to
solve for two variables such as x and y we will need two equations. When we have
several equations we are using to solve, we call the equations a system of equa-
tions. When solving a system of equations we are looking for a solution that
works in both equations. This solution is usually given as an ordered pair (x, y).
The following example illustrates a solution working in both equations
Example 165.
3x − y = 5
Show (2,1) is the solution to the system x + y = 3
(2, 1)
Identify x and y from the orderd pair
x = 2, y = 1
Plug these values into each equation
3(2) − (1) = 5
First equation
6 − 1 = 5
Evaluate
5 = 5
True
(2) + (1) = 3
Second equation, evaluate
3 = 3
True
As we found a true statement for both equations we know (2,1) is the solution to
the system. It is in fact the only combination of numbers that works in both
equations. In this lesson we will be working to find this point given the equations.
It seems to follow that if we use points to describe the solution, we can use graphs
to find the solutions.
If the graph of a line is a picture of all the solutions, we can graph two lines on
the same coordinate plane to see the solutions of both equations. We are inter-
134

---

ested in the point that is a solution for both lines, this would be where the lines
intersect! If we can find the intersection of the lines we have found the solution
that works in both equations.
Example 166.
1
y = − x + 3
2
To graph we identify slopes and y
3
− intercepts
y = x − 2
4
1
First: m = − , b = 3
2
Now we can graph both lines on the same plane.
3
Second: m = , b = − 2
4
To graph each equation, we start at
the y-intercept and use the slope rise
run
(4,1)
to get the next point and connect the
dots.
Remember a negative slope is down-
hill!
Find the intersection point, (4,1)
(4,1)
Our Solution
Often our equations won’t be in slope-intercept form and we will have to solve
both equations for y first so we can idenfity the slope and y-intercept.
Example 167.
6x − 3y = − 9
Solve each equation for y
2x + 2y = − 6
6x − 3y = − 9
2x + 2y = − 6
− 6x
− 6x − 2x
− 2x
Subtract x terms
− 3y = − 6x − 9
2y = − 2x − 6
Put x terms first
− 3
− 3 − 3
2
2
2
Divide by coefficient of y
y = 2x + 3
y = − x − 3
Identify slope and y − intercepts
135

---

2
First: m = , b = 3
1
Now we can graph both lines on the same plane
1
Second: m = − , b = − 3
1
To graph each equation, we start at
the y-intercept and use the slope rise
run
to get the next point and connect the
dots.
(-2,-1)
Remember a negative slope is down-
hill!
Find the intersection point, ( − 2, − 1)
( − 2, − 1)
Our Solution
As we are graphing our lines, it is possible to have one of two unexpected results.
These are shown and discussed in the next two example.
Example 168.
3
y = x − 4
2
Identify slope and y
3
− intercept of each equation
y = x + 1
2
3
First: m = , b = − 4
2
Now we can graph both equations on the same plane
3
Second: m = , b = 1
2
To graph each equation, we start at
the y-intercept and use the slope rise
run
to get the next point and connect the
dots.
The two lines do not intersect! They
are parallel! If the lines do not inter-
sect we know that there is no point
that works in both equations, there is
no solution
∅ No Solution
We also could have noticed that both lines had the same slope. Remembering
136

---

that parallel lines have the same slope we would have known there was no solu-
tion even without having to graph the lines.
Example 169.
2x − 6y = 12
Solve each equation for y
3x − 9y = 18
2x − 6y = 12
3x − 9y = 18
− 2x
− 2x − 3x
− 3x
Subtract x terms
− 6y = − 2x + 12
− 9y = − 3x + 18
Put x terms first
− 6
− 6 − 6
− 9
− 9 − 9
Divide by coefficient of y
1
1
y = x − 2
y = x − 2
Identify the slopes and y − intercepts
3
3
1
First: m = , b = − 2
3
Now we can graph both equations together
1
Second: m = , b = − 2
3
To graph each equation, we start at
the y-intercept and use the slope rise
run
to get the next point and connect the
dots.
Both equations are the same line! As
one line is directly on top of the other
line, we can say that the lines “inter-
sect” at all the points! Here we say we
have infinite solutions
Once we had both equations in slope-intercept form we could have noticed that
the equations were the same. At this point we could have stated that there are
infinite solutions without having to go through the work of graphing the equa-
tions.
World View Note: The Babylonians were the first to work with systems of
equations with two variables. However, their work with systems was quickly
passed by the Greeks who would solve systems of equations with three or four
variables and around 300 AD, developed methods for solving systems with any
number of unknowns!
137

---

4.1 Practice - Graphing
Solve each equation by graphing.
1) y = − x + 1
2) y = − 5x − 2
4
y = − 5x − 3
y = − 1x + 2
4
3) y = − 3
4) y = − x − 2
y = − x − 4
y = 2 x + 3
3
5) y = − 3x + 1
4
6) y = 2x + 2
y = − 3x + 2
4
y = − x − 4
7) y = 1 x + 2
8) y = 2x − 4
3
y = − 5x − 4
y = 1 x + 2
2
3
9) y = 5 x + 4
10) y = 1 x + 4
3
2
y = − 2x − 3
y = 1 x + 1
3
2
11) x + 3y = − 9
12) x + 4y = − 12
5x + 3y = 3
2x + y = 4
13) x − y = 4
14) 6x + y = − 3
2x + y = − 1
x + y = 2
15) 2x + 3y = − 6
16) 3x + 2y = 2
2x + y = 2
3x + 2y = − 6
17) 2x + y = 2
18) x + 2y = 6
x − y = 4
5x − 4y = 16
19) 2x + y = − 2
20) x − y = 3
x + 3y = 9
5x + 2y = 8
21) 0 = − 6x − 9y + 36
22) − 2y + x = 4
12 = 6x − 3y
2 = − x + 1 y
2
23) 2x − y = − 1
24) − 2y = − 4 − x
0 = − 2x − y − 3
− 2y = − 5x + 4
25) 3 + y = − x
26) 16 = − x − 4y
− 4 − 6x = − y
− 2x = − 4 − 4y
27) − y + 7x = 4
28) − 4 + y = x
− y − 3 + 7x = 0
x + 2 = − y
29) − 12 + x = 4y
30) − 5x + 1 = − y
12 − 5x = 4y
− y + x = − 3
138

---

4.2
Systems of Equations - Substitution
Objective: Solve systems of equations using substitution.
When solving a system by graphing has several limitations. First, it requires the
graph to be perfectly drawn, if the lines are not straight we may arrive at the
wrong answer. Second, graphing is not a great method to use if the answer is
really large, over 100 for example, or if the answer is a decimal the that graph will
not help us find, 3.2134 for example. For these reasons we will rarely use graphing
to solve our systems. Instead, an algebraic approach will be used.
The first algebraic approach is called substitution. We will build the concepts of
substitution through several example, then end with a five-step process to solve
problems using this method.
Example 170.
x = 5
We already know x = 5, substitute this into the other equation
y = 2x − 3
y = 2(5) − 3
Evaluate, multiply first
y = 10 − 3
Subtract
y = 7
We now also have y
(5, 7)
Our Solution
When we know what one variable equals we can plug that value (or expression) in
for the variable in the other equation. It is very important that when we substi-
tute, the substituted value goes in parenthesis. The reason for this is shown in the
next example.
Example 171.
2x − 3y = 7
We know y = 3x − 7, substitute this into the other equation
y = 3x − 7
2x − 3(3x − 7) = 7
Solve this equation, distributing − 3 first
139

---

2x − 9x + 21 = 7
Combine like terms 2x − 9x
− 7x + 21 = 7
Subtract 21
− 21 − 21
− 7x = − 14
Divide by − 7
− 7
− 7
x = 2
We now have our x, plug into the y = equation to find y
y = 3(2) − 7
Evaluate, multiply first
y = 6 − 7
Subtract
y = − 1
We now also have y
(2, − 1)
Our Solution
By using the entire expression 3x − 7 to replace y in the other equation we were
able to reduce the system to a single linear equation which we can easily solve for
our first variable. However, the lone variable (a variable without a coefficient) is
not always alone on one side of the equation. If this happens we can isolate it by
solving for the lone variable.
Example 172.
3x + 2y = 1
Lone variable is x, isolate by adding 5y to both sides.
x − 5y = 6
+ 5y + 5y
x = 6 + 5y
Substitute this into the untouched equation
3(6 + 5y) + 2y = 1
Solve this equation, distributing 3 first
18 + 15y + 2y = 1
Combine like terms 15y + 2y
18 + 17y = 1
Subtract 18 from both sides
− 18
− 18
17y = − 17
Divide both sides by 17
17
17
y = − 1
We have our y, plug this into the x = equation to find x
x = 6 + 5( − 1)
Evaluate, multiply first
x = 6 − 5
Subtract
x = 1
We now also have x
(1, − 1)
Our Solution
The process in the previous example is how we will solve problems using substitu-
140

---

tion. This process is described and illustrated in the following table which lists
the five steps to solving by substitution.
4x − 2y = 2
Problem
2x + y = − 5
Second Equation, y
1. Find the lone variable
2x + y = − 5
− 2x
− 2x
2. Solve for the lone variable
y = − 5 − 2x
3. Substitute into the untouched equation
4x − 2( − 5 − 2x) = 2
4x + 10 + 4x = 2
8x + 10 = 2
− 10 − 10
4. Solve
8x = − 8
8
8
x = − 1
y = − 5 − 2( − 1)
5. Plug into lone variable equation and evaluate
y = − 5 + 2
y = − 3
Solution
( − 1, − 3)
Sometimes we have several lone variables in a problem. In this case we will have
the choice on which lone variable we wish to solve for, either will give the same
final result.
Example 173.
x + y = 5
Find the lone variable: x or y in first, or x in second.
x − y = − 1
We will chose x in the first
x + y = 5
Solve for the lone variable, subtract y from both sides
− y − y
x = 5 − y
Plug into the untouched equation, the second equation
(5 − y) − y = − 1
Solve, parenthesis are not needed here, combine like terms
5 − 2y = − 1
Subtract 5 from both sides
− 5
− 5
− 2y = − 6
Divide both sides by − 2
− 2 − 2
y = 3
We have our y!
x = 5 − (3)
Plug into lone variable equation, evaluate
x = 2
Now we have our x
141

---

(2, 3)
Our Solution
Just as with graphing it is possible to have no solution ∅ (parallel lines) or
infinite solutions (same line) with the substitution method. While we won’t have
a parallel line or the same line to look at and conclude if it is one or the other,
the process takes an interesting turn as shown in the following example.
Example 174.
y + 4 = 3x
Find the lone variable, y in the first equation
2y − 6x = − 8
y + 4 = 3x
Solve for the lone variable, subtract 4 from both sides
− 4 − 4
y = 3x − 4
Plug into untouched equation
2(3x − 4) − 6x = − 8
Solve, distribute through parenthesis
6x − 8 − 6x = − 8
Combine like terms 6x − 6x
− 8 = − 8
Variables are gone!A true statement.
Infinite solutions
Our Solution
Because we had a true statement, and no variables, we know that anything that
works in the first equation, will also work in the second equation. However, we do
not always end up with a true statement.
Example 175.
6x − 3y = − 9
Find the lone variable, y in the second equation
− 2x + y = 5
− 2x + y = 5
Solve for the lone variable, add 2x to both sides
+ 2x
+ 2x
y = 5 + 2x
Plug into untouched equation
6x − 3(5 + 2x) = − 9
Solve, distribute through parenthesis
6x − 15 − 6x = − 9
Combine like terms 6x − 6x
− 15 − 9
Variables are gone!A false statement.

No Solution ∅
Our Solution
Because we had a false statement, and no variables, we know that nothing will
work in both equations.
142

---

World View Note: French mathematician Rene Descartes wrote a book which
included an appendix on geometry. It was in this book that he suggested using
letters from the end of the alphabet for unknown values. This is why often we are
solving for the variables x, y, and z.
One more question needs to be considered, what if there is no lone variable? If
there is no lone variable substitution can still work to solve, we will just have to
select one variable to solve for and use fractions as we solve.
Example 176.
5x − 6y = − 14
No lone variable,
− 2x + 4y = 12
we will solve for x in the first equation
5x − 6y = − 14
Solve for our variable, add 6y to both sides
+ 6y + 6y
5x = − 14 + 6y
Divide each term by 5
5
5
5
− 14
6y
x =
+
Plug into untouched equation
5
5
 − 14
6y 
− 2
+
+ 4y = 12
Solve, distribute through parenthesis
5
5
28
12y
−
+ 4y = 12
Clear fractions by multiplying by 5
5
5
28(5)
12y(5)
−
+ 4y(5) = 12(5)
Reduce fractions and multiply
5
5 28−12y+20y=60 Combineliketerms −12y+20y
28 + 8y = 60
Subtract 28 from both sides
− 28
− 28
8y = 32
Divide both sides by 8
8
8
y = 4
We have our y
− 14
6(4)
x =
+
Plug into lone variable equation, multiply
5
5
− 14
24
x =
+
Add fractions
5
5
10
x =
Reduce fraction
5
x = 2
Now we have our x
(2, 4)
Our Solution
Using the fractions does make the problem a bit more tricky. This is why we have
another method for solving systems of equations that will be discussed in another
lesson.
143

---

4.2 Practice - Substitution
Solve each system by substitution.
1) y = − 3x
2) y = x + 5
y = 6x − 9
y = − 2x − 4
3) y = − 2x − 9
4) y = − 6x + 3
y = 2x − 1
y = 6x + 3
5) y = 6x + 4
6) y = 3x + 13
y = − 3x − 5
y = − 2x − 22
7) y = 3x + 2
8) y = − 2x − 9
y = − 3x + 8
y = − 5x − 21
9) y = 2x − 3
10) y = 7x − 24
y = − 2x + 9
y = − 3x + 16
11) y = 6x − 6
12) − x + 3y = 12
− 3x − 3y = − 24
y = 6x + 21
13) y = − 6
14) 6x − 4y = − 8
3x − 6y = 30
y = − 6x + 2
15) y = − 5
16) 7x + 2y = − 7
3x + 4y = − 17
y = 5x + 5
17) − 2x + 2y = 18
18) y = x + 4
y = 7x + 15
3x − 4y = − 19
19) y = − 8x + 19
20) y = − 2x + 8
− x + 6y = 16
− 7x − 6y = − 8
21) 7x − 2y = − 7
22) x − 2y = − 13
y = 7
4x + 2y = 18
23) x − 5y = 7
24) 3x − 4y = 15
2x + 7y = − 20
7x + y = 4
25) − 2x − y = − 5
26) 6x + 4y = 16
x − 8y = − 23
− 2x + y = − 3
27) − 6x + y = 20
28) 7x + 5y = − 13
− 3x − 3y = − 18
x − 4y = − 16
29) 3x + y = 9
30) − 5x − 5y = − 20
2x + 8y = − 16
− 2x + y = 7
144

---

31) 2x + y = 2
32) 2x + y = − 7
3x + 7y = 14
5x + 3y = − 21
33) x + 5y = 15
34) 2x + 3y = − 10
− 3x + 2y = 6
7x + y = 3
35) − 2x + 4y = − 16
36) − 2x + 2y = − 22
y = − 2
− 5x − 7y = − 19
37) − 6x + 6y = − 12
38) − 8x + 2y = − 6
8x − 3y = 16
− 2x + 3y = 11
39) 2x + 3y = 16
40) − x − 4y = − 14
− 7x − y = 20
− 6x + 8y = 12
145

---

4.3
Systems of Equations - Addition/Elimination
Objective: Solve systems of equations using the addition/elimination
method.
When solving systems we have found that graphing is very limited when solving
equations. We then considered a second method known as substituion. This is
probably the most used idea in solving systems in various areas of algebra. How-
ever, substitution can get ugly if we don’t have a lone variable. This leads us to
our second method for solving systems of equations. This method is known as
either Elimination or Addition. We will set up the process in the following exam-
ples, then define the five step process we can use to solve by elimination.
Example 177.
3x − 4y = 8
Notice opposites in front of y′s. Add columns.
5x + 4y = − 24
8x
= − 16
Solve for x, divide by 8
8
8
x = − 2
We have our x!
5( − 2) + 4y = − 24
Plug into either original equation, simplify
− 10 + 4y = − 24
Add 10 to both sides
+ 10
+ 10
4y = − 14
Divide by 4
4
4
− 7
y =
Now we have our y!
2

− 7 
− 2,
Our Solution
2
In the previous example one variable had opposites in front of it, − 4y and 4y.
Adding these together eliminated the y completely. This allowed us to solve for
the x. This is the idea behind the addition method. However, generally we won’t
have opposites in front of one of the variables. In this case we will manipulate the
equations to get the opposites we want by multiplying one or both equations (on
both sides!). This is shown in the next example.
Example 178.
− 6x + 5y = 22
We can get opposites in front of x, by multiplying the
2x + 3y = 2
second equation by 3, to get − 6x and + 6x
3(2x + 3y) = (2)3
Distribute to get new second equation.
146

---

6x + 9y = 6
New second equation
− 6x + 5y = 22
First equation still the same, add
14y = 28
Divide both sides by 14
14
14
y = 2
We have our y!
2x + 3(2) = 2
Plug into one of the original equations, simplify
2x + 6 = 2
Subtract 6 from both sides
− 6 − 6
2x = − 4
Divide both sides by 2
2
2
x = − 2
We also have our x!
( − 2, 2)
Our Solution
When we looked at the x terms, − 6x and 2x we decided to multiply the 2x by 3
to get the opposites we were looking for. What we are looking for with our oppo-
sites is the least common multiple (LCM) of the coefficients. We also could have
solved the above problem by looking at the terms with y, 5y and 3y. The LCM of
3 and 5 is 15. So we would want to multiply both equations, the 5y by 3, and the
3y by − 5 to get opposites, 15y and − 15y. This illustrates an important point,
some problems we will have to multiply both equations by a constant (on both
sides) to get the opposites we want.
Example 179.
3x + 6y = − 9
We can get opposites in front of x, find LCM of 6 and 9,
2x + 9y = − 26
The LCM is 18. We will multiply to get 18y and − 18y
3(3x + 6y) = ( − 9)3
Multiply the first equation by 3, both sides!
9x + 18y = − 27
− 2(2x + 9y) = ( − 26)( − 2)
Multiply the second equation by − 2, both sides!
− 4x − 18y = 52
9x + 18y = − 27
Add two new equations together
− 4x − 18y = 52
5x
= 25
Divide both sides by 5
5
5
x = 5
We have our solution for x
3(5) + 6y = − 9
Plug into either original equation, simplify
15 + 6y = − 9
Subtract 15 from both sides
− 15
− 15
147

---

6y = − 24
Divide both sides by 6
6
6
y = − 4
Now we have our solution for y
(5, − 4)
Our Solution
It is important for each problem as we get started that all variables and constants
are lined up before we start multiplying and adding equations. This is illustrated
in the next example which includes the five steps we will go through to solve a
problem using elimination.
2x
Problem
− 5y = − 13
− 3y + 4 = − 5x
Second Equation:
1. Line up the variables and constants
− 3y + 4 = − 5x
+ 5x − 4 + 5x − 4
5x − 3y = − 4
2x − 5y = − 13
5x − 3y = − 4
First Equation: multiply by − 5
− 5(2x − 5y) = ( − 13)( − 5)
− 10x + 25y = 65
2. Multiply to get opposites (use LCD)
Second Equation: multiply by 2
2(5x − 3y) = ( − 4)2
10x − 6y = − 8
− 10x + 25y = 65
10x − 6y = − 8
3. Add
19y = 57
19y = 57
4. Solve
19
19
y = 3
2x − 5(3) = − 13
2x − 15 = − 13
+ 15
+ 15
5. Plug into either original and solve
2x
= 2
2
2
x = 1
Solution
(1, 3)
World View Note: The famous mathematical text, The Nine Chapters on the
Mathematical Art , which was printed around 179 AD in China describes a for-
mula very similar to Gaussian elimination which is very similar to the addition
method.
148

---

Just as with graphing and substution, it is possible to have no solution or infinite
solutions with elimination. Just as with substitution, if the variables all disappear
from our problem, a true statment will indicate infinite solutions and a false stat-
ment will indicate no solution.
Example 180.
2x − 5y = 3
To get opposites in front of x, multiply first equation by 3
− 6x + 15y = − 9
3(2x − 5y) = (3)3
Distribute
6x − 15y = 9
6x − 15y = 9
Add equations together
− 6x + 15y = − 9
0 = 0
True statement
Infinite solutions
Our Solution
Example 181.
4x − 6y = 8
LCM for x′s is 12.
6x − 9y = 15
3(4x − 6y) = (8)3
Multiply first equation by 3
12x − 18y = 24
− 2(6x − 9y) = (15)( − 2)
Multiply second equation by − 2
− 12x + 18y = − 30
12x − 18y = 24
Add both new equations together
− 12x + 18y = − 30
0 = − 6
False statement
No Solution
Our Solution
We have covered three different methods that can be used to solve a system of
two equations with two variables. While all three can be used to solve any
system, graphing works great for small integer solutions. Substitution works great
when we have a lone variable, and addition works great when the other two
methods fail. As each method has its own strengths, it is important you are
familiar with all three methods.
149

---

4.3 Practice - Addition/Elimination
Solve each system by elimination.
1) 4x + 2y = 0
2) − 7x + y = − 10
− 4x − 9y = − 28
− 9x − y = − 22
3) − 9x + 5y = − 22
4) − x − 2y = − 7
9x − 5y = 13
x + 2y = 7
5) − 6x + 9y = 3
6) 5x − 5y = − 15
6x − 9y = − 9
5x − 5y = − 15
7) 4x − 6y = − 10
8) − 3x + 3y = − 12
4x − 6y = − 14
− 3x + 9y = − 24
9) − x − 5y = 28
10) − 10x − 5y = 0
− x + 4y = − 17
− 10x − 10y = − 30
12)
11) 2x − y = 5
− 5x + 6y = − 17
x
5x + 2y = − 28
− 2y = 5
14) x + 3y = − 1
13) 10x + 6y = 24
10x + 6y = − 10
− 6x + y = 4
16) − 6x + 4y = 12
15) 2x + 4y = 24
12x + 6y = 18
4x − 12y = 8
18) − 6x + 4y = 4
17) − 7x + 4y = − 4
− 3x − y = 26
10x − 8y = − 8
20) − 9x − 5y = − 19
19) 5x + 10y = 20
3x − 7y = − 11
− 6x − 5y = − 3
22) − 5x + 4y = 4
21) − 7x − 3y = 12
− 7x − 10y = − 10
− 6x − 5y = 20
24) 3x + 7y = − 8
23) 9x − 2y = − 18
4x + 6y = − 4
5x − 7y = − 10
26) − 4x − 5y = 12
25) 9x + 6y = − 21
− 10x + 6y = 30
− 10x − 9y = 28
28) 8x + 7y = − 24
27) − 7x + 5y = − 8
6x + 3y = − 18
− 3x − 3y = 12
30) − 7x + 10y = 13
29) − 8x − 8y = − 8
4x + 9y = 22
10x + 9y = 1
32) 0 = − 9x − 21 + 12y
31) 9y = 7 − x
1 + 4 y + 7 x=0
3
3
− 18y + 4x = − 26
34) − 6 − 42y = − 12x
33) 0 = 9x + 5y
x − 1 − 7 y = 0
2
2
y = 2 x
7
150

---

4.4
Systems of Equations - Three Variables
Objective: Solve systems of equations with three variables using addi-
tion/elimination.
Solving systems of equations with 3 variables is very similar to how we solve sys-
tems with two variables. When we had two variables we reduced the system down
to one with only one variable (by substitution or addition). With three variables
we will reduce the system down to one with two variables (usually by addition),
which we can then solve by either addition or substitution.
To reduce from three variables down to two it is very important to keep the work
organized. We will use addition with two equations to eliminate one variable.
This new equation we will call (A). Then we will use a different pair of equations
and use addition to eliminate the same variable. This second new equation we
will call (B). Once we have done this we will have two equations (A) and (B)
with the same two variables that we can solve using either method. This is shown
in the following examples.
Example 182.
3x + 2y − z = − 1
− 2x − 2y + 3z = 5
We will eliminate y using two different pairs of equations
5x + 2y − z = 3
151

---

3x + 2y − z = − 1
Using the first two equations,
− 2x − 2y + 3z = 5
Add the first two equations
(A)
x
+ 2z = 4
This is equation (A), our first equation
− 2x − 2y + 3z = 5
Using the second two equations
5x + 2y − z = 3
Add the second two equations
(B)
3x
+ 2z = 8
This is equation (B), our second equation
(A) x + 2z = 4
Using (A) and (B) we will solve this system.
(B) 3x + 2z = 8
We will solve by addition
− 1(x + 2z) = (4)( − 1)
Multiply (A) by − 1
− x − 2z = − 4
− x − 2z = − 4
Add to the second equation, unchanged
3x + 2z = 8
2x = 4
Solve, divide by 2
2
2
x = 2
We now have x! Plug this into either (A) or (B)
(2) + 2z = 4
We plug it into (A), solve this equation, subtract 2
− 2
− 2
2z = 2
Divide by 2
2
2
z = 1
We now have z! Plug this and x into any original equation
3(2) + 2y − (1) = − 1
We use the first, multiply 3(2) = 6 and combine with − 1
2y + 5 = − 1
Solve, subtract 5
− 5 − 5
2y = − 6
Divide by 2
2
2
y = − 3
We now have y!
(2, − 3, 1)
Our Solution
As we are solving for x, y, and z we will have an ordered triplet (x, y, z) instead of
152

---

just the ordered pair (x, y). In this above problem, y was easily eliminated using
the addition method. However, sometimes we may have to do a bit of work to get
a variable to eliminate. Just as with addition of two equations, we may have to
multiply equations by something on both sides to get the opposites we want so a
variable eliminates. As we do this remmeber it is improtant to eliminate the
same variable both times using two different pairs of equations.
Example 183.
4x − 3y + 2z = − 29
No variable will easily eliminate.
6x + 2y − z = − 16
We could choose any variable, so we chose x
− 8x − y + 3z = 23
We will eliminate x twice.
4x − 3y + 2z = − 29
Start with first two equations. LCM of 4 and 6 is 12.
6x + 2y − z = − 16
Make the first equation have 12x, the second − 12x
3(4x − 3y + 2z) = ( − 29)3
Multiply the first equation by 3
12x − 9y + 6z = − 87
− 2(6x + 2y − z) = ( − 16)( − 2)
Multiply the second equation by − 2
− 12x − 4y + 2z = 32
12x − 9y + 6z = − 87
Add these two equations together
− 12x − 4y + 2z = 32
(A)
− 13y + 8z = − 55
This is our (A) equation
6x + 2y − z = − 16
Now use the second two equations (a different pair)
− 8x − y + 3z = 23
The LCM of 6 and − 8 is 24.
4(6x + 2y − z) = ( − 16)4
Multiply the first equation by 4
24x + 8y − 4 = − 64
3( − 8x − y + 3z) = (23)3
Multiply the second equation by 3
− 24x − 3y + 9z = 69
24x + 8y − 4 = − 64
Add these two equations together
− 24x − 3y + 9z = 69
(B)
5y + 5z = 5
This is our (B) equation
153

---

(A) − 13y + 8z = − 55
Using (A) and (B) we will solve this system
(B)
5y + 5z = 5
The second equation is solved for z to use substitution
5y + 5z = 5
Solving for z, subtract 5y
− 5y
− 5y
5z = 5 − 5y
Divide each term by 5
5
5
5
z = 1 − y
Plug into untouched equation
− 13y + 8(1 − y) = − 55
Distribute
− 13y + 8 − 8y = − 55
Combine like terms − 13y − 8y
− 21y + 8 = − 55
Subtract 8
− 8
− 8
− 21y = − 63
Divide by − 21
− 21 − 21
y = 3
We have our y! Plug this into z = equations
z = 1 − (3)
Evaluate
z = − 2
We have z, now find x from original equation.
4x − 3(3) + 2( − 2) = − 29
Multiply and combine like terms
4x − 13 = − 29
Add 13
+ 13
+ 13
4x = − 16
Divide by 4
4
4
x = − 4
We have our x!
( − 4, 3, − 2)
Our Solution!
World View Note: Around 250, The Nine Chapters on the Mathematical Art
were published in China. This book had 246 problems, and chapter 8 was about
solving systems of equations. One problem had four equations with five variables!
Just as with two variables and two equations, we can have special cases come up
with three variables and three equations. The way we interpret the result is iden-
tical.
Example 184.
5x − 4y + 3z = − 4
− 10x + 8y − 6z = 8
We will eliminate x, start with first two equations
154

---

15x − 12y + 9z = − 12
5x − 4y + 3z = − 4
LCM of 5 and − 10 is 10.
− 10x + 8y − 6z = 8
2(5x − 4y + 3z) = − 4(2)
Multiply the first equation by 2
10x − 8y + 6z = − 8
10x − 8y + 6z = − 8
Add this to the second equation, unchanged
− 10x + 8y − 6 = 8
0 = 0
A true statment
Infinite Solutions
Our Solution
Example 185.
3x − 4y + z = 2
− 9x + 12y − 3z = − 5
We will eliminate z, starting with the first two equations
4x − 2y − z = 3
3x − 4y + z = 2
The LCM of 1 and − 3 is 3
− 9x + 12y − 3z = − 5
3(3x − 4y + z) = (2)3
Multiply the first equation by 3
9x − 12y + 3z = 6
9x − 12y + 3z = 6
Add this to the second equation, unchanged
− 9x + 12y − 3z = − 5
0 = 1
A false statement
No Solution ∅
Our Solution
Equations with three (or more) variables are not any more difficult than two vari-
ables if we are careful to keep our information organized and eliminate the same
variable twice using two different pairs of equations. It is possible to solve each
system several different ways. We can use different pairs of equations or eliminate
variables in different orders, but as long as our information is organized and our
algebra is correct, we will arrive at the same final solution.
155

---

4.4 Practice - Three Variables
Solve each of the following systems of equation.
1) a − 2b + c = 5
2) 2x + 3y = z − 1
2a + b − c = − 1
3x = 8z − 1
3a + 3b − 2c = − 4
5y + 7z = − 1
3) 3x + y − z = 11
4) x + y + z = 2
x + 3y = z + 13
6x − 4y + 5z = 31
x + y − 3z = 11
5x + 2y + 2z = 13
5) x + 6y + 3z = 4
6) x − y + 2z = − 3
2x + y + 2z = 3
x + 2y + 3z = 4
3x − 2y + z = 0
2x + y + z = − 3
7) x + y + z = 6
8) x + y − z = 0
2x − y − z = − 3
x + 2y − 4z = 0
x − 2y + 3z = 6
2x + y + z = 0
9) x + y − z = 0
10) x + 2y − z = 4
x − y − z = 0
4x − 3y + z = 8
x + y + 2z = 0
5x − y = 12
11) − 2x + y − 3z = 1
12) 4x + 12y + 16z = 4
x − 4y + z = 6
3x + 4y + 5z = 3
4x + 16y + 4z = 24
x + 8y + 11z = 1
13) 2x + y − 3z = 0
14) 4x + 12y + 16z = 0
x − 4y + z = 0
3x + 4y + 5z = 0
4x + 16y + 4z = 0
x + 8y + 11z = 0
15) 3x + 2y + 2z = 3
16) p + q + r = 1
x + 2y − z = 5
p + 2q + 3r = 4
2x − 4y + z = 0
4p + 5q + 6r = 7
17) x − 2y + 3z = 4
18) x + 2y − 3z = 9
2x − y + z = − 1
2x − y + 2z = − 8
4x + y + z = 1
3x − y − 4z = 3
19) x − y + 2z = 0
20) 4x − 7y + 3z = 1
x − 2y + 3z = − 1
3x + y − 2z = 4
2x − 2y + z = − 3
4x − 7y + 3z = 6
21) 4x − 3y + 2z = 40
22) 3x + y − z = 10
5x + 9y − 7z = 47
8x − y − 6z = − 3
9x + 8y − 3z = 97
5x − 2y − 5z = 1
156

---

23) 3x + 3y − 2z = 13
24) 2x − 3y + 5z = 1
6x + 2y − 5z = 13
3x + 2y − z = 4
5x − 2y − 5z = − 1
4x + 7y − 7z = 7
25) 3x − 4y + 2z = 1
26) 2x + y = z
2x + 3y − 3z = − 1
4x + z = 4y
x + 10y − 8z = 7
y = x + 1
27) m + 6n + 3p = 8
28) 3x + 2y = z + 2
3m + 4n = − 3
y = 1 − 2x
5m + 7n = 1
3z = − 2y
29) − 2w + 2x + 2y − 2z = − 10
30) − w + 2x − 3y + z = − 8
w + x + y + z = − 5
− w + x + y − z = − 4
3w + 2x + 2y + 4z = − 11
w + x + y + z = 22
w + 3x − 2y + 2z = − 6
− w + x − y − z = − 14
31) w + x + y + z = 2
32) w + x − y + z = 0
w + 2x + 2y + 4z = 1
− w + 2x + 2y + z = 5
− w + x − y − z = − 6
− w + 3x + y − z = − 4
− w + 3x + y − z = − 2
− 2w + x + y − 3z = − 7
157

---

4.5
Systems of Equations - Value Problems
Objective: Solve value problems by setting up a system of equations.
One application of system of equations are known as value problems. Value prob-
lems are ones where each variable has a value attached to it. For example, if our
variable is the number of nickles in a person’s pocket, those nickles would have a
value of five cents each. We will use a table to help us set up and solve value
problems. The basic structure of the table is shown below.
Number Value Total
Item 1
Item 2
Total
The first column in the table is used for the number of things we have. Quite
often, this will be our variables. The second column is used for the that value
each item has. The third column is used for the total value which we calculate by
multiplying the number by the value. For example, if we have 7 dimes, each with
a value of 10 cents, the total value is 7 · 10 = 70 cents. The last row of the table is
for totals. We only will use the third row (also marked total) for the totals that
158

---

are given to use. This means sometimes this row may have some blanks in it.
Once the table is filled in we can easily make equations by adding each column,
setting it equal to the total at the bottom of the column. This is shown in the fol-
lowing example.
Example 186.
In a child’s bank are 11 coins that have a value of S1.85. The coins are either
quarters or dimes. How many coins each does child have?
Number Value Total
Quarter
q
25
Using value table, use q for quarters, d for dimes
Dime
d
10
Each quarter′s value is 25 cents, dime′s is 10 cents
Total
Number Value Total
Quarter
q
25
25q
Multiply number by value to get totals
Dime
d
10
10d
Total
Number Value Total
We have 11 coins total. This is the number total.
Quarter
q
25
25q
We have 1.85 for the final total,
Dime
d
10
10d
Write final total in cents (185)
Total
11
185
Because 25 and 10 are cents
q + d = 11
First and last columns are our equations by adding
25q + 10d = 185
Solve by either addition or substitution.
− 10(q + d) = (11)( − 10)
Using addition, multiply first equation by − 10
− 10q − 10d = − 110
− 10q − 10d = − 110
Add together equations
25q + 10d = 185
15q
= 75
Divide both sides by 15
15
15
q = 5
We have our q, number of quarters is 5
(5) + d = 11
Plug into one of original equations
− 5
− 5
Subtract 5 from both sides
d = 6
We have our d, number of dimes is 6
159

---

5 quarters and 6 dimes
Our Solution
World View Note: American coins are the only coins that do not state the
value of the coin. On the back of the dime it says “one dime” (not 10 cents). On
the back of the quarter it says “one quarter” (not 25 cents). On the penny it
says “one cent” (not 1 cent). The rest of the world (Euros, Yen, Pesos, etc) all
write the value as a number so people who don’t speak the language can easily
use the coins.
Ticket sales also have a value. Often different types of tickets sell for different
prices (values). These problems can be solve in much the same way.
Example 187.
There were 41 tickets sold for an event. Tickets for children cost S1.50 and tickets
for adults cost S2.00. Total receipts for the event were S73.50. How many of each
type of ticket were sold?
Number Value Total
Using our value table, c for child, a for adult
Child
c
1.5
Child tickets have value 1.50, adult value is 2.00
Adult
a
2
(we can drop the zeros after the decimal point)
Total
Number Value Total
Child
c
1.5
1.5c
Multiply number by value to get totals
Adult
a
2
2a
Total
Number Value Total
We have 41 tickets sold. This is our number total
Child
c
1.5
1.5c
The final total was 73.50
Adult
a
2
2a
Write in dollars as 1.5 and 2 are also dollars
Total
41
73.5
c + a = 41
First and last columns are our equations by adding
1.5c + 2a = 73.5
We can solve by either addition or substitution
c + a = 41
We will solve by substitution.
− c
− c
Solve for a by subtracting c
a = 41 − c
1.5c + 2(41 − c) = 73.5
Substitute into untouched equation
1.5c + 82 − 2c = 73.5
Distribute
− 0.5c + 82 = 73.5
Combine like terms
− 82 − 82
Subtract 82 from both sides
− 0.5c = − 8.5
Divide both sides by − 0.5
160

---

− 0.5 − 0.5
c = 17
We have c, number of child tickets is 17
a = 41 − (17)
Plug into a = equation to find a
a = 24
We have our a, number of adult tickets is 24
17 child tickets and 24 adult tickets
Our Solution
Some problems will not give us the total number of items we have. Instead they
will give a relationship between the items. Here we will have statements such
as “There are twice as many dimes as nickles”. While it is clear that we need to
multiply one variable by 2, it may not be clear which variable gets multiplied by
2. Generally the equations are backwards from the English sentence. If there are
twice as many dimes, than we multiply the other variable (nickels) by two. So the
equation would be d = 2n. This type of problem is in the next example.
Example 188.
A man has a collection of stamps made up of 5 cent stamps and 8 cent stamps.
There are three times as many 8 cent stamps as 5 cent stamps. The total value of
all the stamps is S3.48. How many of each stamp does he have?
Number Value Total
Five
f
5
5f
Use value table, f for five cent stamp, and e for eight
Eight
3f
8
24f
Also list value of each stamp under value column
Total
348
Number Value Total
Five
f
5
5f
Multiply number by value to get total
Eight
e
8
8e
Total
Number Value Total
Five
f
5
5f
The final total was 338(written in cents)
Eight
e
8
8e
We do not know the total number, this is left blank.
Total
348
e = 3f
3 times as many 8 cent stamples as 5 cent stamps
5f + 8e = 348
Total column gives second equation
5f + 8(3f ) = 348
Substitution, substitute first equation in second
5f + 24f = 348
Multiply first
29f = 348
Combine like terms
29
29
Divide both sides by 39
f = 12
We have f . There are 12 five cent stamps
e = 3(12)
Plug into first equation
161

---

e = 36
We have e, There are 36 eight cent stamps
12 five cent, 36 eight cent stamps
Our Solution
The same process for solving value problems can be applied to solving interest
problems. Our table titles will be adjusted slightly as we do so.
Invest Rate Interest
Account 1
Account 2
Total
Our first column is for the amount invested in each account. The second column
is the interest rate earned (written as a decimal - move decimal point twice left),
and the last column is for the amount of interset earned. Just as before, we mul-
tiply the investment amount by the rate to find the final column, the interest
earned. This is shown in the following example.
Example 189.
A woman invests S4000 in two accounts, one at 6% interest, the other at 9%
interest for one year. At the end of the year she had earned S270 in interest. How
much did she have invested in each account?
Invest Rate Interest
Account 1
x
0.06
Use our investment table, x and y for accounts
Account 2
y
0.09
Fill in interest rates as decimals
Total
Invest Rate Interest
Account 1
x
0.06
0.06x
Multiply across to find interest earned.
Account 2
y
0.09
0.09y
Total
Invest Rate Interest
Account 1
x
0.06
0.06x
Total investment is 4000,
Account 2
y
0.09
0.09y
Total interest was 276
Total
4000
270
x + y = 4000
First and last column give our two equations
0.06x + 0.09y = 270
Solve by either substitution or addition
− 0.06(x + y) = (4000)( − 0.06)
Use Addition, multiply first equation by − 0.06
− 0.06x − 0.06y = − 240
162

---

− 0.06x − 0.06y = − 240
Add equations together
0.06x + 0.09y = 270
0.03y = 30
Divide both sides by 0.03
0.03 0.03
y = 1000
We have y, S1000 invested at 9%
x + 1000 = 4000
Plug into original equation
− 1000 − 1000
Subtract 1000 from both sides
x = 3000
We have x, S3000 invested at 6%
S1000 at 9% and S3000 at 6%
Our Solution
The same process can be used to find an unknown interest rate.
Example 190.
John invests S5000 in one account and S8000 in an account paying 4% more in
interest. He earned S1230 in interest after one year. At what rates did he invest?
Invest
Rate
Interest
Our investment table. Use x for first rate
Account 1
5000
x
The second rate is 4% higher, or x + 0.04
Account 2
8000
x + 0.04
Be sure to write this rate as a decimal!
Total
Invest
Rate
Interest
Account 1
5000
x
5000x
Multiply to fill in interest column.
Account 2
8000
x + 0.04 8000x + 320
Be sure to distribute 8000(x + 0.04)
Total
Invest
Rate
Interest
Account 2
5000
x
5000x
Total interest was 1230.
Account 2
8000
x + 0.04 8000x + 320
Total
1230
5000x + 8000x + 320 = 1230
Last column gives our equation
13000x + 320 = 1230
Combine like terms
− 320 − 320
Subtract 320 from both sides
13000x = 910
Divide both sides by 13000
13000 13000
x = 0.07
We have our x, 7% interest
(0.07) + 0.04
Second account is 4% higher
0.11
The account with S8000 is at 11%
S5000 at 7% and S8000 at 11%
Our Solution
163

---

4.5 Practice - Value Problems
Solve.
1) A collection of dimes and quaters is worth S15.25. There are 103 coins in all.
How many of each is there?
2) A collection of half dollars and nickels is worth S13.40. There are 34 coins in
all. How many are there?
3) The attendance at a school concert was 578. Admission was S2.00 for adults
and S1.50 for children. The total receipts were S985.00. How many adults and
how many children attended?
4) A purse contains S3.90 made up of dimes and quarters. If there are 21 coins in
all, how many dimes and how many quarters were there?
5) A boy has S2.25 in nickels and dimes. If there are twice as many dimes as
nickels, how many of each kind has he?
6) S3.75 is made up of quarters and half dollars. If the number of quarters
exceeds the number of half dollars by 3, how many coins of each denomination
are there?
7) A collection of 27 coins consisting of nickels and dimes amounts to S2.25. How
many coins of each kind are there?
8) S3.25 in dimes and nickels, were distributed among 45 boys. If each received
one coin, how many received dimes and how many received nickels?
9) There were 429 people at a play. Admission was S1 each for adults and 75
cents each for children. The receipts were S372.50. How many children and
how many adults attended?
10) There were 200 tickets sold for a women’s basketball game. Tickets for
students were 50 cents each and for adults 75 cents each. The total amount of
money collected was S132.50. How many of each type of ticket was sold?
11) There were 203 tickets sold for a volleyball game. For activity-card holders,
the price was S1.25 each and for noncard holders the price was S2 each. The
total amount of money collected was S310. How many of each type of ticket
was sold?
12) At a local ball game the hotdogs sold for S2.50 each and the hamburgers sold
for S2.75 each. There were 131 total sandwiches sold for a total value of S342.
How many of each sandwich was sold?
13) At a recent Vikings game S445 in admission tickets was taken in. The cost of
a student ticket was S1.50 and the cost of a non-student ticket was S2.50. A
total of 232 tickets were sold. How many students and how many non-
students attented the game?
164

---

14) A bank contains 27 coins in dimes and quarters. The coins have a total value
of S4.95. Find the number of dimes and quarters in the bank.
15) A coin purse contains 18 coins in nickels and dimes. The coins have a total
value of S1.15. Find the number of nickels and dimes in the coin purse.
16) A business executive bought 40 stamps for S9.60. The purchase included 25c
stamps and 20c stamps. How many of each type of stamp were bought?
17) A postal clerk sold some 15c stamps and some 25c stamps. Altogether, 15
stamps were sold for a total cost of S3.15. How many of each type of stamps
were sold?
18) A drawer contains 15c stamps and 18c stamps. The number of 15c stamps is
four less than three times the number of 18c stamps. The total value of all
the stamps is S1.29. How many 15c stamps are in the drawer?
19) The total value of dimes and quarters in a bank is S6.05. There are six more
quarters than dimes. Find the number of each type of coin in the bank.
20) A child’s piggy bank contains 44 coins in quarters and dimes. The coins have
a total value of S8.60. Find the number of quaters in the bank.
21) A coin bank contains nickels and dimes. The number of dimes is 10 less than
twice the number of nickels. The total value of all the coins is S2.75. Find the
number of each type of coin in the bank.
22) A total of 26 bills are in a cash box. Some of the bills are one dollar bills, and
the rest are five dollar bills. The total amount of cash in the box is S50. Find
the number of each type of bill in the cash box.
23) A bank teller cashed a check for S200 using twenty dollar bills and ten dollar
bills. In all, twelve bills were handed to the customer. Find the number of
twenty dollar bills and the number of ten dollar bills.
24) A collection of stamps consists of 22c stamps and 40c stamps. The number of
22c stamps is three more than four times the number of 40c stamps. The
total value of the stamps is S8.34. Find the number of 22c stamps in the
collection.
25) A total of S27000 is invested, part of it at 12% and the rest at 13%. The
total interest after one year is S3385. How much was invested at each rate?
26) A total of S50000 is invested, part of it at 5% and the rest at 7.5%. The total
interest after one year is S3250. How much was invested at each rate?
27) A total of S9000 is invested, part of it at 10% and the rest at 12%. The total
interest after one year is S1030. How much was invested at each rate?
28) A total of S18000 is invested, part of it at 6% and the rest at 9%. The total
interest after one year is S1248. How much was invested at each rate?
29) An inheritance of S10000 is invested in 2 ways, part at 9.5% and the
remainder at 11%. The combined annual interest was S1038.50. How much
was invested at each rate?
165

---

30) Kerry earned a total of S900 last year on his investments. If S7000 was
invested at a certain rate of return and S9000 was invested in a fund with a
rate that was 2% higher, find the two rates of interest.
31) Jason earned S256 interest last year on his investments. If S1600 was invested
at a certain rate of return and S2400 was invested in a fund with a rate that
was double the rate of the first fund, find the two rates of interest.
32) Millicent earned S435 last year in interest. If S3000 was invested at a certain
rate of return and S4500 was invested in a fund with a rate that was 2%
lower, find the two rates of interest.
33) A total of S8500 is invested, part of it at 6% and the rest at 3.5%. The total
interest after one year is S385. How much was invested at each rate?
34) A total of S12000 was invested, part of it at 9% and the rest at 7.5%. The
total interest after one year is S1005. How much was invested at each rate?
35) A total of S15000 is invested, part of it at 8% and the rest at 11%. The total
interest after one year is S1455. How much was invested at each rate?
36) A total of S17500 is invested, part of it at 7.25% and the rest at 6.5%. The
total interest after one year is S1227.50. How much was invested at each rate?
37) A total of S6000 is invested, part of it at 4.25% and the rest at 5.75%. The
total interest after one year is S300. How much was invested at each rate?
38) A total of S14000 is invested, part of it at 5.5% and the rest at 9%. The total
interest after one year is S910. How much was invested at each rate?
39) A total of S11000 is invested, part of it at 6.8% and the rest at 8.2%. The
total interest after one year is S797. How much was invested at each rate?
40) An investment portfolio earned S2010 in interest last year. If S3000 was
invested at a certain rate of return and S24000 was invested in a fund with a
rate that was 4% lower, find the two rates of interest.
41) Samantha earned S1480 in interest last year on her investments. If S5000 was
invested at a certain rate of return and S11000 was invested in a fund with a
rate that was two-thirds the rate of the first fund, find the two rates of
interest.
42) A man has S5.10 in nickels, dimes, and quarters. There are twice as many
nickels as dimes and 3 more dimes than quarters. How many coins of each
kind were there?
43) 30 coins having a value of S3.30 consists of nickels, dimes and quarters. If
there are twice as many quarters as dimes, how many coins of each kind were
there?
44) A bag contains nickels, dimes and quarters having a value of S3.75. If there
are 40 coins in all and 3 times as many dimes as quarters, how many coins of
each kind were there?
166

---

4.6
Systems of Equations - Mixture Problems
Objective: Solve mixture problems by setting up a system of equations.
One application of systems of equations are mixture problems. Mixture problems
are ones where two different solutions are mixed together resulting in a new final
solution. We will use the following table to help us solve mixture problems:
Amount Part Total
Item 1
Item 2
Final
The first column is for the amount of each item we have. The second column is
labeled “part”. If we mix percentages we will put the rate (written as a decimal)
in this column. If we mix prices we will put prices in this column. Then we can
multiply the amount by the part to find the total. Then we can get an equation
by adding the amount and/or total columns that will help us solve the problem
and answer the questions.
These problems can have either one or two variables. We will start with one vari-
able problems.
Example 191.
A chemist has 70 mL of a 50% methane solution. How much of a 80% solution
must she add so the final solution is 60% methane?
Amount Part Total
Set up the mixture table. We start with 70, but
Start
70
0.5
don′t know how much we add, that is x. The part
Add
x
0.8
is the percentages, 0.5 for start, 0.8 for add.
Final
167

---

Amount Part Total
Add amount column to get final amount. The
Start
70
0.5
part for this amount is 0.6 because we want the
Add
x
0.8
final solution to be 60% methane.
Final
70 + x
0.6
Amount Part
Total
Start
70
0.5
35
Multiply amount by part to get total.
Add
x
0.8
0.8x
be sure to distribute on the last row: (70 + x)0.6
Final
70 + x
0.6
42 + 0.6x
35 + 0.8x = 42 + 0.6x
The last column is our equation by adding
− 0.6x
− 0.6x
Move variables to one side, subtract 0.6x
35 + 0.2x = 42
Subtract 35 from both sides
− 35
− 35
0.2x = 7
Divide both sides by 0.2
0.2 0.2
x = 35
We have our x!
35 mL must be added
Our Solution
The same process can be used if the starting and final amount have a price
attached to them, rather than a percentage.
Example 192.
A coffee mix is to be made that sells for S2.50 by mixing two types of coffee. The
cafe has 40 mL of coffee that costs S3.00. How much of another coffee that costs
S1.50 should the cafe mix with the first?
Amount Part Total
Set up mixture table. We know the starting
Start
40
3
amount and its cost, S3. The added amount
Add
x
1.5
we do not know but we do know its cost is S1.50.
Final
Amount Part Total
Start
40
3
Add the amounts to get the final amount.
Add
x
1.5
We want this final amount to sell for S2.50.
Final
40 + x
2.5
168

---

Amount Part
Total
Start
40
3
120
Multiply amount by part to get the total.
Add
x
1.5
1.5x
Be sure to distribute on the last row (40 + x)2.5
Final
40 + x
2.5
100 + 2.5x
120 + 1.5x = 100 + 2.5x
Adding down the total column gives our equation
− 1.5x
− 1.5x
Move variables to one side by subtracting 1.5x
120 = 100 + x
Subtract 100 from both sides
− 100 − 100
20 = x
We have our x.
20mL must be added.
Our Solution
World View Note: Brazil is the world’s largest coffee producer, producing 2.59
million metric tons of coffee a year! That is over three times as much coffee as
second place Vietnam!
The above problems illustrate how we can put the mixture table together and get
an equation to solve. However, here we are interested in systems of equations,
with two unknown values. The following example is one such problem.
Example 193.
A farmer has two types of milk, one that is 24% butterfat and another which is
18% butterfat. How much of each should he use to end up with 42 gallons of 20%
butterfat?
Amount Part Total
We don′t know either start value, but we do know
Milk 1
x
0.24
final is 42. Also fill in part column with percentage
Milk 2
y
0.18
of each type of milk including the final solution
Final
42
0.2
Amount Part Total
Milk 1
x
0.24 0.24x
Multiply amount by part to get totals.
Milk 2
y
0.18 0.18y
Final
42
0.2
8.4
x + y = 42
The amount column gives one equation
0.24x + 0.18y = 8.4
The total column gives a second equation.
169

---

− 0.18(x + y) = (42)( − 0.18)
Use addition. Multiply first equation by − 0.18
− 0.18x − 0.18y = − 7.56
− 0.18x − 0.18y = − 7.56
Add the equations together
0.24x + 0.18y = 8.4
0.06x
= 0.84
Divide both sides by 0.06
0.06
0.06
x = 14
We have our x, 14 gal of 24% butterfat
(14) + y = 42
Plug into original equation to find y
− 14
− 14
Subtract 14 from both sides
y = 28
We have our y, 28 gal of 18% butterfat
14 gal of 24% and 28 gal of 18%
Our Solution
The same process can be used to solve mixtures of prices with two unknowns.
Example 194.
In a candy shop, chocolate which sells for S4 a pound is mixed with nuts which
are sold for S2.50 a pound are mixed to form a chocolate-nut candy which sells
for S3.50 a pound. How much of each are used to make 30 pounds of the mix-
ture?
Amount Part Total
Using our mixture table, use c and n for variables
Chocolate
c
4
We do know the final amount (30) and price,
Nut
n
2.5
include this in the table
Final
30
3.5
Amount Part Total
Chocolate
c
4
4c
Multiply amount by part to get totals
Nut
n
2.5
2.5n
Final
30
3.5
105
c + n = 30
First equation comes from the first column
4c + 2.5n = 105
Second equation comes from the total column
c + n = 30
We will solve this problem with substitution
− n − n
Solve for c by subtracting n from the first equation
c = 30 − n
170

---

4(30 − n) + 2.5n = 105
Substitute into untouched equation
120 − 4n + 2.5n = 105
Distribute
120 − 1.5n = 105
Combine like terms
− 120
− 120
Subtract 120 from both sides
− 1.5n = − 15
Divide both sides by − 1.5
− 1.5 − 1.5
n = 10
We have our n, 10 lbs of nuts
c = 30 − (10)
Plug into c = equation to find c
c = 20
We have our c, 20 lbs of chocolate
10 lbs of nuts and 20 lbs of chocolate
Our Solution
With mixture problems we often are mixing with a pure solution or using water
which contains none of our chemical we are interested in. For pure solutions, the
percentage is 100% (or 1 in the table). For water, the percentage is 0%. This is
shown in the following example.
Example 195.
A solution of pure antifreeze is mixed with water to make a 65% antifreeze solu-
tion. How much of each should be used to make 70 L?
Amount Part Final
We use a and w for our variables. Antifreeze
Antifreeze
a
1
is pure, 100% or 1 in our table, written as a
Water
w
0
decimal. Water has no antifreeze, its
Final
70
0.65
percentage is 0. We also fill in the final percent
Amount Part Final
Antifreeze
a
1
a
Multiply to find final amounts
Water
w
0
0
Final
70
0.65
45.5
a + w = 70
First equation comes from first column
a = 45.5
Second equation comes from second column
(45.5) + w = 70
We have a, plug into to other equation
− 45.5
− 45.5
Subtract 45.5 from both sides
w = 24.5
We have our w
45.5L of antifreeze and 24.5L of water
Our Solution
171

---

4.6 Practice - Mixture Problems
Solve.
1) A tank contains 8000 liters of a solution that is 40% acid. How much water
should be added to make a solution that is 30% acid?
2) How much antifreeze should be added to 5 quarts of a 30% mixture of
antifreeze to make a solution that is 50% antifreeze?
3) Of 12 pounds of salt water 10% is salt; of another mixture 3% is salt. How
many pounds of the second should be added to the first in order to get a
mixture of 5% salt?
4) How much alcohol must be added to 24 gallons of a 14% solution of alcohol in
order to produce a 20% solution?
5) How many pounds of a 4% solution of borax must be added to 24 pounds of a
12% solution of borax to obtain a 10% solution of borax?
6) How many grams of pure acid must be added to 40 grams of a 20% acid
solution to make a solution which is 36% acid?
7) A 100 LB bag of animal feed is 40% oats. How many pounds of oats must be
added to this feed to produce a mixture which is 50% oats?
8) A 20 oz alloy of platinum that costs S220 per ounce is mixed with an alloy
that costs S400 per ounce. How many ounces of the S400 alloy should be used
to make an alloy that costs S300 per ounce?
9) How many pounds of tea that cost S4.20 per pound must be mixed with 12 lb
of tea that cost S2.25 per pound to make a mixture that costs S3.40 per
pound?
10) How many liters of a solvent that costs S80 per liter must be mixed with 6 L
of a solvent that costs S25 per liter to make a solvent that costs S36 per liter?
11) How many kilograms of hard candy that cost S7.50 per kilogram must be
mixed with 24 kg of jelly beans that cost S3.25 per kilogram to make a
mixture that sells for S4.50 per kilogram?
12) How many kilograms of soil supplement that costs S7.00 per kilogram must
be mixed with 20 kg of aluminum nitrate that costs S3.50 per kilogram to
make a fertilizer that costs S4.50 per kilogram?
13) How many pounds of lima beans that cost 90c per pound must be mixed with
16 lb of corn that cost 50c per pound to make a mixture of vegetables that
costs 65c per pound?
14) How many liters of a blue dye that costs S1.60 per liter must be mixed with
18 L of anil that costs S2.50 per liter to make a mixture that costs S1.90 per
liter?
15) Solution A is 50% acid and solution B is 80% acid. How much of each should
be used to make 100cc. of a solution that is 68% acid?
172

---

16) A certain grade of milk contains 10% butter fat and a certain grade of cream
60% butter fat. How many quarts of each must be taken so as to obtain a
mixture of 100 quarts that will be 45% butter fat?
17) A farmer has some cream which is 21% butterfat and some which is 15%
butter fat. How many gallons of each must be mixed to produce 60 gallons of
cream which is 19% butterfat?
18) A syrup manufacturer has some pure maple syrup and some which is 85%
maple syrup. How many liters of each should be mixed to make 150L which
is 96% maple syrup?
19) A chemist wants to make 50ml of a 16% acid solution by mixing a 13% acid
solution and an 18% acid solution. How many milliliters of each solution
should the chemist use?
20) A hair dye is made by blending 7% hydrogen peroxide solution and a 4%
hydrogen peroxide solution. How many mililiters of each are used to make a
300 ml solution that is 5% hydrogen peroxide?
21) A paint that contains 21% green dye is mixed with a paint that contains 15%
green dye. How many gallons of each must be used to make 60 gal of paint
that is 19% green dye?
22) A candy mix sells for S2.20 per kilogram. It contains chocolates worth S1.80
per kilogram and other candy worth S3.00 per kilogram. How much of each
are in 15 kilograms of the mixture?
23) To make a weed and feed mixture, the Green Thumb Garden Shop mixes
fertilizer worth S4.00/lb. with a weed killer worth S8.00/lb. The mixture
will cost S6.00/lb. How much of each should be used to prepare 500 lb. of
the mixture?
24) A grocer is mixing 40 cent per lb. coffee with 60 cent per lb. coffee to make a
mixture worth 54c per lb. How much of each kind of coffee should be used to
make 70 lb. of the mixture?
25) A grocer wishes to mix sugar at 9 cents per pound with sugar at 6 cents per
pound to make 60 pounds at 7 cents per pound. What quantity of each must
he take?
26) A high-protein diet supplement that costs S6.75 per pound is mixed with a
vitamin supplement that costs S3.25 per pound. How many pounds of each
should be used to make 5 lb of a mixture that costs S4.65 per pound?
27) A goldsmith combined an alloy that costs S4.30 per ounce with an alloy that
costs S1.80 per ounce. How many ounces of each were used to make a mixture
of 200 oz costing S2.50 per ounce?
28) A grocery store offers a cheese and fruit sampler that combines cheddar cheese
that costs S8 per kilogram with kiwis that cost S3 per kilogram. How many
kilograms of each were used to make a 5 kg mixture that costs S4.50 per
kilogram?
173

---

29) The manager of a garden shop mixes grass seed that is 60% rye grass with 70
lb of grass seed that is 80% rye grass to make a mixture that is 74% rye
grass. How much of the 60% mixture is used?
30) How many ounces of water evaporated from 50 oz of a 12% salt solution to
produce a 15% salt solution?
31) A caterer made an ice cream punch by combining fruit juice that cost S2.25
per gallon with ice cream that costs S3.25 per gallon. How many gallons of
each were used to make 100 gal of punch costing S2.50 per pound?
32) A clothing manufacturer has some pure silk thread and some thread that is
85% silk. How many kilograms of each must be woven together to make 75
kg of cloth that is 96% silk?
33) A carpet manufacturer blends two fibers, one 20% wool and the second 50%
wool. How many pounds of each fiber should be woven together to produce
600 lb of a fabric that is 28% wool?
34) How many pounds of coffee that is 40% java beans must be mixed with 80 lb
of coffee that is 30% java beans to make a coffee blend that is 32% java
beans?
35) The manager of a specialty food store combined almonds that cost S4.50 per
pound with walnuts that cost S2.50 per pound. How many pounds of each
were used to make a 100 lb mixture that cost S3.24 per pound?
36) A tea that is 20% jasmine is blended with a tea that is 15% jasmine. How
many pounds of each tea are used to make 5 lb of tea that is 18% jasmine?
37) How many ounces of dried apricots must be added to 18 oz of a snack mix
that contains 20% dried apricots to make a mixture that is 25% dried
apricots?
38) How many mililiters of pure chocolate must be added to 150 ml of chocolate
topping that is 50% chocolate to make a topping that is 75% chocolate?
39) How many ounces of pure bran flakes must be added to 50 oz of cereal that
is 40% bran flakes to produce a mixture that is 50% bran flakes?
40) A ground meat mixture is formed by combining meat that costs S2.20 per
pound with meat that costs S4.20 per pound. How many pounds of each
were used to make a 50 lb mixture tha costs S3.00 per pound?
41) How many grams of pure water must be added to 50 g of pure acid to make a
solution that is 40% acid?
42) A lumber company combined oak wood chips that cost S3.10 per pound with
pine wood chips that cost S2.50 per pound. How many pounds of each were
used to make an 80 lb mixture costing S2.65 per pound?
43) How many ounces of pure water must be added to 50 oz of a 15% saline
solution to make a saline solution that is 10% salt?
174

---

175

---

Chapter 5 : Polynomials
5.1 Exponent Properties ..............................................................................177
5.2 Negative Exponents ...............................................................................183
5.3 Scientific Notation .................................................................................188
5.4 Introduction to Polynomials ..................................................................192
5.5 Multiply Polynomials .............................................................................196
5.6 Multiply Special Products .....................................................................201
5.7 Divide Polynomials ................................................................................205
176

---

5.1
Polynomials - Exponent Properties
Objective: Simplify expressions using the properties of exponents.
Problems with expoenents can often be simplified using a few basic exponent
properties. Exponents represent repeated multiplication. We will use this fact to
discover the important properties.
World View Note: The word exponent comes from the Latin “expo” meaning
out of and “ponere” meaning place. While there is some debate, it seems that the
Babylonians living in Iraq were the first to do work with exponents (dating back
to the 23rd century BC or earlier!)
Example 196.
a3a2
Expand exponents to multiplication problem
(aaa)(aa)
Now we have 5a′s being multiplied together
a5
Our Solution
A quicker method to arrive at our answer would have been to just add the expo-
nents: a3a2 = a3+2 = a5 This is known as the product rule of exponents
Product Rule of Exponents: aman = am+n
The product rule of exponents can be used to simplify many problems. We will
add the exponent on like variables. This is shown in the following examples
Example 197.
32 · 36 · 3
Same base, add the exponents 2 + 6 + 1
39
Our Solution
Example 198.
2x3y5z · 5xy2z3
Multiply 2 · 5, add exponents on x, y and z
10x4y7z4
Our Solution
Rather than multiplying, we will now try to divide with exponents
Example 199.
a5
Expand exponents
a2
aaaaa
Divide out two of the a′s
aa
aaa
Convert to exponents
a3
Our Solution
177

---

A quicker method to arrive at the solution would have been to just subtract the
exponents, a5 = a5−2 = a3. This is known as the quotient rule of exponents.
a2
am
Quotient Rule of Exponents:
= am−n
an
The quotient rule of exponents can similarly be used to simplify exponent prob-
lems by subtracting exponents on like variables. This is shown in the following
examples.
Example 200.
713
Same base, subtract the exponents
75
78
Our Solution
Example 201.
5a3b5c2
Subtract exponents on a, b and c
2ab3c
5 a2b2c Our Solution
2
A third property we will look at will have an exponent problem raised to a second
exponent. This is investigated in the following example.
Example 202.
a23
This means we have a2 three times
a2 · a2 · a2
Add exponents
a6
Our solution
A quicker method to arrive at the solution would have been to just multiply the
exponents, (a2)3 = a2·3 = a6. This is known as the power of a power rule of expo-
nents.
Power of a Power Rule of Exponents: (am)n = amn
This property is often combined with two other properties which we will investi-
gate now.
Example 203.
(ab)3
This means we have (ab) three times
(ab)(ab)(ab)
Three a′s and three b′s can be written with exponents
a3b3
Our Solution
178

---

A quicker method to arrive at the solution would have been to take the exponent
of three and put it on each factor in parenthesis, (ab)3 = a3b3. This is known as
the power of a product rule or exponents.
Power of a Product Rule of Exponents: (ab)m = ambm
It is important to be careful to only use the power of a product rule with multipli-
cation inside parenthesis. This property does NOT work if there is addition or
subtraction.
Warning 204.
(a + b)m
am + bm
These are NOT equal, beware of this error!

Another property that is very similar to the power of a product rule is considered
next.
Example 205.
 a 3
This means we have the fraction three timse
b
 a  a  a 
Multiply fractions across the top and bottom, using exponents
b
b
b
a3
Our Solution
b3
A quicker method to arrive at the solution would have been to put the exponent
on every factor in both the numerator and denominator, a 3 = a3. This is known
b
b3
as the power of a quotient rule of exponents.
 a m
am
Power of a Quotient Rule of Exponents:
=
b
bm
The power of a power, product and quotient rules are often used together to sim-
plify expressions. This is shown in the following examples.
Example 206.
(x3yz2)4
Put the exponent of 4 on each factor, multiplying powers
x12y4z8
Our solution
179

---

Example 207.
 a3b 2
Put the exponent of 2 on each factor, multiplying powers
c8d5
a6b2
Our Solution
c8d10
As we multiply exponents its important to remember these properties apply to
exponents, not bases. An expressions such as 53 does not mean we multipy 5 by 3,
rather we multiply 5 three times, 5 × 5 × 5 = 125. This is shown in the next
example.
Example 208.
(4x2y5)3
Put the exponent of 3 on each factor, multiplying powers
43x6y15
Evaluate 43
64x6y15
Our Solution
In the previous example we did not put the 3 on the 4 and multipy to get 12, this
would have been incorrect. Never multipy a base by the exponent. These proper-
ties pertain to exponents only, not bases.
In this lesson we have discussed 5 different exponent properties. These rules are
summarized in the following table.
Rules of Exponents
Product Rule of Exponents
aman = am+n
am
Quotient Rule of Exponents
= am−n
an
Power of a Power Rule of Exponents
(am)n = amn
Power of a Product Rule of Exponents (ab)m = ambm
 a m
am
Power of a Quotient Rule of Exponents
=
b
bm
These five properties are often mixed up in the same problem. Often there is a bit
of flexibility as to which property is used first. However, order of operations still
applies to a problem. For this reason it is the suggestion of the auther to simplify
inside any parenthesis first, then simplify any exponents (using power rules), and
finally simplify any multiplication or division (using product and quotient rules).
This is illustrated in the next few examples.
Example 209.
(4x3y · 5x4y2)3
In parenthesis simplify using product rule, adding exponents
(20x7y3)3
With power rules, put three on each factor, multiplying exponents
203x21y9
Evaluate 203
8000x21y9
Our Solution
180

---

Example 210.
7a3(2a4)3
Parenthesis are already simplified, next use power rules
7a3(8a12)
Using product rule, add exponents and multiply numbers
56a15
Our Solution
Example 211.
3a3b · 10a4b3
Simplify numerator with product rule, adding exponents
2a4b2
30a7b4
Now use the quotient rule to subtract exponents
2a4b2
15a3b2
Our Solution
Example 212.
3m8n12
Use power rule in denominator
(m2n3)3
3m8n12
Use quotient rule
m6n9
3m2n3
Our solution
Example 213.
 3ab2(2a4b2)3 2
Simplify inside parenthesis first, using power rule in numerator
6a5b7
 3ab2(8a12b6) 2
Simplify numerator using product rule
6a5b7
 24a13b8 2
Simplify using the quotient rule
6a5b7
4a8b)2
Now that the parenthesis are simplified, use the power rules
16a16b2
Our Solution
Clearly these problems can quickly become quite involved. Remember to follow
order of operations as a guide, simplify inside parenthesis first, then power rules,
then product and quotient rules.
181

---

5.1 Practice - Exponent Properties
Simplify.
1) 4 · 44 · 44
2) 4 · 44 · 42
3) 4 · 22
4) 3 · 33 · 32
5) 3m · 4mn
6) 3x · 4x2
7) 2m4n2 · 4nm2
8) x2 y4 · xy2
9) (33)4
10) (43)4
11) (44)2
12) (32)3
13) (2u3v2)2
14) (xy)3
15) (2a4)4
16) (2xy)4
17) 45
43
18) 37
33
19) 32
3
20) 34
3
21) 3nm2
3n
22) x2y4
4xy
23) 4x3y4
3xy3
24) xy3
4xy
25) (x3y4 · 2x2y3)2
26) (u2v2 · 2u4)3
27) 2x(x4y4)4
28) 3vu5 · 2v3
29)
2x 7y5
u v2 · 2u3v
3x3y · 4x2y3
30) 2ba7 · 2b4

2
31)
(2x)3
ba2 · 3a3b4
x3
32) 2a2b2a7

3
(ba4)2
33)
2y17
(2x2y4)4
34) yx2 · (y4)2
2y4

3
35)
2m n4 · 2m4n4
mn4
36) n3(n4)2
2mn
37) 2xy5 · 2x2y3
2xy4 · y3
38) (2y 3x2)2
2x2y4 · x2
39) q3r2 · (2p2q2r3)2
2p3
40) 2x4y5 · 2z10 x2y7
(xy2z2)4

4
41)
z y3 · z3 x4y4
x3y3z3

4
42)
2q3 p3r4 · 2p3
(qrp3)2
43) 2x2y2z6 · 2zx2y2
(x2z3)2
182

---

5.2
Polynomials - Negative Exponents
Objective: Simplify expressions with negative exponents using the
properties of exponents.
There are a few special exponent properties that deal with exponents that are not
positive. The first is considered in the following example, which is worded out 2
different ways:
Example 214.
a3
Use the quotient rule to subtract exponents
a3
a0
Our Solution, but now we consider the problem a the second way:
a3
Rewrite exponents as repeated multiplication
a3
aaa
Reduce out all the a′s
aaa
1 = 1 Our Solution, when we combine thetwo solutions weget:
1
a0 = 1
Our final result.
This final result is an imporant property known as the zero power rule of expo-
nents
Zero Power Rule of Exponents: a0 = 1
Any number or expression raised to the zero power will always be 1. This is illus-
trated in the following example.
Example 215.
(3x2)0
Zero power rule
1
Our Solution
Another property we will consider here deals with negative exponents. Again we
will solve the following example two ways.
183

---

Example 216.
a3
Using the quotient rule, subtract exponents
a5
a−2
Our Solution, but we will also solve this problem another way.
a3
Rewrite exponents as repeated multiplication
a5
aaa
Reduce three a′s out of top and bottom
aaaaa
1
Simplify to exponents
aa
1
Our Solution, putting these solutions together gives:
a2
1
a−2 =
Our Final Solution
a2
This example illustrates an important property of exponents. Negative exponents
yield the reciprocal of the base. Once we take the reciprical the exponent is now
positive. Also, it is important to note a negative exponent does not mean the
expression is negative, only that we need the reciprocal of the base. Following are
the rules of negative exponents
1
a−m = m
1
Rules of Negative Exponets:
= am
a−m
 a −m
bm
=
b
am
Negative exponents can be combined in several different ways. As a general rule if
we think of our expression as a fraction, negative exponents in the numerator
must be moved to the denominator, likewise, negative exponents in the denomi-
nator need to be moved to the numerator. When the base with exponent moves,
the exponent is now positive. This is illustrated in the following example.
Example 217.
a3b−2c
Negative exponents on b, d, and e need to flip
2d−1 e−4f 2
a 3cde4
Our Solution
2b2f 2
184

---

As we simplified our fraction we took special care to move the bases that had a
negative exponent, but the expression itself did not become negative because of
those exponents. Also, it is important to remember that exponents only effect
what they are attached to. The 2 in the denominator of the above example does
not have an exponent on it, so it does not move with the d.
We now have the following nine properties of exponents. It is important that we
are very familiar with all of them.
Properties of Exponents
1
aman = am+n
(ab)m = ambm
a−m = am
am
 a m
am
1
= am−n
=
= am
an
b
bm
a−m
 a −m
bm
(am)n = amn
a0 = 1
=
b
am
World View Note: Nicolas Chuquet, the French mathematician of the 15th cen-
tury wrote 121m¯ to indicate 12x−1. This was the first known use of the negative
exponent.
Simplifying with negative exponents is much the same as simplifying with positive
exponents. It is the advice of the author to keep the negative exponents until the
end of the problem and then move them around to their correct location (numer-
ator or denominator). As we do this it is important to be very careful of rules for
adding, subtracting, and multiplying with negatives. This is illustrated in the fol-
lowing examples
Example 218.
4x−5y−3 · 3x3y−2
Simplify numerator with product rule, adding exponents
6x−5y3
12x−2y−5
Quotient rule to subtract exponets, be careful with negatives!
6x−5y3
( − 2) − ( − 5) = ( − 2) + 5 = 3
( − 5) − 3 = ( − 5) + ( − 3) = − 8
2x3y−8
Negative exponent needs to move down to denominator
2x3
Our Solution
y8
185

---

Example 219.
(3ab3)−2ab−3
In numerator, use power rule with − 2, multiplying exponents
2a−4b0
In denominator, b0 = 1
3−2a−2b−6ab−3
In numerator, use product rule to add exponents
2a−4
3−2a−1b−9
Use quotient rule to subtract exponents, be careful with negatives
2a−4
( − 1) − ( − 4) = ( − 1) + 4 = 3
3−2a3b−9
Move 3 and b to denominator because of negative exponents
2
a3
Evaluate 322
322b9
a3
Our Solution
18b9
In the previous example it is important to point out that when we simplified 3−2
we moved the three to the denominator and the exponent became positive. We
did not make the number negative! Negative exponents never make the bases neg-
ative, they simply mean we have to take the reciprocal of the base. One final
example with negative exponents is given here.
Example 220.
 3x−2y5z3 · 6x−6y−2z−3 −3
In numerator, use product rule, adding exponents
9(x2y−2)−3
In denominator, use power rule, multiplying exponets
 18x−8y3z0 −3
Use quotient rule to subtract exponents,
9x−6y6
be careful with negatives:
( − 8) − ( − 6) = ( − 8) + 6 = − 2
3 − 6 = 3 + ( − 6) = − 3
(2x−2y−3z0)−3
Parenthesis are done, use power rule with − 3
2−3x6y9z0
Move 2 with negative exponent down and z0 = 1
x6y9
Evaluate 23
23
x6y9
Our Solution
8
186

---

5.2 Practice - Negative Exponents
Simplify. Your answer should contain only positive expontents.
1) 2x4y−2 · (2xy3)4
2) 2a−2b−3 · (2a0b4)4
3) (a4b−3)3 · 2a3b−2
4) 2x3y2 · (2x3)0
5) (2x2y2)4x−4
6) (m0n3 · 2m−3n−3)0
7) (x3y4)3 · x−4y4
8) 2m−1n−3 · (2m−1n−3)4
9)
2x−3y2
10)
3y3
3x−3y3 · 3x0
3yx3 · 2x4y−3
11) 4xy−3 · x−4y0
12)
3x3y2
4y−1
4y−2 · 3x−2y−4
13)
u2v−1
14) 2xy2 · 4x3y−4
2u0v4 · 2uv
4x−4y−4 · 4x
15)
u2
16) 2x−2y2
4u0v3 · 3v2
4yx2
17)
2y
(x0y2)4
18) (a4)4
2b
19) ( 2a2b3)4
20) ( 2y−4 )−2
a−1
x2
21) 2nm4
22)
2y2
(2m2n2)4
(x4y0)−4
23) (2mn)4
24)
2x−3
m0n−2
(x4y−3)−1
25) y3 · x−3y2
26) 2x−2y0 · 2xy4
(x4y2)3
(xy0)−1
27) 2u−2v3 · (2uv4)−1
28) 2yx2 · x−2
2u−4v0
(2x0y4)−1
29) ( 2x0 · y4)3
y4
30)
u−3v−4
2v(2u−3v4)0
31) y(2x4y2)2
2x4y0
32)
b−1
(2a4b0)0 · 2a−3b2
33)
2yzx2
2x4y4z−2 · (zy2)4
34) 2b4c−2 · (2b3c2)−4
a−2b4
35) 2kh0 · 2h−3k0
(2
36) ( (2x−3y0z−1)3 · x−3y2)−2
k j3)2
2x3
37) (cb3)2 · 2a−3b2
38) 2q4 · m2p2q4
(a3b−2c3)3
(2m−4p2)3
39) (yx−4z2)−1
40)
2mpn−3
z3 · x2y3z−1
(m0n−4p2)3 · 2n2p0
187

---

5.3
Polynomials - Scientific Notation
Objective: Multiply and divide expressions using scientific notation and
exponent properties.
One application of exponent properties comes from scientific notation. Scientific
notation is used to represent really large or really small numbers. An example of
really large numbers would be the distance that light travels in a year in miles.
An example of really small numbers would be the mass of a single hydrogen atom
in grams. Doing basic operations such as multiplication and division with these
numbers would normally be very combersome. However, our exponent properties
make this process much simpler.
First we will take a look at what scientific notation is. Scientific notation has two
parts, a number between one and ten (it can be equal to one, but not ten), and
that number multiplied by ten to some exponent.
Scientific Notation: a × 10b where 1 6 a < 10
The exponent, b, is very important to how we convert between scientific notation
and normal numbers, or standard notation. The exponent tells us how many
times we will multiply by 10. Multiplying by 10 in affect moves the decimal point
one place. So the exponent will tell us how many times the exponent moves
between scientific notation and standard notation. To decide which direction to
move the decimal (left or right) we simply need to remember that positive expo-
nents mean in standard notation we have a big number (bigger than ten) and neg-
ative exponents mean in standard notation we have a small number (less than
one).
Keeping this in mind, we can easily make conversions between standard notation
and scientific notation.
Example 221.
Convert 14, 200 to scientific notation
Put decimal after first nonzero number
1.42
Exponent is how many times decimal moved, 4
× 104
Positive exponent, standard notation is big
1.42 × 104
Our Solution
Example 222.
Convert 0.0042 to scientific notation
Put decimal after first nonzero number
4.2
Exponent is how many times decimal moved, 3
× 10−3
Negative exponent, standard notation is small
4.2 × 10−3
Our Solution
188

---

Example 223.
Convert 3.21 × 105 to standard notation
Positive exponent means standard notation
big number. Move decimal right 5 places
321, 000
Our Solution
Example 224.
Conver 7.4 × 10−3 to standard notation
Negative exponent means standard notation
is a small number. Move decimal left 3 places
0.0074
Our Solution
Converting between standard notation and scientific notation is important to
understand how scientific notation works and what it does. Here our main
interest is to be able to multiply and divide numbers in scientific notation using
exponent properties. The way we do this is first do the operation with the front
number (multiply or divide) then use exponent properties to simplify the 10’s.
Scientific notation is the only time where it will be allowed to have negative expo-
nents in our final solution. The negative exponent simply informs us that we are
dealing with small numbers. Consider the following examples.
Example 225.
(2.1 × 10−7)(3.7 × 105)
Deal with numbers and 10′s separately
(2.1)(3.7) = 7.77
Multiply numbers
10−7105 = 10−2
Use product rule on 10′s and add exponents
7.77 × 10−2
Our Solution
Example 226.
4.96 × 104
Deal with numbers and 10′s separately
3.1 × 10−3
4.96 = 1.6 DivideNumbers
3.1
104 = 107 Use quotient rule to subtract exponents,be careful with negatives!
10−3
Be careful with negatives, 4 − ( − 3) = 4 + 3 = 7
1.6 × 107
Our Solution
189

---

Example 227.
(1.8 × 10−4)3
Use power rule to deal with numbers and 10′s separately
1.83 = 5.832
Evaluate 1.83
(10−4)3 = 10−12
Multiply exponents
5.832 × 10−12
Our Solution
Often when we multiply or divide in scientific notation the end result is not in sci-
entific notation. We will then have to convert the front number into scientific
notation and then combine the 10’s using the product property of exponents and
adding the exponents. This is shown in the following examples.
Example 228.
(4.7 × 10−3)(6.1 × 109)
Deal with numbers and 10′s separately
(4.7)(6.1) = 28.67
Multiply numbers
2.867 × 101
Convert this number into scientific notation
10110−3109 = 107
Use product rule, add exponents, using 101 from conversion
2.867 × 107
Our Solution
World View Note: Archimedes (287 BC - 212 BC), the Greek mathematician,
developed a system for representing large numbers using a system very similar to
scientific notation. He used his system to calculate the number of grains of sand it
would take to fill the universe. His conclusion was 1063 grains of sand because he
figured the universe to have a diameter of 1014 stadia or about 2 light years.
Example 229.
2.014 × 10−3
Deal with numbers and 10′s separately
3.8 × 10−7
2.014 = 0.53 Divide numbers
3.8
0.53 = 5.3 × 10−1
Change this number into scientific notation
10−110−3 = 103 Use product and quotient rule,using 10−1from the conversion
10−7
Be careful with signs:
( − 1) + ( − 3) − ( − 7) = ( − 1) + ( − 3) + 7 = 3
5.3 × 103
Our Solution
190

---

5.3 Practice - Scientific Notation
Write each number in scientific notiation
1) 885
2) 0.000744
3) 0.081
4) 1.09
5) 0.039
6) 15000
Write each number in standard notation
7) 8.7 x 105
8) 2.56 x 102
9) 9 x 10−4
10) 5 x 104
11) 2 x 100
12) 6 x 10−5
Simplify. Write each answer in scientific notation.
13) (7 x 10−1)(2 x 10−3)
14) (2 × 10−6)(8.8 × 10−5)
15) (5.26 x 10−5)(3.16 x 10−2)
16) (5.1 × 106)(9.84 × 10−1)
17) (2.6 x 10−2)(6 x 10−2)
18) 7.4× 104
1.7 × 10−4
19) 4.9× 101
2.7 × 10−3
20) 7.2× 10−1
7.32 × 10−1
21) 5.33× 10−6
9.62 × 10−2
22) 3.2× 10−3
5.02 × 100
23) (5.5 × 10−5)2
24) (9.6 × 103)−4
25) (7.8 × 10−2)5
26) (5.4 × 106)−3
27) (8.03 × 104)−4
28) (6.88 × 10−4)(4.23 × 101)
29) 6.1× 10−6
5.1 × 10−4
30) 8.4× 105
7 × 10−2
31) (3.6 × 100)(6.1 × 10−3)
32) (3.15 × 103)(8 × 10−1)
33) (1.8 × 10−5)−3
34) 9.58× 10−2
35)
9 × 104
1.14 × 10−3
7.83 × 10−2
36) (8.3 × 101)5
37) 3.22× 10−3
7 × 10−6
38) 5 × 106
6.69 × 102
39) 2.4× 10−6
6.5 × 100
40) (9 × 10−2)−3
41) 6 × 103
5.8 × 10
42) (2 × 104)(6 × 101)
−3
191

---

5.4
Polynomials - Introduction to Polynomials
Objective: Evaluate, add, and subtract polynomials.
Many applications in mathematics have to do with what are called polynomials.
Polynomials are made up of terms. Terms are a product of numbers and/or vari-
ables. For example, 5x, 2y2, − 5, ab3c, and x are all terms. Terms are connected
to each other by addition or subtraction. Expressions are often named based on
the number of terms in them. A monomial has one term, such as 3x2. A bino-
mial has two terms, such as a2 − b2. A Trinomial has three terms, such as ax2 +
bx + c. The term polynomial means many terms. Monomials, binomials, trino-
mials, and expressions with more terms all fall under the umbrella of “polyno-
mials”.
If we know what the variable in a polynomial represents we can replace the vari-
able with the number and evaluate the polynomial as shown in the following
example.
Example 230.
2x2 − 4x + 6 when x = − 4
Replace variable x with − 4
2( − 4)2 − 4( − 4) + 6
Exponents first
2(16) − 4( − 4) + 6
Multiplication (we can do all terms at once)
32 + 16 + 6
Add
54
Our Solution
It is important to be careful with negative variables and exponents. Remember
the exponent only effects the number it is physically attached to. This means −
32 = − 9 because the exponent is only attached to the 3. Also, ( − 3)2 = 9 because
the exponent is attached to the parenthesis and effects everything inside. When
we replace a variable with parenthesis like in the previous example, the substi-
tuted value is in parenthesis. So the ( − 4)2 = 16 in the example. However, con-
sider the next example.
Example 231.
− x2 + 2x + 6 when x = 3
Replace variable x with 3
− (3)2 + 2(3) + 6
Exponent only on the 3, not negative
− 9 + 2(3) + 6
Multiply
− 9 + 6 + 6
Add
3
Our Solution
192

---

World View Note: Ada Lovelace in 1842 described a Difference Engine that
would be used to caluclate values of polynomials. Her work became the founda-
tion for what would become the modern computer (the programming language
Ada was named in her honor), more than 100 years after her death from cancer.
Generally when working with polynomials we do not know the value of the vari-
able, so we will try and simplify instead. The simplest operation with polynomials
is addition. When adding polynomials we are mearly combining like terms. Con-
sider the following example
Example 232.
(4x3 − 2x + 8) + (3x3 − 9x2 − 11)
Combine like terms 4x3 + 3x3 and 8 − 11
7x3 − 9x2 − 2x − 3
Our Solution
Generally final answers for polynomials are written so the exponent on the vari-
able counts down. Example 3 demonstrates this with the exponent counting down
3, 2, 1, 0 (recall x0 = 1). Subtracting polynomials is almost as fast. One extra step
comes from the minus in front of the parenthesis. When we have a negative in
front of parenthesis we distribute it through, changing the signs of everything
inside. The same is done for the subtraction sign.
Example 233.
(5x2 − 2x + 7) − (3x2 + 6x − 4)
Distribute negative through second part
5x2 − 2x + 7 − 3x2 − 6x + 4
Combine like terms 5x2 − 3x3, − 2x − 6x, and 7 + 4
2x2 − 8x + 11
Our Solution
Addition and subtraction can also be combined into the same problem as shown
in this final example.
Example 234.
(2x2 − 4x + 3) + (5x2 − 6x + 1) − (x2 − 9x + 8)
Distribute negative through
2x2 − 4x + 3 + 5x2 − 6x + 1 − x2 + 9x − 8
Combine like terms
6x2 − x − 4
Our Solution
193

---

5.4 Practice - Introduction to Polynomials
Simplify each expression.
1) − a3 − a2 + 6a − 21 when a = − 4
2) n2 + 3n − 11 when n = − 6
3) n3 − 7n2 + 15n − 20 when n = 2
4) n3 − 9n2 + 23n − 21 when n = 5
5) − 5n4 − 11n3 − 9n2 − n − 5 when n = − 1
6) x4 − 5x3 − x + 13 when x = 5
7) x2 + 9x + 23 when x = − 3
8) − 6x3 + 41x2 − 32x + 11 when x = 6
9) x4 − 6x3 + x2 − 24 when x = 6
10) m4 + 8m3 + 14m2 + 13m + 5 when m = − 6
11) (5p − 5p4) − (8p − 8p4)
12) (7m2 + 5m3) − (6m3 − 5m2)
13) (3n2 + n3) − (2n3 − 7n2)
14) (x2 + 5x3) + (7x2 + 3x3)
15) (8n + n4) − (3n − 4n4)
16) (3v4 + 1) + (5 − v4)
17) (1 + 5p3) − (1 − 8p3)
18) (6x3 + 5x) − (8x + 6x3)
19) (5n4 + 6n3) + (8 − 3n3 − 5n4)
20) (8x2 + 1) − (6 − x2 − x4)
194

---

21) (3 + b4) + (7 + 2b + b4)
22) (1 + 6r2) + (6r2 − 2 − 3r4)
23) (8x3 + 1) − (5x4 − 6x3 + 2)
24) (4n4 + 6) − (4n − 1 − n4)
25) (2a + 2a4) − (3a2 − 5a4 + 4a)
26) (6v + 8v3) + (3 + 4v3 − 3v)
27) (4p2 − 3 − 2p) − (3p2 − 6p + 3)
28) (7 + 4m + 8m4) − (5m4 + 1 + 6m)
29) (4b3 + 7b2 − 3) + (8 + 5b2 + b3)
30) (7n + 1 − 8n4) − (3n + 7n4 + 7)
31) (3 + 2n2 + 4n4) + (n3 − 7n2 − 4n4)
32) (7x2 + 2x4 + 7x3) + (6x3 − 8x4 − 7x2)
33) (n − 5n4 + 7) + (n2 − 7n4 − n)
34) (8x2 + 2x4 + 7x3) + (7x4 − 7x3 + 2x2)
35) (8r4 − 5r3 + 5r2) + (2r2 + 2r3 − 7r4 + 1)
36) (4x3 + x − 7x2) + (x2 − 8 + 2x + 6x3)
37) (2n2 + 7n4 − 2) + (2 + 2n3 + 4n2 + 2n4)
38) (7b3 − 4b + 4b4) − (8b3 − 4b2 + 2b4 − 8b)
39) (8 − b + 7b3) − (3b4 + 7b − 8 + 7b2) + (3 − 3b + 6b3)
40) (1 − 3n4 − 8n3) + (7n4 + 2 − 6n2 + 3n3) + (4n3 + 8n4 + 7)
41) (8x4 + 2x3 + 2x) + (2x + 2 − 2x3 − x4) − (x3 + 5x4 + 8x)
42) (6x − 5x4 − 4x2) − (2x − 7x2 − 4x4 − 8) − (8 − 6x2 − 4x4)
195

---

5.5
Polynomials - Multiplying Polynomials
Objective: Multiply polynomials.
Multiplying polynomials can take several different forms based on what we are
multiplying. We will first look at multiplying monomials, then monomials by
polynomials and finish with polynomials by polynomials.
Multiplying monomials is done by multiplying the numbers or coefficients and
then adding the exponents on like factors. This is shown in the next example.
Example 235.
(4x3y4z)(2x2y6z3)
Multiply numbers and add exponents for x, y, and z
8x5y10z4
Our Solution
In the previous example it is important to remember that the z has an exponent
of 1 when no exponent is written. Thus for our answer the z has an exponent of
1 + 3 = 4. Be very careful with exponents in polynomials. If we are adding or sub-
tracting the exponnets will stay the same, but when we multiply (or divide) the
exponents will be changing.
Next we consider multiplying a monomial by a polynomial. We have seen this
operation before with distributing through parenthesis. Here we will see the exact
same process.
Example 236.
4x3(5x2 − 2x + 5)
Distribute the 4x3, multiplying numbers, adding exponents
20x5 − 8x4 + 20x3
Our Solution
Following is another example with more variables. When distributing the expo-
nents on a are added and the exponents on b are added.
Example 237.
2a3b(3ab2 − 4a)
Distribute, multiplying numbers and adding exponents
6a4b3 − 8a4b
Our Solution
There are several different methods for multiplying polynomials. All of which
work, often students prefer the method they are first taught. Here three methods
will be discussed. All three methods will be used to solve the same two multipli-
cation problems.
Multiply by Distributing
196

---

Just as we distribute a monomial through parenthesis we can distribute an entire
polynomial. As we do this we take each term of the second polynomial and put it
in front of the first polynomial.
Example 238.
(4x + 7y)(3x − 2y)
Distribute (4x + 7y) through parenthesis
3x(4x + 7y) − 2y(4x + 7y)
Distribute the 3x and − 2y
12x2 + 21xy − 8xy − 14y2
Combine like terms 21xy − 8xy
12x2 + 13xy − 14y2
Our Solution
This example illustrates an important point, the negative/subtraction sign stays
with the 2y. Which means on the second step the negative is also distributed
through the last set of parenthesis.
Multiplying by distributing can easily be extended to problems with more terms.
First distribute the front parenthesis onto each term, then distribute again!
Example 239.
(2x − 5)(4x2 − 7x + 3)
Distribute (2x − 5) through parenthesis
4x2(2x − 5) − 7x(2x − 5) + 3(2x − 5)
Distribute again through each parenthesis
8x3 − 20x2 − 14x2 + 35x + 6x − 15
Combine like terms
8x3 − 34x2 + 41x − 15
Our Solution
This process of multiplying by distributing can easily be reversed to do an impor-
tant procedure known as factoring. Factoring will be addressed in a future lesson.
Multiply by FOIL
Another form of multiplying is known as FOIL. Using the FOIL method we mul-
tiply each term in the first binomial by each term in the second binomial. The
letters of FOIL help us remember every combination. F stands for First, we mul-
tiply the first term of each binomial. O stand for Outside, we multiply the outside
two terms. I stands for Inside, we multiply the inside two terms. L stands for
Last, we multiply the last term of each binomial. This is shown in the next
example:
Example 240.
(4x + 7y)(3x − 2y)
Use FOIL to multiply
(4x)(3x) = 12x2
F − First terms (4x)(3x)
(4x)( − 2y) = − 8xy
O − Outside terms (4x)( − 2y)
(7y)(3x) = 21xy
I − Inside terms (7y)(3x)
(7y)( − 2y) = − 14y2
L − Last terms (7y)( − 2y)
12x2 − 8xy + 21xy − 14y2
Combine like terms − 8xy + 21xy
12x2 + 13xy − 14y2
Our Solution
197

---

Some students like to think of the FOIL method as distributing the first term 4x
through the (3x − 2y) and distributing the second term 7y through the (3x − 2y).
Thinking about FOIL in this way makes it possible to extend this method to
problems with more terms.
Example 241.
(2x − 5)(4x2 − 7x + 3)
Distribute 2x and − 5
(2x)(4x2) + (2x)( − 7x) + (2x)(3) − 5(4x2) − 5( − 7x) − 5(3)
Multiply out each term
8x3 − 14x2 + 6x − 20x2 + 35x − 15
Combine like terms
8x3 − 34x2 + 41x − 15
Our Solution
The second step of the FOIL method is often not written, for example, consider
the previous example, a student will often go from the problem (4x + 7y)(3x − 2y)
and do the multiplication mentally to come up with 12x2 − 8xy + 21xy − 14y2 and
then combine like terms to come up with the final solution.
Multiplying in rows
A third method for multiplying polynomials looks very similar to multiplying
numbers. Consider the problem:
35
× 27
245
Multiply 7 by 5 then 3
700
Use 0 for placeholder, multiply 2 by 5 then 3
945
Add to get Our Solution
World View Note: The first known system that used place values comes from
Chinese mathematics, dating back to 190 AD or earlier.
The same process can be done with polynomials. Multiply each term on the
bottom with each term on the top.
Example 242.
(4x + 7y)(3x − 2y)
Rewrite as vertical problem
4x + 7y
× 3x − 2y
− 8xy − 14y2
Multiply − 2y by 7y then 4x
12x2 + 21xy
Multiply 3x by 7y then 4x. Line up like terms
12x2 + 13xy − 14y2
Add like terms to get Our Solution
This same process is easily expanded to a problem with more terms.
198

---

Example 243.
(2x − 5)(4x2 − 7x + 3)
Rewrite as vertical problem
4x3 − 7x + 3
Put polynomial with most terms on top
× 2x − 5
− 20x2 + 35x − 15
Multiply − 5 by each term
8x3 − 14x2 + 6x
Multiply 2x by each term. Line up like terms
8x3 − 34x2 + 41x − 15
Add like terms to get our solution
This method of multiplying in rows also works with multiplying a monomial by a
polynomial!
Any of the three described methods work to multiply polynomials. It is suggested
that you are very comfortable with at least one of these methods as you work
through the practice problems. All three methods are shown side by side in the
example.
Example 244.
(2x − y)(4x − 5y)
Distribute
FOIL
Rows
4x(2x − y) − 5y(2x − y)
2x(4x) + 2x( − 5y) − y(4x) − y( − 5y)
2x − y
8x2 − 4xy − 10xy − 5y2
8x2 − 10xy − 4xy + 5y2
× 4x − 5y
8x2 − 14xy − 5y2
8x2 − 14xy + 5y2
− 10xy + 5y2
8x2 − 4xy
8x2 − 14xy + 5y2
When we are multiplying a monomial by a polynomial by a polynomial we can
solve by first multiplying the polynomials then distributing the coefficient last.
This is shown in the last example.
Example 245.
3(2x − 4)(x + 5)
Multiply the binomials, we will use FOIL
3(2x2 + 10x − 4x − 20)
Combine like terms
3(2x2 + 6x − 20)
Distribute the 3
6x2 + 18x − 60
Our Solution
A common error students do is distribute the three at the start into both paren-
thesis. While we can distribute the 3 into the (2x − 4) factor, distributing into
both would be wrong. Be careful of this error. This is why it is suggested to mul-
tiply the binomials first, then distribute the coeffienct last.
199

---

5.5 Practice - Multiply Polynomials
Find each product.
1) 6(p − 7)
2) 4k(8k + 4)
3) 2(6x + 3)
4) 3n2(6n + 7)
5) 5m4(4m + 4)
6) 3(4r − 7)
7) (4n + 6)(8n + 8)
8) (2x + 1)(x − 4)
9) (8b + 3)(7b − 5)
10) (r + 8)(4r + 8)
11) (4x + 5)(2x + 3)
12) (7n − 6)(n + 7)
13) (3v − 4)(5v − 2)
14) (6a + 4)(a − 8)
15) (6x − 7)(4x + 1)
16) (5x − 6)(4x − 1)
17) (5x + y)(6x − 4y)
18) (2u + 3v)(8u − 7v)
19) (x + 3y)(3x + 4y)
20) (8u + 6v)(5u − 8v)
21) (7x + 5y)(8x + 3y)
22) (5a + 8b)(a − 3b)
23) (r − 7)(6r2 − r + 5)
24) (4x + 8)(4x2 + 3x + 5)
25) (6n − 4)(2n2 − 2n + 5)
26) (2b − 3)(4b2 + 4b + 4)
27) (6x + 3y)(6x2 − 7xy + 4y2)
28) (3m − 2n)(7m2 + 6mn + 4n2)
29) (8n2 + 4n + 6)(6n2 − 5n + 6)
30) (2a2 + 6a + 3)(7a2 − 6a + 1)
31) (5k2 + 3k + 3)(3k2 + 3k + 6)
32) (7u2 + 8uv − 6v2)(6u2 + 4uv + 3v2)
33) 3(3x − 4)(2x + 1)
34) 5(x − 4)(2x − 3)
35) 3(2x + 1)(4x − 5)
36) 2(4x + 1)(2x − 6)
37) 7(x − 5)(x − 2)
38) 5(2x − 1)(4x + 1)
39) 6(4x − 1)(4x + 1)
40) 3(2x + 3)(6x + 9)
200

---

5.6
Polynomials - Multiply Special Products
Objective: Recognize and use special product rules of a sum and differ-
ence and perfect squares to multiply polynomials.
There are a few shortcuts that we can take when multiplying polynomials. If we
can recognize them the shortcuts can help us arrive at the solution much quicker.
These shortcuts will also be useful to us as our study of algebra continues.
The first shortcut is often called a sum and a difference. A sum and a differ-
ence is easily recognized as the numbers and variables are exactly the same, but
the sign in the middle is different (one sum, one difference). To illustrate the
shortcut consider the following example, multiplied by the distributing method.
Example 246.
(a + b)(a − b)
Distribute (a + b)
a(a + b) − b(a + b)
Distribute a and − b
a2 + ab − ab − b2
Combine like terms ab − ab
a2 − b2
Our Solution
The important part of this example is the middle terms subtracted to zero.
Rather than going through all this work, when we have a sum and a difference we
will jump right to our solution by squaring the first term and squaring the last
term, putting a subtraction between them. This is illustrated in the following
example
Example 247.
(x − 5)(x + 5)
Recognize sum and difference
x2 − 25
Square both, put subtraction between. Our Solution
This is much quicker than going through the work of multiplying and combining
like terms. Often students ask if they can just multiply out using another method
and not learn the shortcut. These shortcuts are going to be very useful when we
get to factoring polynomials, or reversing the multiplication process. For this
reason it is very important to be able to recognize these shortcuts. More examples
are shown here.
201

---

Example 248.
(3x + 7)(3x − 7)
Recognize sum and difference
9x2 − 49
Square both, put subtraction between. Our Solution
Example 249.
(2x − 6y)(2x + 6y)
Recognize sum and difference
4x2 − 36y2
Square both, put subtraction between. Our Solution
It is interesting to note that while we can multiply and get an answer like a2 − b2
(with subtraction), it is impossible to multiply real numbers and end up with a
product such as a2 + b2 (with addition).
Another shortcut used to multiply is known as a perfect square. These are easy
to recognize as we will have a binomial with a 2 in the exponent. The following
example illustrates multiplying a perfect square
Example 250.
(a + b)2
Squared is same as multiplying by itself
(a + b)(a + b)
Distribute (a + b)
a(a + b) + b(a + b)
Distribute again through final parenthesis
a2 + ab + ab + b2
Combine like terms ab + ab
a2 + 2ab + b2
Our Solution
This problem also helps us find our shortcut for multiplying. The first term in the
answer is the square of the first term in the problem. The middle term is 2 times
the first term times the second term. The last term is the square of the last term.
This can be shortened to square the first, twice the product, square the last. If we
can remember this shortcut we can square any binomial. This is illustrated in the
following example
Example 251.
(x − 5)2
Recognize perfect square
x2
Square the first
2(x)( − 5) = − 10x
Twice the product
( − 5)2 = 25
Square the last
x2 − 10x + 25
Our Solution
202

---

Be very careful when we are squaring a binomial to NOT distribute the square
through the parenthesis. A common error is to do the following: (x − 5)2 = x2 − 25
(or x2 + 25). Notice both of these are missing the middle term, − 10x. This is
why it is important to use the shortcut to help us find the correct solution.
Another important observation is that the middle term in the solution always has
the same sign as the middle term in the problem. This is illustrated in the next
examples.
Example 252.
(2x + 5)2
Recognize perfect square
(2x)2 = 4x2
Square the first
2(2x)(5) = 20x
Twice the product
52 = 25
Square the last
4x2 + 20x + 25
Our Solution
Example 253.
(3x − 7y)2
Recognize perfect square
9x2 − 42xy + 49y2
Square the first, twice the product, square the last. Our Solution
Example 254.
(5a + 9b)2
Recognize perfect square
25a2 + 90ab + 81b2
Square the first, twice the product, square the last. Our Solution
These two formulas will be important to commit to memory. The more familiar
we are with them, the easier factoring, or multiplying in reverse, will be. The final
example covers both types of problems (two perfect squares, one positive, one
negative), be sure to notice the difference between the examples and how each for-
mula is used
Example 255.
(4x − 7)(4x + 7)
(4x + 7)2
(4x − 7)2
16x2 − 49
16x2 + 56x + 49
16x2 − 56x + 49
World View Note: There are also formulas for higher powers of binomials as
well, such as (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. While French mathematician Blaise
Pascal often gets credit for working with these expansions of binomials in the 17th
century, Chinese mathematicians had been working with them almost 400 years
earlier!
203

---

5.6 Practice - Multiply Special Products
Find each product.
1) (x + 8)(x − 8)
2) (a − 4)(a + 4)
3) (1 + 3p)(1 − 3p)
4) (x − 3)(x + 3)
5) (1 − 7n)(1 + 7n)
6) (8m + 5)(8m − 5)
7) (5n − 8)(5n + 8)
8) (2r + 3)(2r − 3)
9) (4x + 8)(4x − 8)
10) (b − 7)(b + 7)
12) (7a + 7b)(7a
11) (4
− 7b)
y − x)(4y + x)
14) (3y − 3x)(3y + 3x)
13) (4m − 8n)(4m + 8n)
16) (1 + 5n)2
15) (6x − 2y)(6x + 2y)
18) (v + 4)2
17) (a + 5)2
20) (1 − 6n)2
19) (x − 8)2
22) (7k − 7)2
21) (p + 7)2
24) (4x − 5)2
23) (7 − 5n)2
26) (3a + 3b)2
25) (5m − 8)2
28) (4m − n)2
27) (5x + 7y)2
30) (8x + 5y)2
29) (2x + 2y)2
32) (m − 7)2
31) (5 + 2r)2
34) (8n + 7)(8n − 7)
33) (2 + 5x)2
36) (b + 4)(b − 4)
35) (4v − 7) (4v + 7)
38) (7x + 7)2
37) (n − 5)(n + 5)
40) (3a − 8)(3a + 8)
39) (4k + 2)2
204

---

5.7
Polynomials - Divide Polynomials
Objective: Divide polynomials using long division.
Dividing polynomials is a process very similar to long division of whole numbers.
But before we look at that, we will first want to be able to master dividing a
polynomial by a monomial. The way we do this is very similar to distributing,
but the operation we distribute is the division, dividing each term by the mono-
mial and reducing the resulting expression. This is shown in the following exam-
ples
Example 256.
9x5 + 6x4 − 18x3 − 24x2
Divide each term in the numerator by 3x2
3x2
9x5
6x4
18x3
24x2
+
−
−
Reduce each fraction, subtracting exponents
3x2
3x2
3x2
3x2
3x3 + 2x2 − 6x − 8
Our Solution
Example 257.
8x3 + 4x2 − 2x + 6
Divide each term in the numerator by 4x2
4x2
8x3
4x2
2x
6
+
−
+
Reduce each fraction, subtracting exponents
4x2
4x2
4x2
4x2
Remember negative exponents are moved to denominator
1
3
2x + 1 −
+
Our Solution
2x
2x2
The previous example illustrates that sometimes we will have fractions in our
solution, as long as they are reduced this will be correct for our solution. Also
interesting in this problem is the second term 4x2 divided out completely.
4x2
Remember that this means the reduced answer is 1 not 0.
Long division is required when we divide by more than just a monomial. Long
division with polynomials works very similar to long division with whole numbers.
205

---

An example is given to review the (general) steps that are used with whole num-
bers that we will also use with polynomials
Example 258.
6
4|631
Divide front numbers:
= 1
4
 
1
4|631
Multiply this number by divisor: 1 · 4 = 4
− 4
Change the sign of this number (make it subtract) and combine
23
Bring down next number
23
15
Repeat, divide front numbers:
= 5
4
 
4|631
− 4
23
Multiply this number by divisor: 5 · 4 = 20
− 20
Change the sign of this number (make it subtract) and combine
31
Bring down next number
31
157
Repeat, divide front numbers:
= 7
4
 
4|631
− 4
23
− 20
31
Multiply this number by divisor: 7 · 4 = 28
− 28
Change the sign of this number (make it subtract) and combine
3
We will write our remainder as a fraction, over the divisor, added to the end
3
157
Our Solution
4
This same process will be used to multiply polynomials. The only difference is we
will replace the word “number” with the word “term”
Dividing Polynomials
1. Divide front terms
2. Multiply this term by the divisor
206

---

3. Change the sign of the terms and combine
4. Bring down the next term
5. Repeat
Step number 3 tends to be the one that students skip, not changing the signs of
the terms would be equivalent to adding instead of subtracting on long division
with whole numbers. Be sure not to miss this step! This process is illustrated in
the following two examples.
Example 259.
3x3 − 5x2 − 32x + 7
Rewrite problem as long division
x − 4
3x3
x − 4|3x3 − 5x2 − 32x + 7
Divide front terms:
= 3x2
x
3x2
x − 4|3x3 − 5x2 − 32x + 7
Multiply this term by divisor: 3x2(x − 4) = 3x3 − 12x2
− 3x3 + 12x2
Change the signs and combine
7x2 − 32x
Bring down the next term
7x2
3x2 + 7x
Repeat, divide front terms:
= 7x
x
x − 4|3x3 − 5x2 − 32x + 7
− 3x3 + 12x2
7x2 − 32x
Multiply this term by divisor: 7x(x − 4) = 7x2 − 28x
− 7x2 + 28x
Change the signs and combine
− 4x + 7
Bring down the next term
− 4x
3x2 + 7x − 4
Repeat, divide front terms:
= − 4
x
x − 4|3x3 − 5x2 − 32x + 7
− 3x3 + 12x2
7x2 − 32x
− 7x2 + 28x
− 4x + 7
Multiply this term by divisor: − 4(x − 4) = − 4x + 16
+ 4x − 16
Change the signs and combine
− 9
Remainder put over divisor and subtracted (due to negative)
207

---

9
3x2 + 7x − 4 −
Our Solution
x − 4
Example 260.
6x3 − 8x2 + 10x + 103
Rewrite problem as long division
2x + 4
6x3
2x + 4|6x3 − 8x2 + 10x + 103
Divide front terms:
= 3x2
2x
3x2
2x + 4|6x3 − 8x2 + 10x + 103
Multiply term by divisor: 3x2(2x + 4) = 6x3 + 12x2
− 6x3 − 12x2
Change the signs and combine
− 20x2 + 10x
Bring down the next term
3x2 − 10x
− 20x2
2x + 4|6x3 − 8x2 + 10x + 103
Repeat, divide front terms:
= − 10x
2x
− 6x3 − 12x2
Multiply this term by divisor:
− 20x2 + 10x
− 10x(2x + 4) = − 20x2 − 40x
+ 20x2 + 40x
Change the signs and combine
50x + 103
Bring down the next term
3x2 − 10x + 25
50x
2x + 4|6x3 − 8x2 + 10x + 103
Repeat, divide front terms:
= 25
2x
− 6x3 − 12x2
− 20x2 + 10x
+ 20x2 + 40x
50x + 103
Multiply this term by divisor: 25(2x + 4) = 50x + 100
− 50x − 100
Change the signs and combine
3
Remainder is put over divsor and added (due to positive)
3
3x2 − 10x + 25 +
Our Solution
2x + 4
In both of the previous example the dividends had the exponents on our variable
counting down, no exponent skipped, third power, second power, first power, zero
power (remember x0 = 1 so there is no variable on zero power). This is very
important in long division, the variables must count down and no exponent can
be skipped. If they don’t count down we must put them in order. If an exponent
is skipped we will have to add a term to the problem, with zero for its coefficient.
This is demonstrated in the following example.
208

---

Example 261.
2x3 + 42 − 4x
Reorder dividend, need x2 term, add 0x2 for this
x + 3
2x3
x + 3|2x3 + 0x2 − 4x + 42
Divide front terms:
= 2x2
x
2x2
x + 3|2x3 + 0x2 − 4x + 42
Multiply this term by divisor: 2x2(x + 3) = 2x3 + 6x2
− 2x3 − 6x2
Change the signs and combine
− 6x2 − 4x
Bring down the next term
2x2 − 6x
− 6x2
x + 3|2x3 + 0x2 − 4x + 42
Repeat, divide front terms:
= − 6x
x
− 2x3 − 6x2
− 6x2 − 4x
Multiply this term by divisor: − 6x(x + 3) = − 6x2 − 18x
+ 6x2 + 18x
Change the signs and combine
14x + 42
Bring down the next term
2x2 − 6x + 14
14x
x + 3|2x3 + 0x2 − 4x + 42
Repeat, divide front terms:
= 14
x
− 2x3 − 6x2
− 6x2 − 4x
+ 6x2 + 18x
14x + 42
Multiply this term by divisor: 14(x + 3) = 14x + 42
− 14x − 42
Change the signs and combine
0
No remainder
2x2 − 6x + 14
Our Solution
It is important to take a moment to check each problem to verify that the expo-
nents count down and no exponent is skipped. If so we will have to adjust the
problem. Also, this final example illustrates, just as in regular long division,
sometimes we have no remainder in a problem.
World View Note: Paolo Ruffini was an Italian Mathematician of the early
19th century. In 1809 he was the first to describe a process called synthetic divi-
sion which could also be used to divide polynomials.
209

---

5.7 Practice - Divide Polynomials
Divide.
1) 20x4 + x3 + 2x2
2) 5x4 + 45x3 + 4x2
4x3
9x
3) 20n4 + n3 + 40n2
4) 3k3 + 4k2 + 2k
10n
8k
5) 12x4 + 24x3 + 3x2
6) 5p4 + 16p3 + 16p2
6x
4p
7) 10n4 + 50n3 + 2n2
10n2
8) 3m4 + 18m3 + 27m2
9m2
9) x2 − 2x − 71
x + 8
10) r2 − 3r − 53
r − 9
11) n2 + 13n + 32
n + 5
12) b2 − 10b + 16
b − 7
13) v2 − 2v − 89
v − 10
14) x2 + 4x − 26
x + 7
15) a2 − 4a − 38
a − 8
16) x2 − 10x + 22
x − 4
17) 45p2 + 56p + 19
9p + 4
18) 48k2 − 70k + 16
6k − 2
19) 10x2 − 32x + 9
10x − 2
20) n2 + 7n + 15
n + 4
21) 4r2 − r − 1
4r + 3
22) 3m2 + 9m − 9
3m − 3
23) n2 − 4
n − 2
24) 2x2 − 5x − 8
2x + 3
25) 27b2 + 87b + 35
3b + 8
26) 3v2 − 32
3v − 9
27) 4x2 − 33x + 28
4x − 5
28) 4n2 − 23n − 38
4n + 5
29) a3 + 15a2 + 49a − 55
a + 7
30) 8k3 − 66k2 + 12k + 37
k − 8
31) x3 − 26x − 41
x + 4
32) x3 − 16x2 + 71x − 56
x − 8
33) 3n3 + 9n2 − 64n − 68
n + 6
34) k3 − 4k2 − 6k + 4
k − 1
35) x3 − 46x + 22
x + 7
36) 2n3 + 21n2 + 25n
2n + 3
37) 9p3 + 45p2 + 27p − 5
9p + 9
38) 8m3 − 57m2 + 42
8m + 7
39) r3 − r2 − 16r + 8
r − 4
40) 2x3 + 12x2 + 4x − 37
2x + 6
41) 12n3 + 12n2 − 15n − 4
2n + 3
42) 24b3 − 38b2 + 29b − 60
4b − 7
43) 4v3 − 21v2 + 6v + 19
4v + 3
210

---

Chapter 6 : Factoring
6.1 Greatest Common Factor .......................................................................212
6.2 Grouping ................................................................................................216
6.3 Trinomials where a =1 ...........................................................................221
6.4 Trinomials where a
1 .........................................................................226

6.5 Factoring Special Products ....................................................................229
6.6 Factoring Strategy .................................................................................234
6.7 Solve by Factoring .................................................................................237
211

---

6.1
Factoring - Greatest Common Factor
Objective: Find the greatest common factor of a polynomial and factor
it out of the expression.
The opposite of multiplying polynomials together is factoring polynomials. There
are many benifits of a polynomial being factored. We use factored polynomials to
help us solve equations, learn behaviors of graphs, work with fractions and more.
Because so many concepts in algebra depend on us being able to factor polyno-
mials it is very important to have very strong factoring skills.
In this lesson we will focus on factoring using the greatest common factor or GCF
of a polynomial. When we multiplied polynomials, we multiplied monomials by
polynomials by distributing, solving problems such as 4x2(2x2 − 3x + 8) = 8x4 −
12x3 + 32x. In this lesson we will work the same problem backwards. We will
start with 8x2 − 12x3 + 32x and try and work backwards to the 4x2(2x − 3x + 8).
To do this we have to be able to first identify what is the GCF of a polynomial.
We will first introduce this by looking at finding the GCF of several numbers. To
find a GCF of sevearal numbers we are looking for the largest number that can be
divided by each of the numbers. This can often be done with quick mental math
and it is shown in the following example
Example 262.
Find the GCF of 15, 24, and 27
15
24
27
= 5,
= 6,
= 9
Each of the numbers can be divided by 3
3
3
3
GCF = 3
Our Solution
When there are variables in our problem we can first find the GCF of the num-
212

---

bers using mental math, then we take any variables that are in common with each
term, using the lowest exponent. This is shown in the next example
Example 263.
GCF of 24x4y2z, 18x2y4, and 12x3yz5
24
18
12
= 4,
= 3,
= 2
Each number can be divided by 6
6
6
6
x2y
x and y are in all 3, using lowest exponets
GCF = 6x2y
Our Solution
To factor out a GCF from a polynomial we first need to identify the GCF of all
the terms, this is the part that goes in front of the parenthesis, then we divide
each term by the GCF, the answer is what is left inside the parenthesis. This is
shown in the following examples
Example 264.
4x2 − 20x + 16
GCF is 4, divide each term by 4
4x2
− 20x
16
= x2,
= − 5x,
= 4
This is what is left inside the parenthesis
4
4
4
4(x2 − 5x + 4)
Our Solution
With factoring we can always check our solutions by multiplying (distributing in
this case) out the answer and the solution should be the original equation.
Example 265.
25x4 − 15x3 + 20x2
GCF is 5x2, divide each term by this
25x4
− 15x3
20x2
= 5x2,
= − 3x,
= 4
This is what is left inside the parenthesis
5x2
5x2
5x2
5x2(5x2 − 3x + 4)
Our Solution
Example 266.
3x3y2z + 5x4y3z5 − 4xy4
GCF is xy2, divide each term by this
213

---

3x3y2z
5x4y3z5
− 4xy4
= 3x2z,
= 5x3yz5,
= − 4y2
This is what is left in parenthesis
xy2
xy2
xy2
xy2(3x2z + 5x3yz5 − 4y2)
Our Solution
World View Note: The first recorded algorithm for finding the greatest
common factor comes from Greek mathematician Euclid around the year 300 BC!
Example 267.
21x3 + 14x2 + 7x
GCF is 7x, divide each term by this
21x3
14x2
7x
= 3x2,
= 2x,
= 1
This is what is left inside the parenthesis
7x
7x
7x
7x(3x2 + 2x + 1)
Our Solution
It is important to note in the previous example, that when the GCF was 7x and
7x was one of the terms, dividing gave an answer of 1. Students often try to
factor out the 7x and get zero which is incorrect, factoring will never make terms
dissapear. Anything divided by itself is 1, be sure to not forget to put the 1 into
the solution.
Often the second line is not shown in the work of factoring the GCF. We can
simply identify the GCF and put it in front of the parenthesis as shown in the fol-
lowing two examples.
Example 268.
12x5y2 − 6x4y4 + 8x3y5
GCF is 2x3y2, put this in front of parenthesis and divide
2x3y2(6x2 − 3xy2 + 4y3)
Our Solution
Example 269.
18a4 b3 − 27a3b3 + 9a2b3
GCF is 9a2b3, divide each term by this
9a2b3(2a2 − 3a + 1)
Our Solution
Again, in the previous problem, when dividing 9a2b3 by itself, the answer is 1, not
zero. Be very careful that each term is accounted for in your final solution.
214

---

6.1 Practice - Greatest Common Factor
Factor the common factor out of each expression.
1) 9 + 8b2
2) x − 5
3) 45x2 − 25
4) 1 + 2n2
5) 56 − 35p
6) 50x − 80y
7) 7ab − 35a2b
8) 27x2y5 − 72x3y2
10) 8x3y2 + 4x3
9) − 3a2b + 6a3b2
12) − 32n9 + 32n6 + 40n5
11) − 5x2 − 5x3 − 15x4
14) 21p6 + 30p2 + 27
13) 20x4 − 30x + 30
16) − 10x4 + 20x2 + 12x
15) 28m4 + 40m3 + 8
18) 27y7 + 12y2x + 9y2
17) 30b9 + 5ab − 15a2
20) 30m6 + 15mn2 − 25
19) − 48a2b2 − 56a3b − 56a5b
22) 3p + 12q − 15q2r2
21) 20x8y2z2 + 15x5y2z + 35x3y3z
24) 30y4z3x5 + 50y4z5 − 10y4z3x
23) 50x2y + 10y2 + 70xz2
26) 28b + 14b2 + 35b3 + 7b5
25) 30qpr − 5qp + 5q
28) 30a8 + 6a5 + 27a3 + 21a2
27) − 18n5 + 3n3 − 21n + 3
30) − 24x6 − 4x4 + 12x3 + 4x2
29) − 40x11 − 20x12 + 50x13 − 50x14
32) − 10y7 + 6y10 − 4y10x − 8y8x
31) − 32mn8 + 4m6n + 12mn4 + 16mn
215

---

6.2
Factoring - Grouping
Objective: Factor polynomials with four terms using grouping.
The first thing we will always do when factoring is try to factor out a GCF. This
GCF is often a monomial like in the problem 5x y + 10xz the GCF is the mono-
mial 5x, so we would have 5x(y + 2z). However, a GCF does not have to be a
monomial, it could be a binomial. To see this, consider the following two example.
Example 270.
3ax − 7bx
Both have x in common, factor it out
x(3a − 7b)
Our Solution
Now the same problem, but instead of x we have (2a + 5b).
Example 271.
3a(2a + 5b) − 7b(2a + 5b)
Both have (2a + 5b) in common, factor it out
(2a + 5b)(3a − 7b)
Our Solution
In the same way we factored out a GCF of x we can factor out a GCF which is a
binomial, (2a + 5b). This process can be extended to factor problems where there
is no GCF to factor out, or after the GCF is factored out, there is more factoring
that can be done. Here we will have to use another strategy to factor. We will use
a process known as grouping. Grouping is how we will factor if there are four
terms in the problem. Remember, factoring is like multiplying in reverse, so first
we will look at a multiplication problem and then try to reverse the process.
Example 272.
(2a + 3)(5b + 2)
Distribute (2a + 3) into second parenthesis
5b(2a + 3) + 2(2a + 3)
Distribute each monomial
10ab + 15b + 4a + 6
Our Solution
The solution has four terms in it. We arrived at the solution by looking at the
two parts, 5b(2a + 3) and 2(2a + 3). When we are factoring by grouping we will
always divide the problem into two parts, the first two terms and the last two
terms. Then we can factor the GCF out of both the left and right sides. When we
do this our hope is what is left in the parenthesis will match on both the left and
right. If they match we can pull this matching GCF out front, putting the rest in
parenthesis and we will be factored. The next example is the same problem
worked backwards, factoring instead of multiplying.
216

---

Example 273.
10ab + 15b + 4a + 6
Split problem into two groups
10ab + 15b + 4a + 6
GCF on left is 5b, on the right is 2
5b(2a + 3) + 2(2a + 3)
(2a + 3) is the same! Factor out this GCF
(2a + 3)(5b + 2)
Our Solution
The key for grouping to work is after the GCF is factored out of the left and
right, the two binomials must match exactly. If there is any difference between
the two we either have to do some adjusting or it can’t be factored using the
grouping method. Consider the following example.
Example 274.
6x2 + 9xy − 14x − 21y
Split problem into two groups
6x2 + 9xy − 14x − 21y
GCF on left is 3x, on right is 7
3x(2x + 3y) + 7( − 2x − 3y)
The signs in the parenthesis don′t match!
when the signs don’t match on both terms we can easily make them match by fac-
toring the opposite of the GCF on the right side. Instead of 7 we will use − 7.
This will change the signs inside the second parenthesis.
3x(2x + 3y) − 7(2x + 3y)
(2x + 3y) is the same! Factor out this GCF
(2x + 3y)(3x − 7)
Our Solution
Often we can recognize early that we need to use the opposite of the GCF when
factoring. If the first term of the first binomial is positive in the problem, we will
also want the first term of the second binomial to be positive. If it is negative
then we will use the opposite of the GCF to be sure they match.
Example 275.
5xy − 8x − 10y + 16
Split the problem into two groups
5xy − 8x − 10y + 16
GCF on left is x, on right we need a negative,
so we use − 2
x(5y − 8) − 2(5y − 8)
(5y − 8) is the same! Factor out this GCF
(5y − 8)(x − 2)
Our Solution
217

---

Sometimes when factoring the GCF out of the left or right side there is no GCF
to factor out. In this case we will use either the GCF of 1 or − 1. Often this is all
we need to be sure the two binomials match.
Example 276.
12ab − 14a − 6b + 7
Split the problem into two groups
12ab − 14a − 6b + 7
GCF on left is 2a, on right, no GCF, use − 1
2a(6b − 7) − 1(6b − 7)
(6b − 7) is the same! Factor out this GCF
(6b − 7)(2a − 1)
Our Solution
Example 277.
6x3 − 15x2 + 2x − 5
Split problem into two groups
6x3 − 15x2 + 2x − 5
GCF on left is 3x2, on right, no GCF, use 1
3x2(2x − 5) + 1(2x − 5)
(2x − 5) is the same! Factor out this GCF
(2x − 5)(3x2 + 1)
Our Solution
Another problem that may come up with grouping is after factoring out the GCF
on the left and right, the binomials don’t match, more than just the signs are dif-
ferent. In this case we may have to adjust the problem slightly. One way to do
this is to change the order of the terms and try again. To do this we will move
the second term to the end of the problem and see if that helps us use grouping.
Example 278.
4a2 − 21b3 + 6ab − 14ab2
Split the problem into two groups
4a2 − 21b3 + 6ab − 14ab2
GCF on left is 1, on right is 2ab
1(4a2 − 21b3) + 2ab(3 − 7b)
Binomials don′t match! Move second term to end
4a2 + 6ab − 14ab2 − 21b3
Start over, split the problem into two groups
4a2 + 6ab − 14ab2 − 21b3
GCF on left is 2a, on right is − 7b2
2a(2a + 3b) − 7b2(2a + 3b)
(2a + 3b) is the same! Factor out this GCF
(2a + 3b)(2a − 7b2)
Our Solution
When rearranging terms the problem can still be out of order. Sometimes after
factoring out the GCF the terms are backwards. There are two ways that this can
happen, one with addition, one with subtraction. If it happens with addition, for
218

---

example the binomials are (a + b) and (b + a), we don’t have to do any extra
work. This is because addition is the same in either order (5 + 3 = 3 + 5 = 8).
Example 279.
7 + y − 3xy − 21x
Split the problem into two groups
7 + y − 3xy − 21x
GCF on left is 1, on the right is − 3x
1(7 + y) − 3x(y + 7)
y + 7 and 7 + y are the same, use either one
(y + 7)(1 − 3x)
Our Solution
However, if the binomial has subtraction, then we need to be a bit more careful.
For example, if the binomials are (a − b) and (b − a), we will factor out the oppo-
site of the GCF on one part, usually the second. Notice what happens when we
factor out − 1.
Example 280.
(b − a)
Factor out − 1
− 1( − b + a)
Addition can be in either order, switch order
− 1(a − b)
The order of the subtraction has been switched!
Generally we won’t show all the above steps, we will simply factor out the oppo-
site of the GCF and switch the order of the subtraction to make it match the
other binomial.
Example 281.
8xy − 12y + 15 − 10x
Split the problem into two groups
8xy − 12y 15 − 10x
GCF on left is 4y, on right, 5
4y(2x − 3) + 5(3 − 2x)
Need to switch subtraction order, use − 5 in middle
4y(2y − 3) − 5(2x − 3)
Now 2x − 3 match on both! Factor out this GCF
(2x − 3)(4y − 5)
Our Solution
World View Note: Sofia Kovalevskaya of Russia was the first woman on the
editorial staff of a mathematical journal in the late 19th century. She also did
research on how the rings of Saturn rotated.
219

---

6.2 Practice - Grouping
Factor each completely.
1) 40r3 − 8r2 − 25r + 5
2) 35x3 − 10x2 − 56x + 16
3) 3n3 − 2n2 − 9n + 6
4) 14v3 + 10v2 − 7v − 5
5) 15b3 + 21b2 − 35b − 49
6) 6x3 − 48x2 + 5x − 40
7) 3x3 + 15x2 + 2x + 10
8) 28p3 + 21p2 + 20p + 15
9) 35x3 − 28x2 − 20x + 16
10) 7n3 + 21n2 − 5n − 15
11) 7xy − 49x + 5y − 35
12) 42r3 − 49r2 + 18r − 21
13) 32xy + 40x2 + 12y + 15x
14) 15ab − 6a + 5b3 − 2b2
15) 16xy − 56x + 2y − 7
16) 3mn − 8m + 15n − 40
17) 2xy − 8x2 + 7y3 − 28y2x
18) 5mn + 2m − 25n − 10
19) 40xy + 35x − 8y2 − 7y
20) 8xy + 56x − y − 7
21) 32uv − 20u + 24v − 15
22) 4uv + 14u2 + 12v + 42u
23) 10xy + 30 + 25x + 12y
24) 24xy + 25y2 − 20x − 30y3
25) 3uv + 14u − 6u2 − 7v
26) 56ab + 14 − 49a − 16b
27) 16xy − 3x − 6x2 + 8y
220

---

6.3
Factoring - Trinomials where a = 1
Objective: Factor trinomials where the coefficient of x2 is one.
Factoring with three terms, or trinomials, is the most important type of factoring
to be able to master. As factoring is multiplication backwards we will start with a
multipication problem and look at how we can reverse the process.
Example 282.
(x + 6)(x − 4)
Distribute (x + 6) through second parenthesis
x(x + 6) − 4(x + 6)
Distribute each monomial through parenthesis
x2 + 6x − 4x − 24
Combine like terms
x2 + 2x − 24
Our Solution
You may notice that if you reverse the last three steps the process looks like
grouping. This is because it is grouping! The GCF of the left two terms is x and
the GCF of the second two terms is − 4. The way we will factor trinomials is to
make them into a polynomial with four terms and then factor by grouping. This
is shown in the following example, the same problem worked backwards
Example 283.
x2 + 2x − 24
Split middle term into + 6x − 4x
x2 + 6x − 4x − 24
Grouping: GCF on left is x, on right is − 4
x(x + 6) − 4(x + 6)
(x + 6) is the same, factor out this GCF
(x + 6)(x − 4)
Our Solution
The trick to make these problems work is how we split the middle term. Why did
we pick + 6x − 4x and not + 5x − 3x? The reason is because 6x − 4x is the only
combination that works! So how do we know what is the one combination that
works? To find the correct way to split the middle term we will use what is called
the ac method. In the next lesson we will discuss why it is called the ac method.
The way the ac method works is we find a pair of numers that multiply to a cer-
tain number and add to another number. Here we will try to multiply to get the
last term and add to get the coefficient of the middle term. In the previous
221

---

example that would mean we wanted to multiply to − 24 and add to + 2. The
only numbers that can do this are 6 and − 4 (6 · − 4 = − 24 and 6 + ( − 4) = 2).
This process is shown in the next few examples
Example 284.
x2 + 9x + 18
Want to multiply to 18, add to 9
x2 + 6x + 3x + 18
6 and 3, split the middle term
x(x + 6) + 3(x + 6)
Factor by grouping
(x + 6)(x + 3)
Our Solution
Example 285.
x2 − 4x + 3
Want to multiply to 3, add to − 4
x2 − 3x − x + 3
− 3 and − 1, split the middle term
x(x − 3) − 1(x − 3)
Factor by grouping
(x − 3)(x − 1)
Our Solution
Example 286.
x2 − 8x − 20
Want to multiply to − 20, add to − 8
x2 − 10x + 2x − 20
− 10 and 2, split the middle term
x(x − 10) + 2(x − 10)
Factor by grouping
(x − 10)(x + 2)
Our Solution
Often when factoring we have two variables. These problems solve just like prob-
lems with one variable, using the coefficients to decide how to split the middle
term
Example 287.
a2 − 9ab + 14b2
Want to multiply to 14, add to − 9
a2 − 7ab − 2ab + 14b2
− 7 and − 2, split the middle term
a(a − 7b) − 2b(a − 7b)
Factor by grouping
(a − 7b)(a − 2b)
Our Solution
222

---

As the past few examples illustrate, it is very important to be aware of negatives
as we find the pair of numbers we will use to split the middle term. Consier the
following example, done incorrectly, ignoring negative signs
Warning 288.
x2 + 5x − 6
Want to multiply to 6, add 5
x2 + 2x + 3x − 6
2 and 3, split the middle term
x(x + 2) + 3(x − 2)
Factor by grouping
???
Binomials do not match!
Because we did not use the negative sign with the six to find our pair of numbers,
the binomials did not match and grouping was not able to work at the end. Now
the problem will be done correctly.
Example 289.
x2 + 5x − 6
Want to multiply to − 6, add to 5
x2 + 6x − x − 6
6 and − 1, split the middle term
x(x + 6) − 1(x + 6)
Factor by grouping
(x + 6)(x − 1)
Our Solution
You may have noticed a shortcut for factoring these problems. Once we identify
the two numbers that are used to split the middle term, these are the two num-
bers in our factors! In the previous example, the numbers used to split the middle
term were 6 and − 1, our factors turned out to be (x + 6)(x − 1). This pattern
does not always work, so be careful getting in the habit of using it. We can use it
however, when we have no number (technically we have a 1) in front of x2. In all
the problems we have factored in this lesson there is no number in front of x2. If
this is the case then we can use this shortcut. This is shown in the next few
examples.
Example 290.
x2 − 7x − 18
Want to multiply to − 18, add to − 7
− 9 and 2, write the factors
(x − 9)(x + 2)
Our Solution
223

---

Example 291.
m2 − mn − 30n2
Want to multiply to − 30, add to − 1
5 and − 6, write the factors, don′t forget second variable
(m + 5n)(m − 6n)
Our Solution
It is possible to have a problem that does not factor. If there is no combination of
numbers that multiplies and adds to the correct numbers, then we say we cannot
factor the polynomial, or we say the polynomial is prime. This is shown in the fol-
lowing example.
Example 292.
x2 + 2x + 6
Want to multiply to 6, add to 2
1 · 6 and 2 · 3
Only possibilities to multiply to six, none add to 2
Prime, can′t factor
Our Solution
When factoring it is important not to forget about the GCF. If all the terms in a
problem have a common factor we will want to first factor out the GCF before we
factor using any other method.
Example 293.
3x2 − 24x + 45
GCF of all terms is 3, factor this out
3(x2 − 8x + 15)
Want to multiply to 15, add to − 8
− 5 and − 3, write the factors
3(x − 5)(x − 3)
Our Solution
Again it is important to comment on the shortcut of jumping right to the factors,
this only works if there is no coefficient on x2. In the next lesson we will look at
how this process changes slightly when we have a number in front of x2. Be
careful not to use this shortcut on all factoring problems!
World View Note: The first person to use letters for unknown values was Fran-
cois Vieta in 1591 in France. He used vowels to represent variables we are solving
for, just as codes used letters to represent an unknown message.
224

---

6.3 Practice - Trinomials where a = 1
Factor each completely.
1) p2 + 17p + 72
2) x2 + x − 72
3) n2 − 9n + 8
4) x2 + x − 30
5) x2 − 9x − 10
6) x2 + 13x + 40
7) b2 + 12b + 32
8) b2 − 17b + 70
9)
10) x2 + 3x
x2 + 3x − 70
− 18
12) a2 − 6a − 27
11) n2 − 8n + 15
14) p2 + 7p − 30
13) p2 + 15p + 54
16) m2 − 15mn + 50n2
15) n2 − 15n + 56
18) m2 − 3mn − 40n2
17) u2 − 8uv + 15v2
20) x2 + 10xy + 16y2
19) m2 + 2mn − 8n2
22) u2 − 9uv + 14v2
21) x2 − 11xy + 18y2
24) x2 + 14xy + 45y2
23) x2 + xy − 12y2
26) 4x2 + 52x + 168
25) x2 + 4xy − 12y2
28) 5n2 − 45n + 40
27) 5a2 + 60a + 100
30) 5v2 + 20v − 25
29) 6a2 + 24a − 192
32) 5m2 + 30mn − 90n2
31) 6x2 + 18xy + 12y2
34) 6m2 − 36mn − 162n2
33) 6x2 + 96xy + 378y2
225

---

6.4
Factoring - Trinomials where a
1

Objective: Factor trinomials using the ac method when the coefficient
of x2 is not one.
When factoring trinomials we used the ac method to split the middle term and
then factor by grouping. The ac method gets it’s name from the general trinomial
equation, a x2 + b x + c, where a, b, and c are the numbers in front of x2,
x and the constant at the end respectively.
World View Note: It was French philosopher Rene Descartes who first used let-
ters from the beginning of the alphabet to represent values we know (a, b, c) and
letters from the end to represent letters we don’t know and are solving for (x, y,
z).
The ac method is named ac because we multiply a · c to find out what we want to
multiply to. In the previous lesson we always multiplied to just c because there
was no number in front of x2. This meant the number was 1 and we were multi-
plying to 1c or just c. Now we will have a number in front of x2 so we will be
looking for numbers that multiply to ac and add to b. Other than this, the pro-
cess will be the same.
Example 294.
3x2 + 11x + 6
Multiply to ac or (3)(6) = 18, add to 11
3x2 + 9x + 2x + 6
The numbers are 9 and 2, split the middle term
3x(x + 3) + 2(x + 3)
Factor by grouping
(x + 3)(3x + 2)
Our Solution
When a = 1, or no coefficient in front of x2, we were able to use a shortcut, using
the numbers that split the middle term in the factors. The previous example illus-
trates an important point, the shortcut does not work when a
1. We must go

through all the steps of grouping in order to factor the problem.
Example 295.
8x2 − 2x − 15
Multiply to ac or (8)( − 15) = − 120, add to − 2
8x2 − 12x + 10x − 15
The numbers are − 12 and 10, split the middle term
4x(2x − 3) + 5(2x − 3)
Factor by grouping
(2x − 3)(4x + 5)
Our Solution
226

---

Example 296.
10x2 − 27x + 5
Multiply to ac or (10)(5) = 50, add to − 27
10x2 − 25x − 2x + 5
The numbers are − 25 and − 2, split the middle term
5x(2x − 5) − 1(2x − 5)
Factor by grouping
(2x − 5)(5x − 1)
Our Solution
The same process works with two variables in the problem
Example 297.
4x2 − xy − 5y2
Multiply to ac or (4)( − 5) = − 20, add to − 1
4x2 + 4xy − 5xy − 5y2
The numbers are 4 and − 5, split the middle term
4x(x + y) − 5y(x + y)
Factor by grouping
(x + y)(4x − 5y)
Our Solution
As always, when factoring we will first look for a GCF before using any other
method, including the ac method. Factoring out the GCF first also has the added
bonus of making the numbers smaller so the ac method becomes easier.
Example 298.
18x3 + 33x2 − 30x
GCF = 3x, factor this out first
3x[6x2 + 11x − 10]
Multiply to ac or (6)( − 10) = − 60, add to 11
3x[6x2 + 15x − 4x − 10]
The numbers are 15 and − 4, split the middle term
3x[3x(2x + 5) − 2(2x + 5)]
Factor by grouping
3x(2x + 5)(3x − 2)
Our Solution
As was the case with trinomials when a = 1, not all trinomials can be factored. If
there is no combinations that multiply and add correctly then we can say the tri-
nomial is prime and cannot be factored.
Example 299.
3x2 + 2x − 7
Multiply to ac or (3)( − 7) = − 21, add to 2
− 3(7) and − 7(3)
Only two ways to multiply to − 21, it doesn′t add to 2
Prime, cannot be factored
Our Solution
227

---

6.4 Practice - Trinomials where a
1

Factor each completely.
1) 7x2 − 48x + 36
2) 7n2 − 44n + 12
3) 7b2 + 15b + 2
4) 7v2 − 24v − 16
5) 5a2 − 13a − 28
6) 5n2 − 4n − 20
7) 2x2 − 5x + 2
8) 3r2 − 4r − 4
9) 2x2 + 19x + 35
10) 7x2 + 29x − 30
11) 2b2 − b − 3
12) 5k2 − 26k + 24
13) 5k2 + 13k + 6
14) 3r2 + 16r + 21
15) 3x2 − 17x + 20
16) 3u2 + 13uv − 10v2
17) 3x2 + 17xy + 10y2
18) 7x2 − 2xy − 5y2
19) 5x2 + 28xy − 49y2
20) 5u2 + 31uv − 28v2
21) 6x2 − 39x − 21
22) 10a2 − 54a − 36
23) 21k2 − 87k − 90
24) 21n2 + 45n − 54
25) 14x2 − 60x + 16
26) 4r2 + r − 3
27) 6x2 + 29x + 20
28) 6p2 + 11p − 7
29) 4k2 − 17k + 4
30) 4r2 + 3r − 7
31) 4x2 + 9xy + 2y2
32) 4m2 + 6mn + 6n2
33) 4m2 − 9mn − 9n2
34) 4x2 − 6xy + 30y2
35) 4x2 + 13xy + 3y2
36) 18u2 − 3uv − 36v2
37) 12x2 + 62xy + 70y2
38) 16x2 + 60xy + 36y2
39) 24x2 − 52xy + 8y2
40) 12x2 + 50xy + 28y2
228

---

6.5
Factoring - Factoring Special Products
Objective: Identify and factor special products including a difference of
squares, perfect squares, and sum and difference of cubes.
When factoring there are a few special products that, if we can recognize them,
can help us factor polynomials. The first is one we have seen before. When multi-
plying special products we found that a sum and a difference could multiply to a
difference of squares. Here we will use this special product to help us factor
Difference of Squares: a2 − b2 = (a + b)(a − b)
If we are subtracting two perfect squares then it will always factor to the sum and
difference of the square roots.
Example 300.
x2 − 16
Subtracting two perfect squares, the square roots are x and 4
(x + 4)(x − 4)
Our Solution
Example 301.
9a2 − 25b2
Subtracting two perfect squares, the square roots are 3a and 5b
(3a + 5b)(3a − 5b)
Our Solution
It is important to note, that a sum of squares will never factor. It is always
prime. This can be seen if we try to use the ac method to factor x2 + 36.
Example 302.
x2 + 36
No bx term, we use 0x.
x2 + 0x + 36
Multiply to 36, add to 0
1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6
No combinations that multiply to 36 add to 0
Prime, cannot factor
Our Solution
229

---

It turns out that a sum of squares is always prime.
Sum of Squares: a2 + b2 = Prime
A great example where we see a sum of squares comes from factoring a difference
√
of 4th powers. Because the square root of a fourth power is a square ( a4 = a2),
we can factor a difference of fourth powers just like we factor a difference of
squares, to a sum and difference of the square roots. This will give us two factors,
one which will be a prime sum of squares, and a second which will be a difference
of squares which we can factor again. This is shown in the following examples.
Example 303.
a4 − b4
Difference of squares with roots a2 and b2
(a2 + b2)(a2 − b2)
The first factor is prime, the second is a difference of squares!
(a2 + b2)(a + b)(a − b)
Our Solution
Example 304.
x4 − 16
Difference of squares with roots x2 and 4
(x2 + 4)(x2 − 4)
The first factor is prime, the second is a difference of squares!
(x2 + 4)(x + 2)(x − 2)
Our Solution
Another factoring shortcut is the perfect square. We had a shortcut for multi-
plying a perfect square which can be reversed to help us factor a perfect square
Perfect Square: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
A perfect square can be difficult to recognize at first glance, but if we use the ac
method and get two of the same numbers we know we have a perfect square.
Then we can just factor using the square roots of the first and last terms and the
sign from the middle. This is shown in the following examples.
Example 305.
x2 − 6x + 9
Multiply to 9, add to − 6
The numbers are − 3 and − 3, the same! Perfect square
(x − 3)2
Use square roots from first and last terms and sign from the middle
230

---

Example 306.
4x2 + 20xy + 25y2
Multiply to 100, add to 20
The numbers are 10 and 10, the same! Perfect square
(2x + 5y)2
Use square roots from first and last terms and sign from the middle
World View Note: The first known record of work with polynomials comes
from the Chinese around 200 BC. Problems would be written as “three sheafs of a
good crop, two sheafs of a mediocre crop, and one sheaf of a bad crop sold for 29
dou. This would be the polynomial (trinomial) 3x + 2y + z = 29.
Another factoring shortcut has cubes. With cubes we can either do a sum or a
difference of cubes. Both sum and difference of cubes have very similar factoring
formulas
Sum of Cubes: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Difference of Cubes: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Comparing the formulas you may notice that the only difference is the signs in
between the terms. One way to keep these two formulas straight is to think of
SOAP. S stands for Same sign as the problem. If we have a sum of cubes, we add
first, a difference of cubes we subtract first. O stands for Opposite sign. If we
have a sum, then subtraction is the second sign, a difference would have addition
for the second sign. Finally, AP stands for Always Positive. Both formulas end
with addition. The following examples show factoring with cubes.
Example 307.
m3 − 27
We have cube roots m and 3
(m 3)(m2 3m 9)
Use formula, use SOAP to fill in signs
(m − 3)(m2 + 3m + 9)
Our Solution
Example 308.
125p3 + 8r3
We have cube roots 5p and 2r
(5p 2r)(25p2 10r 4r2)
Use formula, use SOAP to fill in signs
(5p + 2r)(25p2 − 10r + 4r2)
Our Solution
The previous example illustrates an important point. When we fill in the trino-
mial’s first and last terms we square the cube roots 5p and 2r. Often students
forget to square the number in addition to the variable. Notice that when done
correctly, both get cubed.
231

---

Often after factoring a sum or difference of cubes, students want to factor the
second factor, the trinomial further. As a general rule, this factor will always be
prime (unless there is a GCF which should have been factored out before using
cubes rule).
The following table sumarizes all of the shortcuts that we can use to factor special
products
Factoring Special Products
Difference of Squares
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Sum of Squares
a2 + b2 = Prime
Perfect Square
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Sum of Cubes
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Difference of Cubes
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
As always, when factoring special products it is important to check for a GCF
first. Only after checking for a GCF should we be using the special products.
This is shown in the following examples
Example 309.
72x2 − 2
GCF is 2
2(36x2 − 1)
Difference of Squares, square roots are 6x and 1
2(6x + 1)(6x − 1)
Our Solution
Example 310.
48x2y − 24xy + 3y
GCF is 3y
3y(16x2 − 8x + 1)
Multiply to 16 add to 8
The numbers are 4 and 4, the same! Perfect Square
3y(4x − 1)2
Our Solution
Example 311.
128a4b2 + 54ab5
GCF is 2ab2
2ab2(64a3 + 27b3)
Sum of cubes! Cube roots are 4a and 3b
2ab2(4a + 3b)(16a2 − 12ab + 9b2)
Our Solution
232

---

6.5 Practice - Factoring Special Products
Factor each completely.
1) r2 − 16
2) x2 − 9
3) v2 − 25
4) x2 − 1
5) p2 − 4
6) 4v2 − 1
7) 9k2 − 4
8) 9a2 − 1
9) 3x2 − 27
10) 5n2 − 20
11) 16x2 − 36
12) 125x2 + 45y2
13) 18
14) 4m2 + 64n2
a2 − 50b2
16) k2 + 4k + 4
15) a2 − 2a + 1
18) n2 − 8n + 16
17) x2 + 6x + 9
20) k2 − 4k + 4
19) x2 − 6x + 9
22) x2 + 2x + 1
21) 25p2 − 10p + 1
24) x2 + 8xy + 16y2
23) 25a2 + 30ab + 9b2
26) 18m2 − 24mn + 8n2
25) 4a2 − 20ab + 25b2
28) 20x2 + 20xy + 5y2
27) 8x2 − 24xy + 18y2
30) x3 + 64
29) 8 − m3
32) x3 + 8
31) x3 − 64
34) 125x3 − 216
33) 216 − u3
36) 64x3 − 27
35) 125a3 − 64
38) 32m3 − 108n3
37) 64x3 + 27y3
40) 375m3 + 648n3
39) 54x3 + 250y3
42) x4 − 256
41) a4 − 81
44) n4 − 1
43) 16 − z4
46) 16a4 − b4
45) x4 − y4
48) 81c4 − 16d4
47) m4 − 81b4
233

---

6.6
Factoring - Factoring Strategy
Objective: Idenfity and use the correct method to factor various poly-
nomials.
With so many different tools used to factor, it is easy to get lost as to which tool
to use when. Here we will attempt to organize all the different factoring types we
have seen. A large part of deciding how to solve a problem is based on how many
terms are in the problem. For all problem types we will always try to factor out
the GCF first.
Factoring Strategy (GCF First!!!!!)
•
2 terms: sum or difference of squares or cubes:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
a2 + b2 = Prime
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
•
3 terms: ac method, watch for perfect square!
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Multiply to ac and add to b
•
4 terms: grouping
We will use the above strategy to factor each of the following examples. Here the
emphasis will be on which strategy to use rather than the steps used in that
method.
Example 312.
4x2 + 56xy + 196y2
GCF first, 4
4(x2 + 14xy + 49y2)
Three terms, try ac method, multiply to 49, add to 14
7 and 7, perfect square!
234

---

4(x + 7y)2
Our Solution
Example 313.
5x 2y + 15xy − 35x2 − 105x
GCF first, 5x
5x(xy + 3y − 7x − 21)
Four terms, try grouping
5x[y(x + 3) − 7(x + 3)]
(x + 3) match!
5x(x + 3)(y − 7)
Our Solution
Example 314.
100x2 − 400
GCF first, 100
100(x2 − 4)
Two terms, difference of squares
100(x + 4)(x − 4)
Our Solution
Example 315.
108x3y2 − 39x2y2 + 3xy2
GCF first, 3xy2
3xy2(36x2 − 13x + 1)
Thee terms, ac method, multiply to 36, add to − 13
3xy2(36x2 − 9x − 4x + 1)
− 9 and − 4, split middle term
3xy2[9x(4x − 1) − 1(4x − 1)]
Factor by grouping
3xy2(4x − 1)(9x − 1)
Our Solution
World View Note: Variables originated in ancient Greece where Aristotle would
use a single capital letter to represent a number.
Example 316.
5 + 625y3
GCF first, 5
5(1 + 125y3)
Two terms, sum of cubes
5(1 + 5y)(1 − 5y + 25y2)
Our Solution
It is important to be comfortable and confident not just with using all the fac-
toring methods, but decided on which method to use. This is why practice is very
important!
235

---

6.6 Practice - Factoring Strategy
Factor each completely.
1) 24az − 18ah + 60yz − 45yh
2) 2x2 − 11x + 15
3) 5u2 − 9uv + 4v2
4) 16x2 + 48xy + 36y2
5) − 2x3 + 128y3
6) 20uv − 60u3 − 5xv + 15xu2
7) 5n3 + 7n2 − 6n
8) 2x3 + 5x2y + 3y2x
9) 54u3 − 16
10) 54 − 128x3
11) n2 − n
12) 5x2 − 22x − 15
13) x2 − 4xy + 3y2
14) 45u2 − 150uv + 125v2
15) 9x2 − 25y2
16) x3 − 27y3
17) m2 − 4n2
18) 12ab − 18a + 6nb − 9n
19) 36b2c − 16xd − 24b2d + 24xc
20) 3m3 − 6m2n − 24n2m
21) 128 + 54x3
22) 64m3 + 27n3
23) 2x3 + 6x2y − 20y2x
24) 3ac + 15ad2 + x2c + 5x2d2
25) n3 + 7n2 + 10n
26) 64m3 − n3
27) 27x3 − 64
28) 16a2 − 9b2
29) 5x2 + 2x
30) 2x2 − 10x + 12
31) 3k3 − 27k2 + 60k
32) 32x2 − 18y2
33) mn − 12x + 3m − 4xn
34) 2k2 + k − 10
35) 16x2 − 8xy + y2
36) v2 + v
37) 27m2 − 48n2
38) x3 + 4x2
39) 9x3 + 21x2y − 60y2x
40) 9n3 − 3n2
41) 2m2 + 6mn − 20n2
42) 2u2v2 − 11uv3 + 15v4
236

---

6.7
Factoring - Solve by Factoring
Objective: Solve quadratic equation by factoring and using the zero
product rule.
When solving linear equations such as 2x − 5 = 21 we can solve for the variable
directly by adding 5 and dividing by 2 to get 13. However, when we have x2 (or a
higher power of x) we cannot just isolate the variable as we did with the linear
equations. One method that we can use to solve for the varaible is known as the
zero product rule
Zero Product Rule: If ab = 0 then either a = 0 or b = 0
The zero product rule tells us that if two factors are multiplied together and the
answer is zero, then one of the factors must be zero. We can use this to help us
solve factored polynomials as in the following example.
Example 317.
(2x − 3)(5x + 1) = 0
One factor must be zero
2x − 3 = 0 or 5x + 1 = 0
Set each factor equal to zero
+ 3 + 3
− 1 − 1
Solve each equation
2x = 3 or 5x = − 1
2
2
5
5
3
− 1
x =
or
Our Solution
2
5
For the zero product rule to work we must have factors to set equal to zero. This
means if the problem is not already factored we will factor it first.
Example 318.
4x2 + x − 3 = 0
Factor using the ac method, multiply to − 12, add to 1
4x2 − 3x + 4x − 3 = 0
The numbers are − 3 and 4, split the middle term
x(4x − 3) + 1(4x − 3) = 0
Factor by grouping
(4x − 3)(x + 1) = 0
One factor must be zero
4x − 3 = 0 or x + 1 = 0
Set each factor equal to zero
237

---

+ 3 + 3
− 1 − 1
Solve each equation
4x = 3 or x = − 1
4
4
3
x =
or − 1
Our Solution
4
Another important part of the zero product rule is that before we factor, the
equation must equal zero. If it does not, we must move terms around so it does
equal zero. Generally we like the x2 term to be positive.
Example 319.
x2 = 8x − 15
Set equal to zero by moving terms to the left
− 8x + 15 − 8x + 15
x2 − 8x + 15 = 0
Factor using the ac method, multiply to 15, add to − 8
(x − 5)(x − 3) = 0
The numbers are − 5 and − 3
x − 5 = 0 or x − 3 = 0
Set each factor equal to zero
+ 5 + 5
+ 3 + 3
Solve each equation
x = 5 or x = 3
Our Solution
Example 320.
(x − 7)(x + 3) = − 9
Not equal to zero, multiply first, use FOIL
x2 − 7x + 3x − 21 = − 9
Combine like terms
x2 − 4x − 21 = − 9
Move − 9 to other side so equation equals zero
+ 9
+ 9
x2 − 4x − 12 = 0
Factor using the ac method, mutiply to − 12, add to − 4
(x − 6)(x + 2) = 0
The numbers are 6 and − 2
x − 6 = 0 or x + 2 = 0
Set each factor equal to zero
+ 6 + 6
− 2 − 2
Solve each equation
x = 6 or − 2
Our Solution
Example 321.
3x2 + 4x − 5 = 7x2 + 4x − 14
Set equal to zero by moving terms to the right
− 3x2 − 4x + 5 − 3x2 − 4x + 5
0 = 4x2 − 9
Factor using difference of squares
238

---

0 = (2x + 3)(2x − 3)
One factor must be zero
2x + 3 = 0 or 2x − 3 = 0
Set each factor equal to zero
− 3 − 3
+ 3 + 3
Solve each equation
2x = − 3 or 2x = 3
2
2
2
2
− 3
3
x =
or
Our Solution
2
2
Most problems with x2 will have two unique solutions. However, it is possible to
have only one solution as the next example illustrates.
Example 322.
4x2 = 12x − 9
Set equal to zero by moving terms to left
− 12x + 9 − 12x + 9
4x2 − 12x + 9 = 0
Factor using the ac method, multiply to 36, add to − 12
(2x − 3)2 = 0
− 6 and − 6, a perfect square!
2x − 3 = 0
Set this factor equal to zero
+ 3 + 3
Solve the equation
2x = 3
2
2
3
x =
Our Solution
2
As always it will be important to factor out the GCF first if we have one. This
GCF is also a factor and must also be set equal to zero using the zero product
rule. This may give us more than just two solution. The next few examples illus-
trate this.
Example 323.
4x2 = 8x
Set equal to zero by moving the terms to left
− 8x − 8x
Be careful, on the right side, they are not like terms!
4x2 − 8x = 0
Factor out the GCF of 4x
4x(x − 2) = 0
One factor must be zero
4x = 0 or x − 2 = 0
Set each factor equal to zero
4
4
+ 2 + 2
Solve each equation
x = 0 or 2
Our Solution
239

---

Example 324.
2x3 − 14x2 + 24x = 0
Factor out the GCF of 2x
2x(x2 − 7x + 12) = 0
Factor with ac method, multiply to 12, add to − 7
2x(x − 3)(x − 4) = 0
The numbers are − 3 and − 4
2x = 0 or x − 3 = 0 or x − 4 = 0
Set each factor equal to zero
2
2
+ 3 + 3
+ 4 + 4
Solve each equation
x = 0 or 3 or 4
Our Solutions
Example 325.
6x2 + 21x − 27 = 0
Factor out the GCF of 3
3(2x2 + 7x − 9) = 0
Factor with ac method, multiply to − 18, add to 7
3(2x2 + 9x − 2x − 9) = 0
The numbers are 9 and − 2
3[x(2x + 9) − 1(2x + 9)] = 0
Factor by grouping
3(2x + 9)(x − 1) = 0
One factor must be zero
3 = 0 or 2x + 9 = 0 or x − 1 = 0
Set each factor equal to zero
3
0
− 9 − 9
+ 1 + 1
Solve each equation

2x = − 9 or x = 1
2
2
9
x = −
or 1
Our Solution
2
In the previous example, the GCF did not have a variable in it. When we set this
factor equal to zero we got a false statement. No solutions come from this factor.
Often a student will skip setting the GCF factor equal to zero if there is no vari-
ables in the GCF.
Just as not all polynomials cannot factor, all equations cannot be solved by fac-
toring. If an equation does not factor we will have to solve it using another
method. These other methods are saved for another section.
World View Note: While factoring works great to solve problems with x2,
Tartaglia, in 16th century Italy, developed a method to solve problems with x3.
He kept his method a secret until another mathematician, Cardan, talked him out
of his secret and published the results. To this day the formula is known as
Cardan’s Formula.
A question often asked is if it is possible to get rid of the square on the variable
by taking the square root of both sides. While it is possible, there are a few prop-
erties of square roots that we have not covered yet and thus it is common to
break a rule of roots that we are not aware of at this point. The short reason we
want to avoid this for now is because taking a square root will only give us one of
the two answers. When we talk about roots we will come back to problems like
these and see how we can solve using square roots in a method called completing
the square. For now, never take the square root of both sides!
240

---

6.7 Practice - Solve by Factoring
Solve each equation by factoring.
1) (k − 7)(k + 2) = 0
2) (a + 4)(a − 3) = 0
3) (x − 1)(x + 4) = 0
4) (2x + 5)(x − 7) = 0
5) 6x2 − 150 = 0
6) p2 + 4p − 32 = 0
7) 2n2 + 10n − 28 = 0
8) m2 − m − 30 = 0
10) 40r2
9) 7x2 + 26x + 15 = 0
− 285r − 280 = 0
12) 2b2 − 3b − 2 = 0
11) 5n2 − 9n − 2 = 0
14) v2 − 8v − 3 = − 3
13) x2 − 4x − 8 = − 8
16) a2 − 6a + 6 = − 2
15) x2 − 5x − 1 = − 5
18) 7k2 + 57k + 13 = 5
17) 49p2 + 371p − 163 = 5
20) 4n2 − 13n + 8 = 5
19) 7 2
x + 17x − 20 = − 8
22) 7m2 − 224 = 28m
21) 7r2 + 84 = − 49r
24) 7n2 − 28n = 0
23) x2 − 6x = 16
26) 6b2 = 5 + 7b
25) 3v2 + 7v = 40
28) 9n2 + 39n = − 36
27) 35x2 + 120x = − 45
30) a2 + 7a − 9 = − 3 + 6a
29) 4k2 + 18k − 23 = 6k − 7
32) x2 + 10x + 30 = 6
31) 9x2 − 46 + 7x = 7x + 8x2 + 3
34) 5n2 + 41n + 40 = − 2
33) 2m2 + 19m + 40 = − 2m
36) 24x2 + 11x − 80 = 3x
35) 40p2 + 183p − 168 = p + 5p2
241

---

Chapter 7 : Rational Expressions
7.1 Reduce Rational Expressions ..................................................................243
7.2 Multiply and Divide ................................................................................248
7.3 Least Common Denominator ..................................................................253
7.4 Add and Subtract ...................................................................................257
7.5 Complex Fractions ..................................................................................262
7.6 Proportions .............................................................................................268
7.7 Solving Rational Equations ....................................................................274
7.8 Application: Dimensional Analysis .........................................................279
242

---

7.1
Rational Expressions - Reduce Rational Expressions
Objective: Reduce rational expressions by dividing out common fac-
tors.
Rational expressions are expressions written as a quotient of polynomials.
Examples of rational expressions include:
x2 − x − 12
3
a − b
3
and
and
and
x2 − 9x + 20
x − 2
b − a
2
As rational expressions are a special type of fraction, it is important to remember
with fractions we cannot have zero in the denominator of a fraction. For this
reason, rational expressions may have one more excluded values, or values that
the variable cannot be or the expression would be undefined.
Example 326.
x2 − 1
State the excluded value(s):
Denominator cannot be zero
3x2 + 5x
3x2 + 5x
0
Factor

x(3x + 5)
0
Set each factor not equal to zero

x
0 or 3x + 5
0
Subtract 5 from second equation


− 5 − 5
3x
− 5
Divide by 3

3
3
− 5
x
Second equation is solved

3
− 5
x
0 or
Our Solution

3
This means we can use any value for x in the equation except for 0 and − 5. We
3
243

---

can however, evaluate any other value in the expression.
World View Note: The number zero was not widely accepted in mathematical
thought around the world for many years. It was the Mayans of Central America
who first used zero to aid in the use of their base 20 system as a place holder!
Rational expressions are easily evaluated by simply substituting the value for the
variable and using order of operations.
Example 327.
x2 − 4
when x = − 6
Substitute − 5 in for each variable
x2 + 6x + 8
( − 6)2 − 4
Exponents first
( − 6)2 + 6( − 6) + 8
36 − 4
Multiply
36 + 6( − 6) + 8
36 − 4
Add and subtract
36 − 36 + 8
32
Reduce
8
4
Our Solution
Just as we reduced the previous example, often a rational expression can be
reduced, even without knowing the value of the variable. When we reduce we
divide out common factors. We have already seen this with monomials when we
discussed properties of exponents. If the problem only has monomials we can
reduce the coefficients, and subtract exponents on the variables.
Example 328.
15x4y2
Reduce , subtract exponents. Negative exponents move to denominator
25x2y6
3x2
Our Solution
5y4
244

---

However, if there is more than just one term in either the numerator or denomi-
nator, we can’t divide out common factors unless we first factor the numerator
and denominator.
Example 329.
28
Denominator has a common factor of 8
8x2 − 16
28
Reduce by dividing 24 and 8 by 4
8(x2 − 2)
7
Our Solution
2(x2 − 2)
Example 330.
9x − 3
Numerator has a common factor of 3, denominator of 6
18x − 6
3(3x − 1)
Divide out common factor (3x − 1) and divide 3 and 6 by 3
6(3x − 1)
1
Our Solution
2
Example 331.
x2 − 25
Numerator is difference of squares, denominator is factored using ac
x2 + 8x + 15
(x + 5)(x − 5)
Divide out common factor (x + 5)
(x + 3)(x + 5)
x − 5
Our Solution
x + 3
It is important to remember we cannot reduce terms, only factors. This means if
there are any + or − between the parts we want to reduce we cannot. In the pre-
vious example we had the solution x − 5, we cannot divide out the x’s because
x + 3
they are terms (separated by + or − ) not factors (separated by multiplication).
245

---

7.1 Practice - Reduce Rational Expressions
Evaluate
1) 4v + 2 when v = 4
2) b − 3 when b = − 2
6
3b − 9
3)
x − 3
when x = − 4
4)
a + 2
when a = − 1
x2 − 4x + 3
a2 + 3a + 2
5)
b + 2
when b = 0
6) n2 − n − 6 when n = 4
b2 + 4b + 4
n − 3
State the excluded values for each.
7) 3k2 + 30k
8)
27p
k + 10
18p2 − 36p
9)
15n2
10) x + 10
10n + 25
8x2 + 80x
11) 10m2 + 8m
12) 10x + 16
10m
6x + 20
13) r2 + 3r + 2
14) 6n2 − 21n
5r + 10
6n2 + 3n
15) b2 + 12b + 32
16) 10v2 + 30v
b2 + 4b − 32
35v2 − 5v
Simplify each expression.
17) 21x2
18) 12n
18x
4n2
19) 24a
20) 21k
40a2
24k2
21) 32x3
22) 90x2
20x
8x4
23) 18m − 24
24)
10
81n3 + 36n2
60
25)
20
26) n − 9
9n − 81
4p + 2
28) 28m + 12
27)
x + 1
36
x2 + 8x + 7
30) 49r + 56
29)
32x2
56r
28x2 + 28x
32) b2 + 14b + 48
b2 + 15b + 56
31) n2 + 4n − 12
n2 − 7n + 10
34) 30x − 90
50x + 40
33)
9v + 54
v2 − 4v − 60
36) k2 − 12k + 32
k2 − 64
35) 12x2 − 42x
30x2 − 42x
38) 9p + 18
p2 + 4p + 4
37) 6a − 10
10a + 4
40) 3x2 − 29x + 40
5x2 − 30x − 80
39) 2n2 + 19n − 10
9n + 90
246

---

41) 8m + 16
42)
56x − 48
20m − 12
24x2 + 56x + 32
43) 2x2 − 10x + 8
44) 50b − 80
3x2 − 7x + 4
50b + 20
45) 7n2 − 32n + 16
46) 35v + 35
4n − 16
21v + 7
47) n2 − 2n + 1
48)
56x − 48
6n + 6
24x2 + 56x + 32
49) 7a2 − 26a − 45
50) 4k3 − 2k2 − 2k
6a2 − 34a + 20
9k3 − 18k2 + 9k
247

---

7.2
Rational Expressions - Multiply & Divide
Objective: Multiply and divide rational expressions.
Multiplying and dividing rational expressions is very similar to the process we use
to multiply and divide fractions.
Example 332.
15 14
·
First reduce common factors from numerator and denominator (15 and 7)
49 45
1 2
·
Multiply numerators across and denominators across
7 3
2
Our Solution
21
The process is identical for division with the extra first step of multiplying by the
reciprocal. When multiplying with rational expressions we follow the same pro-
cess, first divide out common factors, then multiply straight across.
248

---

Example 333.
25x2 24y4
Reduce coefficients by dividing out common factors (3 and 5)
·
9y8
55x7
Reduce, subtracting exponents, negative exponents in denominator
5
8
·
Multiply across
3y4 11x5
40
Our Solution
33x5y4
Division is identical in process with the extra first step of multiplying by the
reciprocal.
Example 334.
a4b2
b4
÷
Multiply by the reciprocal
a
4
a4b2
4
·
Subtract exponents on variables, negative exponents in denominator
a
b4
a3
4
·
Multiply across
1 b2
4a3
Our Solution
b2
Just as with reducing rational expressions, before we reduce a multiplication
problem, it must be factored first.
Example 335.
x2 − 9
x2 − 8x + 16
·
Factor each numerator and denominator
x2 + x − 20
3x + 9
(x + 3)(x − 3) (x − 4)(x − 4)
·
Divide out common factors (x + 3) and (x − 4)
(x − 4)(x + 5)
3(x + 3)
x − 3 x − 4
·
Multiply across
x + 5
3
249

---

(x − 3)(x − 4)
Our Solution
3(x + 5)
Again we follow the same pattern with division with the extra first step of multi-
plying by the reciprocal.
Example 336.
x2 − x − 12
5x2 + 15x
÷
Multiply by the reciprocal
x2 − 2x − 8
x2 + x − 2
x2 − x − 12 x2 + x − 2
·
Factor each numerator and denominator
x2 − 2x − 8 5x2 + 15x
(x − 4)(x + 3) (x + 2)(x − 1)
·
Divide out common factors:
(x + 2)(x − 4)
5x(x + 3)
(x − 4) and (x + 3) and (x + 2)
1 x − 1
·
Multiply across
1
5x
x − 1
Our Solution
5x
We can combine multiplying and dividing of fractions into one problem as shown
below. To solve we still need to factor, and we use the reciprocal of the divided
fraction.
Example 337.
a2 + 7a + 10
a + 1
a − 1
·
÷
Factor each expression
a2 + 6a + 5
a2 + 4a + 4
a + 2
(a + 5)(a + 2)
(a + 1)
(a − 1)
·
÷
Reciprocal of last fraction
(a + 5)(a + 1) (a + 2)(a + 2)
(a + 2)
(a + 5)(a + 2)
(a + 1)
(a + 2)
·
·
Divide out common factors
(a + 5)(a + 1) (a + 2)(a + 2) (a − 1)
(a + 2), (a + 2), (a + 1), (a + 5)
1
Our Solution
a − 1
World View Note: Indian mathematician Aryabhata, in the 6th century, pub-
lished a work which included the rational expression n(n + 1)(n + 2) for the sum of
6
the first n squares (11 + 22 + 32 +
. + n2)
 
250

---

7.2 Practice - Multiply and Divide
Simplify each expression.
1) 8x2 · 9
2) 8x ÷ 4
9
2
3x
7
3) 9n · 7
4) 9m · 7
2n
5n
5m2
2
5) 5x2 · 6
6) 10p ÷ 8
4
5
5
10
7) 7 (m − 6) · 5m(7m − 5)
8)
7
÷
n − 2
10(n + 3)
(n + 3)(n − 2)
m − 6
7(7m − 5)
9)
7r
÷ r − 6
10) 6x(x + 4) · (x − 3)(x − 6)
x
7
6x(x
r(r + 10)
(r − 6)2
− 3
− 6)
11) 25n + 25 ·
4
12)
9
÷ b −5
5
30
b2
b2
n + 30
− b − 12
− b − 12
13) x − 10 ÷
7
14) v − 1 ·
4
4
v2
35x + 21
35x + 21
− 11v + 10
15) x2 − 6x − 7 · x + 5
16)
1
· 8a + 80
a − 6
8
x + 5
x − 7
18)
p − 8
17)
8k
÷
1
÷ 1
p2 − 12p + 32
p − 10
24k2 − 40k
15k − 25
19) (n − 8) ·
6
20) x2 − 7x + 10 · x + 10
x
x2
10
− 2
n − 80
− x − 20
21) 4m + 36 · m − 5
22) 2r ÷ 2r
r + 6
7r + 42
m + 9
5m2
23) 3x − 6 (x + 3)
24) 2n2 − 12n − 54 ÷ (2n + 6)
12x − 24
n + 7
25)
b + 2
(5b − 3)
26) 21v2 + 16v − 16 ÷ 35v − 20
40b2 − 24b
3v + 4
v − 9
27) n − 7 ·
12 − 6n
28) x2 + 11x + 24 · 6x3 + 6x2
6n − 12
n2 − 13n + 42
6x3 + 18x2
x2 + 5x − 24
29) 27a + 36 ÷ 6a + 8
30)
k − 7
· 7k2 − 28k
9a + 63
2
k2 − k − 12
8k2 − 56k
31) x2 − 12x + 32 · 7x2 + 14x
32) 9x3 + 54x2 · x2 + 5x − 14
x2 − 6x − 16
7x2 + 21x
x2 + 5x − 14
10x2
33) (10m2 + 100m) · 18m3 − 36m2
34)
n − 7
÷ 9n + 54
20m2 − 40m
n2 − 2n − 35
10n + 50
35) 7p2 + 25p + 12 ·
3p − 8
36) 7x2 − 66x + 80 ÷ 7x2 + 39x − 70
6p + 48
21p2 − 44p − 32
49x2 + 7x − 72
2
49x + 7x − 72
37)
10b2
· 30b + 20
38) 35n2 − 12n − 32
30b + 20
2b2 + 10b
· 7n2 + 16n − 15
49n2 − 91n + 40
5n + 4
39) 7r2 − 53r − 24 ÷ 49r + 21
40)
12x + 24
· 15x + 21
7r + 2
49r + 14
10x2 + 34x + 28
5
251

---

41) x2 − 1 · x2 − 4 ÷ x2 + x − 2
42)
a3 + b3
·
3a − 6b
÷ a2 − 4b2
2x − 4
x2 − x − 2
3x − 6
a2 + 3ab + 2b2
3a2 − 3ab + 3b2
a + 2b
43) x2 + 3x + 9 · x2 +2x − 8 ÷ x2 − 4
44) x2 + 3x − 10 · 2x2 − x − 3 ÷ 8x+ 20
x2 + x − 12
x3 − 27
x2 − 6x + 9
x2 + 6x + 5
2x2 + x − 6
6x + 15
252

---

7.3
Rational Expressions - Least Common Denominators
Objective: Idenfity the least common denominator and build up
denominators to match this common denominator.
As with fractions, the least common denominator or LCD is very important to
working with rational expressions. The process we use to find the LCD is based
on the process used to find the LCD of intergers.
Example 338.
Find the LCD of 8 and 6
Consider multiples of the larger number
8, 16, 24 .
24 is the first multiple of 8 that is also divisible by 6
 
24
Our Solution
When finding the LCD of several monomials we first find the LCD of the coeffi-
cients, then use all variables and attach the highest exponent on each variable.
Example 339.
Find the LCD of 4x2y5 and 6x4y3z6
First find the LCD of coefficients 4 and 6
12
12 is the LCD of 4 and 6
x4y5z6
Use all variables with highest exponents on each variable
12x4y5z6
Our Solution
The same pattern can be used on polynomials that have more than one term.
However, we must first factor each polynomial so we can identify all the factors to
be used (attaching highest exponent if necessary).
Example 340.
Find the LCD of x2 + 2x − 3 and x2 − x − 12
Factor each polynomial
(x − 1)(x + 3) and (x − 4)(x + 3)
LCD uses all unique factors
(x − 1)(x + 3)(x − 4)
Our Solution
Notice we only used (x + 3) once in our LCD. This is because it only appears as a
factor once in either polynomial. The only time we need to repeat a factor or use
an exponent on a factor is if there are exponents when one of the polynomials is
factored
253

---

Example 341.
Find the LCD of x2 − 10x + 25 and x2 − 14x + 45
Factor each polynomial
(x − 5)2 and (x − 5)(x − 9)
LCD uses all unique factors with highest exponent
(x − 5)2(x − 9)
Our Solution
The previous example could have also been done with factoring the first polyno-
mial to (x − 5)(x − 5). Then we would have used (x − 5) twice in the LCD
because it showed up twice in one of the polynomials. However, it is the author’s
suggestion to use the exponents in factored form so as to use the same pattern
(highest exponent) as used with monomials.
Once we know the LCD, our goal will be to build up fractions so they have
matching denominators. In this lesson we will not be adding and subtracting frac-
tions, just building them up to a common denominator. We can build up a frac-
tion’s denominator by multipliplying the numerator and denoinator by any factors
that are not already in the denominator.
Example 342.
5a
?
=
Idenfity what factors we need to match denominators
3a2b
6a5b3
2a3b2
3 · 2 = 6 and we need three more a′s and two more b′s
5a  2a3b2 
Multiply numerator and denominator by this
3a2b 2a3b2
10a4b2
Our Solution
6a5b3
Example 343.
x − 2
?
=
Factor to idenfity factors we need to match denominators
x + 4
x2 + 7x + 12
(x + 4)(x + 3)
(x + 3)
The missing factor
x − 2 x + 3 
Multiply numerator and denominator by missing factor,
x + 4 x + 3
FOIL numerator
x2 + x − 6
Our Solution
(x + 4)(x + 3)
254

---

As the above example illustrates, we will multiply out our numerators, but keep
our denominators factored. The reason for this is to add and subtract fractions
we will want to be able to combine like terms in the numerator, then when we
reduce at the end we will want our denominators factored.
Once we know how to find the LCD and how to build up fractions to a desired
denominator we can combine them together by finding a common denominator
and building up those fractions.
Example 344.
Build up each fraction so they have a common denominator
5a
3c
and
First identify LCD
4b3c
6a2b
12a2b3c
Determine what factors each fraction is missing
First: 3a2 Second: 2b2c
Multiply each fraction by missing factors
5a  3a2 
3c  2b2c 
and
4b3c 3a2
6a2b 2b2c
15a3
6b2c2
and
Our Solution
12a2b3c
12a2b3c
Example 345.
Build up each fraction so they have a common denominator
5x
x − 2
and
Factor to find LCD
x2 − 5x − 6
x2 + 4x + 3
(x − 6)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)
Use factors to find LCD
LCD: (x − 6)(x + 1)(x + 3)
Identify which factors are missing
First: (x + 3) Second: (x − 6)
Multiply fractions by missing factors
5x
 x + 3 
x − 2
 x − 6 
and
Multiply numerators
(x − 6)(x + 1) x + 3
(x + 1)(x + 3) x − 6
5x2 + 15x
x2 − 8x + 12
and
Our Solution
(x − 6)(x + 1)(x + 3)
(x − 6)(x + 1)(x + 3)
World View Note: When the Egyptians began working with fractions, they
expressed all fractions as a sum of unit fraction. Rather than 4, they would write
5
the fraction as the sum, 1 + 1 + 1 . An interesting problem with this system is
2
4
20
this is not a unique solution, 4 is also equal to the sum 1 + 1 + 1 + 1 .
5
3
5
6
10
255

---

7.3 Practice - Least Common Denominator
Build up denominators.
1) 3 = ?
2) a = ?
8
48
5
5a
3) a = ?
4) 5 = ?
x
x y
2x2
8x3y
5)
2
=
?
6)
4
=
?
3a3b2c
9a5b2c4
3a5b2c4
9a5b2c4
7)
2
=
?
8) x + 1 =
?
x + 4
x2 − 16
x − 3
x2 − 6x + 9
9) x − 4 =
?
10) x − 6 =
?
x + 2
x2 + 5x + 6
x + 3
x2 − 2x − 15
Find Least Common Denominators
11) 2a3, 6a4b2, 4a3b5
12) 5x2y, 25x3y5z
13) x2 − 3x, x − 3, x
14) 4x − 8, x − 2, 4
15) x + 2, x − 4
16) x, x − 7, x + 1
17) x2 − 25, x + 5
18) x2 − 9, x2 − 6x + 9
19) x2 + 3x + 2, x2 + 5x + 6
20) x2 − 7x + 10, x2 − 2x − 15, x2 + x − 6
Find LCD and build up each fraction
21) 3a , 2
22) 3x , 2
5b2 10a3b
x − 4 x + 2
23) x + 2 , x − 3
24)
5
, 2 , − 3
x − 3 x + 2
x2 − 6x x x − 6
25)
x
,
3x
26)
5x + 1
, 4
x2 − 16 x2 − 8x + 16
x2 − 3x − 10 x − 5
27) x + 1 ,
2x + 3
28)
3x + 1
,
2x
x2 − 36 x2 + 12x + 36
x2 − x − 12 x2 + 4x + 3
29)
4x
, x + 2
30)
3x
,
x − 2
,
5
x2 − x − 6 x − 3
x2 − 6x + 8 x2 + x − 20 x2 + 3x − 10
256

---

7.4
Rational Expressions - Add & Subtract
Objective: Add and subtract rational expressions with and without
common denominators.
Adding and subtracting rational expressions is identical to adding and subtracting
with integers. Recall that when adding with a common denominator we add the
numerators and keep the denominator. This is the same process used with
rational expressions. Remember to reduce, if possible, your final answer.
Example 346.
x − 4
x + 8
+
Same denominator, add numerators, combine like terms
x2 − 2x − 8
x2 − 2x − 8
2x + 4
Factor numerator and denominator
x2 − 2x − 8
2(x + 2)
Divide out (x + 2)
(x + 2)(x − 4)
2
Our Solution
x − 4
257

---

Subtraction with common denominator follows the same pattern, though the sub-
traction can cause problems if we are not careful with it. To avoid sign errors we
will first distribute the subtraction through the numerator. Then we can treat it
like an addition problem. This process is the same as “add the opposite” we saw
when subtracting with negatives.
Example 347.
6x − 12
15x − 6
−
Add the opposite of the second fraction (distribute negative)
3x − 6
3x − 6
6x − 12
− 15x + 6
+
Add numerators, combine like terms
3x − 6
3x − 6
− 9x − 6
Factor numerator and denominator
3x − 6
− 3(3x + 2)
Divide out common factor of 3
3(x − 2)
− (3x + 2)
Our Solution
x − 2
World View Note: The Rhind papyrus of Egypt from 1650 BC gives some of
the earliest known symbols for addition and subtraction, a pair of legs walking in
the direction one reads for addition, and a pair of legs walking in the opposite
direction for subtraction..
When we don’t have a common denominator we will have to find the least
common denominator (LCD) and build up each fraction so the denominators
match. The following example shows this process with integers.
Example 348.
5
1
+
The LCD is 12. Build up, multiply 6 by 2 and 4 by 3
6
4
 2 5
1 3 
+
Multiply
2 6
4 3
10
3
+
Add numerators
12
12
258

---

13
Our Solution
12
The same process is used with variables.
Example 349.
7a
4b
+
The LCD is 6a2b4. We will then build up each fraction
3a2b
6ab4
 2b3  7a
4b  a 
+
Multiply first fraction by 2b3 and second by a
2b3 3a2b
6ab4 a
14ab3
4ab
+
Add numerators, no like terms to combine
6a2b4
6a2b4
14ab3 + 4ab
Factor numerator
6a2b4
2ab(7b3 + 2)
Reduce, dividing out factors 2, a, and b
6a2b4
7b3 + 2
Our Solution
3ab3
The same process can be used for subtraction, we will simply add the first step of
adding the opposite.
Example 350.
4
7b
−
Add the opposite
5a
4a2
4
− 7b
+
LCD is 20a2. Build up denominators
5a
4a2
 4a  4
− 7b 5 
+
Multiply first fraction by 4a, second by 5
4a 5a
4a2
5
16a − 35b
Our Solution
20a2
If our denominators have more than one term in them we will need to factor first
to find the LCD. Then we build up each denominator using the factors that are
259

---

missing on each fraction.
Example 351.
6
3a
+
Factor denominators to find LCD
8a + 4
8
4(2a + 1) 8
LCD is 8(2a + 1), build up each fraction
 2 
6
3a 2a + 1 
+
Multiply first fraction by 2, second by 2a + 1
2 4(2a + 1)
8
2a + 1
12
6a2 + 3a
+
Add numerators
8(2a + 1)
8(2a + 1)
6a2 + 3a + 12
Our Solution
8(2a + 1)
With subtraction remember to add the opposite.
Example 352.
x + 1
x + 1
−
Add the opposite (distribute negative)
x − 4
x2 − 7x + 12
x + 1
− x − 1
+
Factor denominators to find LCD
x − 4
x2 − 7x + 12
x − 4 (x − 4)(x − 3)
LCD is (x − 4)(x − 3), build up each fraction
 x − 3 x + 1
− x − 1
+
Only first fraction needs to be multiplied by x − 3
x − 3 x − 4
x2 − 7x + 12
x2 − 2x − 3
− x − 1
+
Add numerators, combine like terms
(x − 3)(x − 4)
(x − 3)(x − 4)
x2 − 3x − 4
Factor numerator
(x − 3)(x − 4)
(x − 4)(x + 1)
Divide out x − 4 factor
(x − 3)(x − 4)
x + 1
Our Solution
x − 3
260

---

7.4 Practice - Add and Subtract
Add or subtract the rational expressions. Simplify your answers
whenever possible.
1)
2
+ 4
2) x2
a + 3
a + 3
− 6x − 8
x − 2
x − 2
3) t2 + 4t + 2t − 7
4)
a2 + 3a
t − 1
t − 1
−
4
a2 + 5a − 6
a2 + 5a − 6
5)
2x2 + 3
− x2 − 5x + 9
6) 3 + 4
x2 − 6x + 5
x2 − 6x + 5
x
x2
7) 5 − 5
8) 7 + 3
6r
8r
x y2
x2y
9) 8 + 5
10) x + 5 + x − 3
9t3
6t2
8
12
11) a + 2 − a − 4
12) 2a − 1 + 5a + 1
2
4
3a2
9a
13) x − 1 − 2x + 3
14) 2c − d
4x
x
− c +d
c2d
c d2
15) 5x + 3y − 3x + 4y
16)
2
+ 2
2x2y
x y2
x − 1
x + 1
17) 2z − 3z
18)
2
+ 3
z − 1
z + 1
x − 5
4x
19)
8
− 3
20)
4x
+ x
x2 − 4
x + 2
x2 − 25
x + 5
21)
t
−
5
22)
2
+
4
t − 3
4t − 12
x + 3
(x + 3)2
23)
2
− 4
24)
3a
+
9a
5x2 + 5x
3x + 3
4a − 20
6a − 30
25)
t
− y
26)
x
+ x − 5
y − t
y + t
x − 5
x
27)
x
−
2
28) 2x −
3
x2 + 5x + 6
x2 + 3x + 2
x2 − 1
x2 + 5x + 4
29)
x
−
7
30) 2x +
5
x2 + 15x + 56
x2 + 13x + 42
x2 − 9
x2 + x − 6
31)
5x
− 18
32)
4x
−
3
x2 − x − 6
x2 − 9
x2 − 2x − 3
x2 − 5x + 6
33) 2x −
4
34)
x − 1
+
x + 5
x2 − 1
x2 + 2x − 3
x2 + 3x + 2
x2 + 4x + 3
35)
x + 1
+
x + 6
36) 3x + 2 + x
x2 − 2x − 35
x2 + 7x + 10
3x + 6
4 − x2
37) 4 − a2 − a −2
38) 4y − 2 − 2
a2 − 9
3 − a
y2 − 1
y
y + 1
39)
2z
+ 3z −
3
40)
2r
+ 1 − 1
1 − 2z
2z + 1
4z2 − 1
r2 − s2
r + s
r − s
41)
2x − 3
+
3x − 1
42)
x + 2
+
4x + 5
x2 + 3x + 2
x2 + 5x + 6
x2 − 4x + 3
x2 + 4x − 5
43)
2x + 7
− 3x − 2
44)
3x − 8
+
2x − 3
x2 − 2x − 3
x2 + 6x + 5
x2 + 6x + 8
x2 + 3x + 2
261

---

7.5
Rational Expressions - Complex Fractions
Objective: Simplify complex fractions by multiplying each term by the
least common denominator.
Complex fractions have fractions in either the numerator, or denominator, or usu-
ally both. These fractions can be simplified in one of two ways. This will be illus-
trated first with integers, then we will consider how the process can be expanded
to include expressions with variables.
The first method uses order of operations to simplify the numerator and denomi-
nator first, then divide the two resulting fractions by multiplying by the recip-
rocal.
Example 353.
2 − 1
3
4
Get common denominator in top and bottom fractions
5 + 1
6
2
8 − 3
12
12
Add and subtract fractions, reducing solutions
5 + 3
6
6
5
12
To divide fractions we multiply by the reciprocal
4
3
 5  3 
Reduce
12
4
 5  1 
Multiply
4
4
5
Our Solution
16
The process above works just fine to simplify, but between getting common
denominators, taking reciprocals, and reducing, it can be a very involved process.
Generally we prefer a different method, to multiply the numerator and denomi-
nator of the large fraction (in effect each term in the complex fraction) by the
least common denominator (LCD). This will allow us to reduce and clear the
small fractions. We will simplify the same problem using this second method.
Example 354.
2 − 1
3
4
LCD is 12, multiply each term
5 + 1
6
2
262

---

2(12) − 1(12)
3
4
Reduce each fraction
5(12) + 1(12)
6
2
2(4) − 1(3)
Multiply
5(2) + 1(6)
8 − 3
Add and subtract
10 + 6
5
Our Solution
16
Clearly the second method is a much cleaner and faster method to arrive at our
solution. It is the method we will use when simplifying with variables as well. We
will first find the LCD of the small fractions, and multiply each term by this LCD
so we can clear the small fractions and simplify.
Example 355.
1 − 1x2
Identify LCD (use highest exponent)
1 − 1x
LCD = x2
Multiply each term by LCD
1(x2) − 1(x2)
x2
Reduce fractions (subtract exponents)
1(x2) − 1(x2)
x
1(x2) − 1
Multiply
1(x2) − x
x2 − 1
Factor
x2 − x
(x + 1)(x − 1)
Divide out (x − 1) factor
x(x − 1)
x + 1
Our Solution
x
The process is the same if the LCD is a binomial, we will need to distribute
3
− 2
x + 4
Multiply each term by LCD, (x + 4)
5 + 2
x + 4
263

---

3(x + 4) − 2(x + 4)
x + 4
Reduce fractions
5(x + 4) + 2(x + 4)
x + 4
3 − 2(x + 4)
Distribute
5(x + 4) + 2
3 − 2x − 8
Combine like terms
5x + 20 + 2
− 2x − 5
Our Solution
5x + 22
The more fractions we have in our problem, the more we repeat the same process.
Example 356.
2 − 3 + 1
ab2
ab3
a b
Idenfity LCD (highest exponents)
4 + ab − 1
a2b
a b
LCD = a2b3
Multiply each term by LCD
2(a2b3) − 3(a2b3) + 1(a2b3)
ab2
ab3
a b
Reduce each fraction (subtract exponents)
4(a2b3) + ab(a2b3) − 1(a2b3)
a2b
a b
2ab − 3a + ab2
Our Solution
4b2 + a3b4 − ab2
World View Note: Sophie Germain is one of the most famous women in mathe-
matics, many primes, which are important to finding an LCD, carry her name.
Germain primes are prime numbers where one more than double the prime
number is also prime, for example 3 is prime and so is 2 · 3 + 1 = 7 prime. The
largest known Germain prime (at the time of printing) is 183027 · 2265440 − 1 which
has 79911 digits!
Some problems may require us to FOIL as we simplify. To avoid sign errors, if
there is a binomial in the numerator, we will first distribute the negative through
the numerator.
Example 357.
x − 3 − x+3
x + 3
x − 3
Distribute the subtraction to numerator
x − 3 + x+3
x + 3
x − 3
x − 3 + −x −3
x + 3
x − 3
Identify LCD
x − 3 + x+3
x + 3
x − 3
264

---

LCD = (x + 3)(x − 3)
Multiply each term by LCD
(x − 3)(x + 3)(x − 3) + (−x −3)(x+3)(x −3)
x + 3
x − 3
Reduce fractions
(x − 3)(x + 3)(x − 3) + (x+3)(x+3)(x −3)
x + 3
x − 3
(x − 3)(x − 3) + ( − x − 3)(x + 3)
FOIL
(x − 3)(x − 3) + (x + 3)(x + 3)
x2 − 6x + 9 − x2 − 6x − 9
Combine like terms
x2 − 6x + 9 + x2 + 6x − 9
− 12x
Factor out 2 in denominator
2x2 + 18
− 12x
Divide out common factor 2
2(x2 + 9)
− 6x
Our Solution
x2 − 9
If there are negative exponents in an expression we will have to first convert these
negative exponents into fractions. Remember, the exponent is only on the factor
it is attached to, not the whole term.
Example 358.
m−2 + 2m−1
Make each negative exponent into a fraction
m + 4m−2
1 + 2
m2
m
Multiply each term by LCD, m2
m + 4
m2
1(m2) + 2(m2)
m2
m
Reduce the fractions
m(m2) + 4(m2)
m2
1 + 2m
Our Solution
m3 + 4
Once we convert each negative exponent into a fraction, the problem solves
exactly like the other complex fraction problems.
265

---

7.5 Practice - Complex Fractions
Solve.
1 + 1
1 − 1
1)
x
y2
2)
1 − 1
1 + 1
x2
y
a − 2
25
3)
− a
4 −
a
a
4)
a
5 + a
1
1 + 1
5) a2 − 1a
b
2
1
6)
+ 1
4
a2
a
b2 − 1
2 − 4
x
4 + 12
7)
+ 2
2x
8)
− 3
5 − 10
x + 2
5 + 15
2x − 3
3
+ 2
− 5
2a
− 3
9)
− 3
b − 5
− 6
10)
− 4
10
2a − 3
+ 6
b − 5
x
− 1
2a
x + 1
x
− 3
11)
a − 1
a
x
+ 1
12) −6
x + 1
x
− 4
a − 1
3
x
13) x
3x − 2
9
14)
x
x2
9x2 − 4
a2 − b2
1 − 1 − 6
x
15)
4a2b
16)
x2
a + b
1 − 4 + 3
16ab2
x
x2
15
1 − 3 − 10
− 1
x
x2 − 2
x
17)
x2
18)
1 + 11 + 18
4 − 5 + 4
x
x2
x2
x
1 − 2x
1 − 12
3x + 10
19)
3x − 4
20)
x − 32
x −
8
3x − 4
3x + 10
x − 1 + 2
x − 5 − 18
x
x + 2
21)
− 4
22)
x + 3 + 6
x + 7 + 6
x − 4
x + 2
266

---

x − 4 + 9
1 − 3
a
a
23)
2x + 3
24)
− 2
x + 3 − 5
2 + 5
2x + 3
a
a − 2
2
1
− 5
− 1 − 2
b
b + 3
y2
x y
x2
25)
26)
3 + 3
1
+ 2
b
b + 3
y2 − 3
xy
x2
2
x
− 5 − 3
− 1 − x+1
ab
x + 1
x − 1
27) b2
a2
28)
2
x − 1
+ 7 + 3
+ x + 1
b2
ab
a2
x + 1
x − 1
y
x + 1
− y
− 1 −x
y + 2
y − 2
x − 1
1 + x
29)
30)
y
1
+ y
+
1
y + 2
y − 2
(x + 1)2
(x − 1)2
Simplify each of the following fractional expressions.
x−2 − y−2
x−2y + xy−2
31)
32)
x−1 + y−1
x−2 − y−2
x−3y − xy−3
4 − 4x−1 + x−2
33)
34)
x−2 − y−2
4 − x−2
x−2 − 6x−1 + 9
x−3 + y−3
35)
36)
x2 − 9
x−2 − x−1y−1 + y−2
267

---

7.6
Rational Expressions - Proportions
Objective: Solve proportions using the cross product and use propor-
tions to solve application problems
When two fractions are equal, they are called a proportion. This definition can be
generalized to two equal rational expressions. Proportions have an important
property called the cross-product.
a
c
Cross Product: If
=
then ad = bc
b
d
The cross product tells us we can multiply diagonally to get an equation with no
fractions that we can solve.
Example 359.
20
x
=
Calculate cross product
6
9
268

---

(20)(9) = 6x
Multiply
180 = 6x
Divide both sides by 6
6
6
30 = x
Our Solution
World View Note: The first clear definition of a proportion and the notation
for a proportion came from the German Leibniz who wrote, “I write dy: x = dt: a;
for dy is to x as dt is to a, is indeed the same as, dy divided by x is equal to dt
divided by a. From this equation follow then all the rules of proportion.”
If the proportion has more than one term in either numerator or denominator, we
will have to distribute while calculating the cross product.
Example 360.
x + 3
2
=
Calculate cross product
4
5
5(x + 3) = (4)(2)
Multiply and distribute
5x + 15 = 8
Solve
− 15 − 15
Subtract 15 from both sides
5x = − 7
Divide both sides by 5
5
5
7
x = −
Our Solution
5
This same idea can be seen when the variable appears in several parts of the pro-
portion.
Example 361.
4
6
=
Calculate cross product
x
3x + 2
4(3x + 2) = 6x
Distribute
12x + 8 = 6x
Move variables to one side
− 12x − 12x
Subtract 12x from both sides
8 = − 6x
Divide both sides by − 6
− 6
− 6
4
− = x
Our Solution
3
269

---

Example 362.
2x − 3
2
=
Calculate cross product
7x + 4
5
5(2x − 3) = 2(7x + 4)
Distribute
10x − 15 = 14x + 8
Move variables to one side
− 10x
− 10x
Subtract 10x from both sides
− 15 = 4x + 8
Subtract 8 from both sides
− 8
− 8
− 23 = 4x
Divide both sides by 4
4
4
23
−
= x
Our Solution
4
As we solve proportions we may end up with a quadratic that we will have to
solve. We can solve this quadratic in the same way we solved quadratics in the
past, either factoring, completing the square or the quadratic formula. As with
solving quadratics before, we will generally end up with two solutions.
Example 363.
k + 3
8
=
Calculate cross product
3
k − 2
(k + 3)(k − 2) = (8)(3)
FOIL and multiply
k2 + k − 6 = 24
Make equation equal zero
− 24 − 24
Subtract 24 from both sides
k2 + k − 30 = 0
Factor
(k + 6)(k − 5) = 0
Set each factor equal to zero
k + 6 = 0 or k − 5 = 0
Solve each equation
− 6 − 6
+ 5 = 5
Add or subtract
k = − 6 or k = 5
Our Solutions
Proportions are very useful in how they can be used in many different types of
applications. We can use them to compare different quantities and make conclu-
sions about how quantities are related. As we set up these problems it is impor-
tant to remember to stay organized, if we are comparing dogs and cats, and the
number of dogs is in the numerator of the first fraction, then the numerator of the
second fraction should also refer to the dogs. This consistency of the numerator
and denominator is essential in setting up our proportions.
Example 364.
A six foot tall man casts a shadow that is 3.5 feet long. If the shadow of a flag
pole is 8 feet long, how tall is the flag pole?
shadow
We will put shadows in numerator, heights in denomintor
height
270

---

3.5
The man has a shadow of 3.5 feet and a height of 6 feet
6
8
The flagpole has a shadow of 8 feet, but we don′t know the height
x
3.5
8
=
This gives us our proportion, calculate cross product
6
x
3.5x = (8)(6)
Multiply
3.5x = 48
Divide both sides by 3.5
3.5
3.5
x = 13.7ft
Our Solution
Example 365.
In a basketball game, the home team was down by 9 points at the end of the
game. They only scored 6 points for every 7 points the visiting team scored.
What was the final score of the game?
home
We will put home in numerator, visitor in denominator
visiter
x − 9
Don′t know visitor score, but home is 9 points less
x
6
Home team scored 6 for every 7 the visitor scored
7
x − 9
6
=
This gives our proportion, calculate the cross product
x
7
7(x − 9) = 6x
Distribute
7x − 63 = 6x
Move variables to one side
− 7x
− 7x
Subtract 7x from both sides
− 63 = − x
Divide both sides by − 1
− 1 − 1
63 = x
We used x for the visitor score.
63 − 9 = 54
Subtract 9 to get the home score
63 to 54
Our Solution
271

---

7.6 Practice - Proportions
Solve each proportion.
1) 10 = 6
2) 7 = n
a
8
9
6
3) 7 = 2
4) 8 = 4
6
k
x
8
5) 6 = 8
6) n − 10 = 9
x
2
8
3
7) m − 1 = 8
8) 8 = 3
5
2
5
x − 8
9) 2 = 10
10)
9
= 3
9
p − 4
n + 2
9
11) b − 10 = b
12) 9 = r
7
4
4
r − 4
13) x = x + 2
14) n = n − 4
5
9
8
3
15) 3 = a
16) x + 1 = x + 2
10
a + 2
9
2
17) v − 5 = 4
18) n + 8 = n − 9
v + 6
9
10
4
19)
7
= 4
20) k + 5 = 8
x − 1
x − 6
k − 6
5
21) x + 5 = 6
22)
4
= x + 5
5
x − 2
x − 3
5
23) m + 3 = 11
24) x − 5 = 4
4
m − 4
8
x − 1
25)
2
= p + 5
26)
5
= n − 4
p + 4
3
n + 1
10
27) n + 4 = − 3
28)
1
= n + 2
3
n − 2
n + 3
2
29)
3
= x + 2
30) x − 5 = − 3
x + 4
5
4
x + 3
Answer each question. Round your answer to the nearest tenth. Round
dollar amounts to the nearest cent.
31) The currency in Western Samoa is the Tala. The exchange rate is
approximately S0.70 to 1 Tala. At this rate, how many dollars would you
get if you exchanged 13.3 Tala?
32) If you can buy one plantain for S0.49 then how many can you buy with
S7.84?
272

---

33) Kali reduced the size of a painting to a height of 1.3 in. What is the new
width if it was originally 5.2 in. tall and 10 in. wide?
34) A model train has a scale of 1.2 in : 2.9 ft. If the model train is 5 in tall then
how tall is the real train?
35) A bird bath that is 5.3 ft tall casts a shadow that is 25.4 ft long. Find the
length of the shadow that a 8.2 ft adult elephant casts.
36) Victoria and Georgetown are 36.2 mi from each other. How far apart would
the cities be on a map that has a scale of 0.9 in : 10.5 mi?
37) The Vikings led the Timberwolves by 19 points at the half. If the Vikings
scored 3 points for every 2 points the Timberwolves scored, what was the
half time score?
38) Sarah worked 10 more hours than Josh. If Sarah worked 7 hr for every 2 hr
Josh worked, how long did they each work?
39) Computer Services Inc. charges S8 more for a repair than Low Cost
Computer Repair. If the ratio of the costs is 3 : 6, what will it cost for the
repair at Low Cost Computer Repair?
40) Kelsey’s commute is 15 minutes longer than Christina’s. If Christina drives 12
minutes for every 17 minutes Kelsey drives, how long is each commute?
273

---

7.7
Rational Expressions - Solving Rational Equations
Objective: Solve rational equations by identifying and multiplying by
the least common denominator.
When solving equations that are made up of rational expressions we will solve
them using the same strategy we used to solve linear equations with fractions.
When we solved problems like the next example, we cleared the fraction by multi-
plying by the least common denominator (LCD)
Example 366.
2
5
3
x − =
Multiply each term by LCD, 12
3
6
4
2(12)
5(12)
3(12)
x −
=
Reduce fractions
3
6
4
2(4)x − 5(2) = 3(3)
Multiply
8x − 10 = 9
Solve
+ 10 + 10
Add 10 to both sides
8x = 19
Divide both sides by 8
8
8
19
x =
Our Solution
8
We will use the same process to solve rational equations, the only difference is our
274

---

LCD will be more involved. We will also have to be aware of domain issues. If our
LCD equals zero, the solution is undefined. We will always check our solutions in
the LCD as we may have to remove a solution from our solution set.
Example 367.
5x + 5
x2
+ 3x =
Multiply each term by LCD, (x + 2)
x + 2
x + 2
(5x + 5)(x + 2)
x2(x + 2)
+ 3x(x + 2) =
Reduce fractions
x + 2
x + 2
5x + 5 + 3x(x + 2) = x2
Distribute
5x + 5 + 3x2 + 6x = x2
Combine like terms
3x2 + 11x + 5 = x2
Make equation equal zero
− x2
− x2
Subtract x2 from both sides
2x2 + 11x + 5 = 0
Factor
(2x + 1)(x + 5) = 0
Set each factor equal to zero
2x + 1 = 0 or x + 5 = 0
Solve each equation
− 1 − 1
− 5 − 5
2x = − 1 or x = − 5
2
2
1
x = −
or − 5
Check solutions, LCD can′t be zero
2
1
3
− + 2 =
− 5 + 2 = − 3
Neither make LCD zero, both are solutions
2
2
1
x = −
or − 5
Our Solution
2
The LCD can be several factors in these problems. As the LCD gets more com-
plex, it is important to remember the process we are using to solve is still the
same.
Example 368.
x
1
5
+
=
Multiply terms by LCD, (x + 1)(x + 2)
x + 2
x + 1
(x + 1)(x + 2)
x(x + 1)(x + 2)
1(x + 1)(x + 2)
5(x + 1)(x + 2)
+
=
Reduce fractions
x + 2
x + 1
(x + 1)(x + 2)
275

---

x(x + 1) + 1(x + 2) = 5
Distribute
x2 + x + x + 2 = 5
Combine like terms
x2 + 2x + 2 = 5
Make equatino equal zero
− 5 − 5
Subtract 6 from both sides
x2 + 2x − 3 = 0
Factor
(x + 3)(x − 1) = 0
Set each factor equal to zero
x + 3 = 0 or x − 1 = 0
Solve each equation
− 3 − 3
+ 1 + 1
x = − 3 or x = 1
Check solutions, LCD can′t be zero
( − 3 + 1)( − 3 + 2) = ( − 2)( − 1) = 2
Check − 3 in (x + 1)(x + 2), it works
(1 + 1)(1 + 2) = (2)(3) = 6
Check 1 in (x + 1)(x + 2), it works
x = − 3 or 1
Our Solution
In the previous example the denominators were factored for us. More often we
will need to factor before finding the LCD
Example 369.
x
1
11
−
=
Factor denominator
x − 1
x − 2
x2 − 3x + 2
(x − 1)(x − 2)
LCD = (x − 1)(x − 2)
Identify LCD
x(x − 1)(x − 2)
1(x − 1)(x − 2)
11(x
=
− 1)(x − 2)
Multiply each term by LCD, reduce
x − 1
−
x − 2
(x − 1)(x − 2)
x(x − 2) − 1(x − 1) = 11
Distribute
x2 − 2x − x + 1 = 11
Combine like terms
x2 − 3x + 1 = 11
Make equation equal zero
− 11 − 11
Subtract 11 from both sides
x2 − 3x − 10 = 0
Factor
(x − 5)(x + 2) = 0
Set each factor equal to zero
x − 5 = 0 or x + 2 = 0
Solve each equation
+ 5 + 5
− 2 − 2
x = 5 or x = − 2
Check answers, LCD can′t be 0
(5 − 1)(5 − 2) = (4)(3) = 12
Check 5 in (x − 1)(x − 2), it works
( − 2 − 1)( − 2 − 2) = ( − 3)( − 4) = 12
Check − 2 in (x − 1)(x − 2), it works
276

---

x = 5 or − 2
Our Solution
World View Note: Maria Agnesi was the first women to publish a math text-
book in 1748, it took her over 10 years to write! This textbook covered everything
from arithmetic thorugh differential equations and was over 1,000 pages!
If we are subtracting a fraction in the problem, it may be easier to avoid a future
sign error by first distributing the negative through the numerator.
Example 370.
x − 2
x + 2
5
−
=
Distribute negative through numerator
x − 3
x + 2
8
x − 2
− x − 2
5
+
=
Identify LCD, 8(x − 3)(x + 2), multiply each term
x − 3
x + 2
8
(x − 2)8(x − 3)(x + 2)
( − x − 2)8(x − 3)(x + 2)
5 · 8(x − 3)(x + 2)
+
=
Reduce
x − 3
x + 2
8
8(x − 2)(x + 2) + 8( − x − 2)(x − 3) = 5(x − 3)(x + 2)
FOIL
8(x2 − 4) + 8( − x2 + x + 6) = 5(x2 − x − 6)
Distribute
8x2 − 32 − 8x2 + 8x + 48 = 5x2 − 5x − 30
Combine like terms
8x + 16 = 5x2 − 5x − 30
Make equation equal zero
− 8x − 16
− 8x − 16
Subtract 8x and 16
0 = 5x2 − 13x − 46
Factor
0 = (5x − 23)(x + 2)
Set each factor equal to zero
5x − 23 = 0 or x + 2 = 0
Solve each equation
+ 23 + 23
− 2 − 2
5x = 23 or x = − 2
5
5
23
x =
or − 2
Check solutions, LCD can′t be 0
5
 23
 23

 8  33 
2112
23
8
− 3
+ 2 = 8
=
Check
in 8(x − 3)(x + 2), it works
5
5
5
5
25
5
8( − 2 − 3)( − 2 + 2) = 8( − 5)(0) = 0
Check − 2 in 8(x − 3)(x + 2), can′t be 0!
23
x =
Our Solution
5
In the previous example, one of the solutions we found made the LCD zero.
When this happens we ignore this result and only use the results that make the
rational expressions defined.
277

---

7.7 Practice - Solving Rational Equations
Solve the following equations for the given variable:
1) 3x − 1 − 1 = 0
2) x + 1 = 4
2
x
x + 1
3) x + 20 = 5x − 2
4) x2 + 6 + x − 2 = 2x
x − 4
x − 4
x − 1
x − 1
5) x + 6 = 2x
6) x − 4 = 12 + 1
x − 3
x − 3
x − 1
3 − x
7)
2x
= 4x + 5 − 3
8) 6x + 5 − 2 = 3x
3x − 4
6x − 1
3x − 4
2x2 − 2x
1 − x2
x2 − 1
9)
3m
− 7
= 3
10)
4x
= 1
2
−
4
m − 5
3m + 1
2
2x − 6
5x − 15
2
11) 4 − x = 12
12)
7
+ 1 = 3
1 − x
3 − x
3 − x
2
4 − x
13)
7
− 1 = y − 2
14)
2
− 6 = 1
y − 3
2
y − 4
3 − x
8 − x
15)
1
− 1 = 3x + 8
16) x + 2 − 1 = 3x − 3
x + 2
2 − x
x2 − 4
3x − 1
x
3x2 − x
17) x + 1 − x − 1 = 5
18) x − 1 + x + 2 = 3
x − 1
x + 1
6
x − 3
x + 3
4
19)
3
+ 2x + 1 = 1 − 8x2
20) 3x − 5 + 5x − 1 − x −4 = 2
2x + 1
1 − 2x
4x2 − 1
5x − 5
7x − 7
1 − x
21) x − 2 − 1 =
1
22) x − 1 + x + 4 =
1
x + 3
x − 2
x2 + x − 6
x − 2
2x + 1
2x2 − 3x − 2
23)
3
+ x − 1 = 5x + 20
24)
x
= − 5x2
x + 2
x + 5
6x + 24
− 4
x + 3
x − 2
x2 + x − 6
25)
x
− 2 = 4x2
26) 2x + 2 =
3x
x − 1
x + 1
x2 − 1
x + 2
x − 4
x2 − 2x − 8
27) 2x − 3 = − 8x2
28)
x
− 3 = − 2x2
x + 1
x + 5
x2 + 6x + 5
x + 1
x + 3
x2 + 4x + 3
29) x − 5 + x + 3 =
− 4x2
30) x − 3 + x − 2 =
x2
x − 9
x − 3
x2 − 12x + 27
x + 6
x − 3
x2 + 3x − 18
31) x − 3 + x + 5 =
− 2x2
32) x + 3 + x − 2 =
9x2
x − 6
x + 3
x2 − 3x − 18
x − 2
x + 1
x2 − x − 2
33) 4x + 1 + 5x − 3 =
8x2
34) 3x − 1 − 2x − 3 =
− 3x2
x + 3
x − 1
x2 + 2x − 3
x + 6
x − 3
x2 + 3x − 18
278

---

7.8
Rational Expressions - Dimensional Analysis
Objective: Use dimensional analysis to preform single unit, dual unit,
square unit, and cubed unit conversions.
One application of rational expressions deals with converting units. When we con-
vert units of measure we can do so by multiplying several fractions together in a
process known as dimensional analysis. The trick will be to decide what fractions
to multiply. When multiplying, if we multiply by 1, the value of the expression
does not change. One written as a fraction can look like many different things as
long as the numerator and denominator are identical in value. Notice the numer-
ator and denominator are not identical in appearance, but rather identical in
value. Below are several fractions, each equal to one where numerator and denom-
inator are identical in value.
1
1
4
100cm
1lb
1hr
60 min
=
= 2 =
=
=
=
1
4
2
1m
16oz
60 min
1hr
4
The last few fractions that include units are called conversion factors. We can
make a conversion factor out of any two measurements that represent the same
distance. For example, 1 mile = 5280 feet. We could then make a conversion
factor 1mi because both values are the same, the fraction is still equal to one.
5280ft
Similarly we could make a conversion factor 5280ft. The trick for conversions will
1mi
279

---

be to use the correct fractions.
The idea behind dimensional analysis is we will multiply by a fraction in such a
way that the units we don’t want will divide out of the problem. We found out
when multiplying rational expressions that if a variable appears in the numerator
and denominator we can divide it out of the expression. It is the same with units.
Consider the following conversion.
Example 371.
17.37 miles to feet
Write 17.37 miles as a fraction, put it over 1
 17.37mi 
To divide out the miles we need miles in the denominator
1
 17.37mi  ??ft 
We are converting to feet, so this will go in the numerator
1
??mi
 17.37mi  5280ft 
Fill in the relationship described above, 1 mile = 5280 feet
1
1mi
 17.37  5280ft 
Divide out the miles and multiply across
1
1
91, 713.6ft
Our Solution
In the previous example, we had to use the conversion factor 5280ft so the miles
1mi
would divide out. If we had used 1mi we would not have been able to divide out
5280ft
the miles. This is why when doing dimensional analysis it is very important to
use units in the set-up of the problem, so we know how to correctly set up the
conversion factor.
Example 372.
If 1 pound = 16 ounces, how many pounds 435 ounces?
 435oz 
Write 435 as a fraction, put it over 1
1
 435oz  ?? lbs 
To divide out oz,
1
??oz
put it in the denominator and lbs in numerator
 435oz  1 lbs 
Fill in the given relationship, 1 pound = 16 ounces
1
16oz
280

---

 435  1 lbs 
435 lbs
=
Divide out oz, multiply across. Divide result
1
16
16
27.1875 lbs
Our Solution
The same process can be used to convert problems with several units in them.
Consider the following example.
Example 373.
A student averaged 45 miles per hour on a trip. What was the student’s speed in
feet per second?
 45mi 
′′per′′ is the fraction bar, put hr in denominator
hr
 45mi  5280ft 
To clear mi they must go in denominator and become ft
hr
1mi
 45mi  5280ft 
1hr

To clear hr they must go in numerator and become sec
hr
1mi
3600 sec
 45  5280ft 
1

Divide out mi and hr. Multiply across
1
1
3600 sec
237600ft
Divide numbers
3600 sec
66 ft per sec
Our Solution
If the units are two-dimensional (such as square inches - in2) or three-dimensional
(such as cubic feet - ft3) we will need to put the same exponent on the conversion
factor. So if we are converting square inches (in2) to square ft (ft2), the conversion

2
factor would be squared,
1 ft
. Similarly if the units are cubed, we will cube
12in
the convesion factor.
Example 374.
Convert 8 cubic feet to yd3
Write 8ft3 as fraction, put it over 1
 8ft3 
To clear ft, put them in denominator, yard in numerator
1
281

---

 8ft3  ??yd 3
Because the units are cubed,
1
??ft
we cube the conversion factor
 8ft3  1yd 3
Evaluate exponent, cubing all numbers and units
1
3ft
 8ft3  1yd3 
Divide out ft3
1
27ft3
 8  1yd3 
8yd3
=
Multiply across and divide
1
27
27
0.296296yd3
Our Solution
When calculating area or volume, be sure to use the units and multiply them as
well.
Example 375.
A room is 10 ft by 12 ft. How many square yards are in the room?
A = lw = (10ft)(12 ft) = 120ft2
Multiply length by width, also multiply units
 120ft2 
Write area as a fraction, put it over 1
1
 120ft2  ??yd 2
Put ft in denominator to clear,
1
??ft
square conversion factor
 120ft2  1yd 2
Evaluate exponent, squaring all numbers and units
1
3ft
 120ft2  1yd2 
Divide out ft2
1
9ft2
 120  1yd2  120yd2
=
Multiply across and divide
1
9
9
13.33yd2
Our solution
282

---

To focus on the process of conversions, a conversion sheet has been included at
the end of this lesson which includes several conversion factors for length, volume,
mass and time in both English and Metric units.
The process of dimensional analysis can be used to convert other types of units as
well. If we can identify relationships that represent the same value we can make
them into a conversion factor.
Example 376.
A child is perscribed a dosage of 12 mg of a certain drug and is allowed to refill
his prescription twice. If a there are 60 tablets in a prescription, and each tablet
has 4 mg, how many doses are in the 3 prescriptions (original + 2 refills)?
Convert 3 Rx to doses
Identify what the problem is asking
1 Rx = 60 tab, 1 tab = 4 mg, 1 dose = 12mg
Identify given conversion factors
 3Rx 
Write 3Rx as fraction, put over 1
1
 3Rx  60 tab 
Convert Rx to tab, put Rx in denominator
1
1Rx
 3Rx  60 tab  4mg 
Convert tab to mg, put tab in denominator
1
1Rx
1 tab
 3Rx  60 tab  4mg  1 dose 
Convert mg to dose, put mg in denominator
1
1Rx
1 tab
12mg
 3  60  4  1 dose 
Divide out Rx, tab, and mg, multiply across
1
1
1
12
720 dose
Divide
12
60 doses
Our Solution
World View Note: Only three countries in the world still use the English
system commercially: Liberia (Western Africa), Myanmar (between India and
Vietnam), and the USA.
283

---

Conversion Factors
Length
Area
English
Metric
English
Metric
12 in = 1 ft
1000 mm = 1 m
1 ft2 = 144 in2
1 a = 100 m2
1 yd = 3 ft
10 mm = 1 cm
1 yd2 = 9 ft2
1 ha = 100 a
1 yd = 36 in
100 cm = 1 m
1 acre = 43,560 ft2
1 mi = 5280 ft
10 dm = 1 m
640 acres = 1 mi2
1 dam = 10 m
1 hm = 100 m
English/Metric
1 km = 1000 m
1 ha = 2.47 acres
English/Metric
2.54 cm = 1 in
Weight (Mass)
1 m = 3.28 ft
English
Metric
1.61 km = 1 mi
1 lb = 16 oz
1 g = 1000 mg
1 T = 2000 lb
1 g = 100 cg
Volume
1000 g = 1 kg
1000 kg = 1 t
English
Metric
1 c = 8 oz
1 mL = 1 cc = 1 cm3
English/Metric
1 pt = 2 c
1 L = 1000 mL
28.3 g = 1 oz
1 qt = 2 pt
1 L = 100 cL
2.2 lb = 1 kg
1 gal = 4 qt
1 L = 10 dL
1000 L = 1 kL
Time
English/Metric
60 sec = 1 min
16.39 mL = 1 in3
60 min = 1 hr
1.06 qt = 1 L
3600 sec = 1 hr
3.79 L = 1gal
24 hr = 1 day
284

---

7.8 Practice - Dimensional Analysis
Use dimensional analysis to convert the following:
1) 7 mi. to yards
2) 234 oz. to tons
3) 11.2 mg to grams
4) 1.35 km to centimeters
5) 9,800,000 mm (milimeters) to miles
6) 4.5 ft2 to square yards
7) 435,000 m2 to sqaure kilometers
8) 8 km2 to square feet
9) 0.0065 km3 to cubic meters
10) 14.62 in3 to cubic centimeters
11) 5,500 cm3 to cubic yards
12) 3.5 mph (miles per hour) to feet per second
13) 185 yd. per min. to miles per hour
14) 153 ft/s (feet per second) to miles per hour
15) 248 mph to meters per second
16) 186,000 mph to kilometers per year
17) 7.50 T/yd2 (tons per square yard) to pounds per square inch
18) 16 ft/s2 to kilometers per hour squared
285

---

Use dimensional analysis to solve the following:
19) On a recent trip, Jan traveled 260 miles using 8 gallons of gas. How many
miles per 1-gallon did she travel? How many yards per 1-ounce?
20) A chair lift at the Divide ski resort in Cold Springs, WY is 4806 feet long and
takes 9 minutes. What is the average speed in miles per hour? How many feet
per second does the lift travel?
21) A certain laser printer can print 12 pages per minute. Determine this printer’s
output in pages per day, and reams per month. (1 ream = 5000 pages)
22) An average human heart beats 60 times per minute. If an average person lives
to the age of 75, how many times does the average heart beat in a lifetime?
23) Blood sugar levels are measured in miligrams of gluclose per deciliter of blood
volume. If a person’s blood sugar level measured 128 mg/dL, how much is
this in grams per liter?
24) You are buying carpet to cover a room that measures 38 ft by 40 ft. The
carpet cost S18 per square yard. How much will the carpet cost?
25) A car travels 14 miles in 15 minutes. How fast is it going in miles per hour?
in meters per second?
26) A cargo container is 50 ft long, 10 ft wide, and 8 ft tall. Find its volume in
cubic yards and cubic meters.
27) A local zoning ordinance says that a house’s “footprint” (area of its ground
floor) cannot occupy more than 1 of the lot it is built on. Suppose you own a
4
1 acre lot, what is the maximum allowed footprint for your house in square
3
feet? in square inches? (1 acre = 43560 ft2)
28) Computer memory is measured in units of bytes, where one byte is enough
memory to store one character (a letter in the alphabet or a number). How
many typical pages of text can be stored on a 700-megabyte compact disc?
Assume that one typical page of text contains 2000 characters. (1 megabyte =
1,000,000 bytes)
29) In April 1996, the Department of the Interior released a “spike flood” from the
Glen Canyon Dam on the Colorado River. Its purpose was to restore the river
and the habitants along its bank. The release from the dam lasted a week at a
rate of 25,800 cubic feet of water per second. About how much water was
released during the 1-week flood?
30) The largest single rough diamond ever found, the Cullinan diamond, weighed
3106 carats; how much does the diamond weigh in miligrams? in pounds?
(1 carat - 0.2 grams)
286

---

Chapter 8 : Radicals
8.1 Square Roots ..........................................................................................288
8.2 Higher Roots ..........................................................................................292
8.3 Adding Radicals .....................................................................................295
8.4 Multiply and Divide Radicals ................................................................298
8.5 Rationalize Denominators ......................................................................303
8.6 Rational Exponents ................................................................................310
8.7 Radicals of Mixed Index .........................................................................314
8.8 Complex Numbers ..................................................................................318
287

---

8.1
Radicals - Square Roots
Objective: Simplify expressions with square roots.
Square roots are the most common type of radical used. A square root “un-
squares” a number. For example, because 52 = 25 we say the square root of 25 is 5.
√
The square root of 25 is written as
25.
World View Note: The radical sign, when first used was an R with a line
through the tail, similar to our perscription symbol today. The R came from the
latin, “radix”, which can be translated as “source” or “foundation”. It wasn’t until
the 1500s that our current symbol was first used in Germany (but even then it
was just a check mark with no bar over the numbers!
The following example gives several square roots:
Example 377.
√
√
1 = 1
121 = 11
√
√
4 = 2
625 = 25
√
√
9 = 3
− 81 = Undefined
√
The final example,
− 81 is currently undefined as negatives have no square root.
This is because if we square a positive or a negative, the answer will be positive.
Thus we can only take square roots of positive numbers. In another lesson we will
define a method we can use to work with and evaluate negative square roots, but
for now we will simply say they are undefined.
√
Not all numbers have a nice even square root. For example, if we found
8 on
our calculator, the answer would be 2.828427124746190097603377448419... and
even this number is a rounded approximation of the square root. To be as accu-
rate as possible, we will never use the calculator to find decimal approximations of
square roots. Instead we will express roots in simplest radical form. We will do
this using a property known as the product rule of radicals
√
√
√
Product Rule of Square Roots:
a · b =
a ·
b
√
We can use the product rule to simplify an expression such as
36 · 5 by spliting
√
√
√
it into two roots,
36 · 5, and simplifying the first root, 6 5. The trick in this
288

---

√
√
process is being able to translate a problem like
180 into
36 · 5. There are sev-
eral ways this can be done. The most common and, with a bit of practice, the
fastest method, is to find perfect squares that divide evenly into the radicand, or
number under the radical. This is shown in the next example.
Example 378.
√75 75isdivisibleby25,aperfectsquare
√25·3 Splitintofactors
√
√
25 · 3
Product rule, take the square root of 25
√
5 3
Our Solution
If there is a coefficient in front of the radical to begin with, the problem merely
becomes a big multiplication problem.
Example 379.
√
5 63
63 is divisible by 9, a perfect square
√
5 9 · 7
Split into factors
√
√
5 9 · 7
Product rule, take the square root of 9
√
5 · 3 7
Multiply coefficients
√
15 7
Our Solution
As we simplify radicals using this method it is important to be sure our final
answer can be simplified no more.
Example 380.
√72 72isdivisibleby9,aperfectsquare
√9·8 Splitintofactors
√
√
9 · 8
Product rule, take the square root of 9
√
3 8
But 8 is also divisible by a perfect square, 4
√
3 4 · 2
Split into factors
√
√
3 4 · 2
Product rule, take the square root of 4
√
3 · 2 2
Multiply
289

---

√
6 2
Our Solution.
The previous example could have been done in fewer steps if we had noticed that
72 = 36 · 2, but often the time it takes to discover the larger perfect square is more
than it would take to simplify in several steps.
Variables often are part of the radicand as well. When taking the square roots of
√
variables, we can divide the exponent by 2. For example,
x8 = x4, because we
divide the exponent of 8 by 2. This follows from the power of a power rule of
expoennts, (x4)2 = x8. When squaring, we multiply the exponent by two, so when
taking a square root we divide the exponent by 2. This is shown in the following
example.
Example 381.
− 5p18x4y6z10
18 is divisible by 9, a perfect square
− 5p9 · 2x4y6z10
Split into factors
√
√
√
√
− 5 9 · 2 ·
p
x4 ·
y6 · z10
Product rule, simplify roots, divide exponents by 2
√
− 5 · 3x2y3z5 2
Multiply coefficients
√
− 15x2y3z5 2
Our Solution
We can’t always evenly divide the exponent on a variable by 2. Sometimes we
have a remainder. If there is a remainder, this means the remainder is left inside
the radical, and the whole number part is how many are outside the radical. This
is shown in the following example.
Example 382.
p20x5y9z6
20 is divisible by 4, a perfect square
p4 · 5x5y9z6
Split into factors
√
√
√
√
4 · 5 ·
p
x5 ·
y9 · z6
Simplify, divide exponents by 2, remainder is left inside
√
2x2y4z3 5xy
Our Solution
290

---

8.1 Practice - Square Roots
Simplify.
√
√
1)
245
2)
125
√
√
3)
36
4)
196
√
√
5)
12
6)
72
√
√
7) 3 12
8) 5 32
√
√
9) 6 128
10) 7 128
√
√
11) − 8 392
12) − 7 63
√
√
13)
192n
14)
343b
√
√
15)
196v2
16)
100n3
√
√
17)
252x2
18)
200a3
√
p
19) − 100k4
20) − 4 175p4
√
√
21) − 7 64x4
22) − 2 128n
√
23) − 5 36m
24) 8p112p2
√
25) p45x2y2
26)
72a3b4
√
27) p16x3y3
28)
512a4b2
√
29) p320x4y4
30)
512m4n3
√
31) 6p80xy2
32) 8 98mn
33) 5p245
p
x2y3
34) 2
72x2y2
√
35) − 2 180
p
u3v
36) − 5 72x3y4
√
37) − 8p180x4y2z4
38) 6 50a4bc2
39) 2p80
p
hj4k
40) −
32xy2z3
41) − 4p54
p
mnp2
42) − 8 32m2p4q
291

---

8.2
Radicals - Higher Roots
Objective: Simplify radicals with an index greater than two.
While square roots are the most common type of radical we work with, we can
take higher roots of numbers as well: cube roots, fourth roots, fifth roots, etc. Fol-
lowing is a definition of radicals.
√
m a = b if bm = a
The small letter m inside the radical is called the index. It tells us which root we
are taking, or which power we are “un-doing”. For square roots the index is 2. As
this is the most common root, the two is not usually written.
World View Note: The word for root comes from the French mathematician
Franciscus Vieta in the late 16th century.
The following example includes several higher roots.
Example 383.
√
3
√
125 = 5
3 − 64 = − 4
√
4
√
81 = 3
7 − 128 = − 2
√
5
√
32 = 2 4 − 16 = undefined
We must be careful of a few things as we work with higher roots. First its impor-
√
√
tant not to forget to check the index on the root.
81 = 9 but 4 81 = 3. This is
because 92 = 81 and 34 = 81. Another thing to watch out for is negatives under
roots. We can take an odd root of a negative number, because a negative number
raised to an odd power is still negative. However, we cannot take an even root of
a negative number, this we will say is undefined. In a later section we will discuss
how to work with roots of negative, but for now we will simply say they are unde-
fined.
We can simplify higher roots in much the same way we simplified square roots,
using the product property of radicals.
√
√
√
Product Property of Radicals: m ab = m a · m b
Often we are not as familiar with higher powers as we are with squares. It is
important to remember what index we are working with as we try and work our
way to the solution.
292

---

Example 384.
√
3 54
We are working with a cubed root, want third powers
23 = 8
Test 2, 23 = 8, 54 is not divisible by 8.
33 = 27
Test 3, 33 = 27, 54 is divisible by 27!
√
3 27 · 2 Write as factors
√
√
3 27 · 3 2 Product rule, take cubed root of 27
√
3 3 2
Our Solution
Just as with square roots, if we have a coefficient, we multiply the new coefficients
together.
Example 385.
√
3 4 48
We are working with a fourth root, want fourth powers
24 = 16
Test 2, 24 = 16, 48 is divisible by 16!
√
3 4 16 · 3
Write as factors
√
√
3 4 16 · 4 3
Product rule, take fourth root of 16
√
3 · 2 4 3
Multiply coefficients
√
6 4 3
Our Solution
We can also take higher roots of variables. As we do, we will divide the exponent
on the variable by the index. Any whole answer is how many of that varible will
come out of the square root. Any remainder is how many are left behind inside
the square root. This is shown in the following examples.
Example 386.
5
px25y17z3
Divide each exponent by 5, whole number outside, remainder inside
x5y3 5py2z3
Our Solution
In the previous example, for the x, we divided 25 = 5 R 0, so x5 came out, no x’s
5
remain inside. For the y, we divided 17 = 3 R 2, so y3 came out, and y2 remains
5
inside. For the z, when we divided 3 = 0R 3, all three or z3 remained inside. The
5
following example includes integers in our problem.
Example 387.
√
2 3 40a4b8
Looking for cubes that divide into 40. The number 8 works!
√
2 3 8 · 5a4b8
Take cube root of 8, dividing exponents on variables by 3
√
2 · 2
3
ab2
5ab2
Remainders are left in radical. Multiply coefficients
√
4ab2 3 5ab2
Our Solution
293

---

8.2 Practice - Higher Roots
Simplify.
√
√
1) 3 625
2) 3 375
√
√
3) 3 750
4) 3 250
√
√
5) 3 875
6) 3 24
√
√
7) − 44 96
8) − 84 48
√
√
9) 64 112
10) 34 48
√
√
11) − 4 112
12) 54 243
√
√
13) 4 648a2
14) 4 64n3
√
√
15) 5 224n3
16) 5 − 96x3
√
17) 5p224p5
18) 6 256x6
√
√
19) − 37 896
7
r
20) − 8 384b8
√
√
21) − 23 − 48v7
22) 43 250a6
√
√
23) − 73 320n6
24) − 3 512n6
√
25) 3p− 135x5y3
26) 3 64u5v3
√
27) 3p− 32x4y4
28) 3 1000a4b5
29) 3p256x4y6
30) 3p189x3y6
31) 73p− 81x3y7
32) − 43p56x2y8
√
√
33) 23 375u2v8
34) 83 − 750xy
√
35) − 33 192ab2
36) 33p135xy3
37) 63p− 54m8n3p7
38) − 64p80m4p7q4
√
39) 64p648x5y7z2
40) − 64 405a5b8c
41) 74p128h6j8k8
42) − 64p324x7yz7
294

---

8.3
Radicals - Adding Radicals
Objective: Add like radicals by first simplifying each radical.
Adding and subtracting radicals is very similar to adding and subtracting with
variables. Consider the following example.
Example 388.
5x + 3x − 2x
Combine like terms
6x
Our Solution
√
√
√
5 11 + 3 11 − 2 11
Combine like terms
√
6 11
Our Solution
√
Notice that when we combined the terms with
11 it was just like combining
terms with x. When adding and subtracting with radicals we can combine like
radicals just as like terms. We add and subtract the coefficients in front of the
295

---

radical, and the radical stays the same. This is shown in the following example.
Example 389.
√
√
√
√
√
√
√
√
7 5 6 + 4 5 3 − 9 5 3 + 5 6
Combine like radicals 7 5 6 + 5 6 and 4 5 3 − 8 5 3
√
√
8 5 6 − 5 5 3
Our Solution
We cannot simplify this expression any more as the radicals do not match. Often
problems we solve have no like radicals, however, if we simplify the radicals first
we may find we do in fact have like radicals.
Example 390.
√
√
√
√
5 45 + 6 18 − 2 98 + 20
Simplify radicals, find perfect square factors
√
√
√
√
5 9 · 5 + 6 9 · 2 − 2 49 · 2 + 4 · 5
Take roots where possible
√
√
√
√
5 · 3 5 + 6 · 3 2 − 2 · 7 2 + 2 5
Multiply coefficients
√
√
√
√
15 5 + 18 2 − 14 2 + 2 5
Combine like terms
√
√
17 5 + 4 2
Our Solution
World View Note: The Arab writers of the 16th century used the symbol sim-
ilar to the greater than symbol with a dot underneath for radicals.
This exact process can be used to add and subtract radicals with higher indices
Example 391.
√
√
√
4 3 54 − 9 3 16 + 5 3 9
Simplify each radical, finding perfect cube factors
√
√
√
4 3 27 · 2 − 9 3 8 · 2 + 5 3 9
Take roots where possible
√
√
√
4 · 3 3 2 − 9 · 2 3 2 + 5 3 9
Multiply coefficients
√
√
√
√
√
12 3 2 − 18 3 2 + 5 3 9
Combine like terms 12 3 2 − 18 3 2
√
√
− 6 3 2 + 5 3 9
Our Solution
296

---

8.3 Practice - Adding Radicals
Simiplify
√
√
√
√
√
√
1) 2 5 + 2 5 + 2 5
2) − 3 6 − 3 3 − 2 3
√
√
√
√
√
√
3) − 3 2 + 3 5 + 3 5
4) − 2 6 − 3 − 3 6
√
√
√
√
√
√
5) − 2 6 − 2 6 − 6
6) − 3 3 + 2 3 − 2 3
√
√
√
√
√
√
7) 3 6 + 3 5 + 2 5
8) − 5 + 2 3 − 2 3
√
√
√
√
√
√
9) 2 2 − 3 18 − 2
10) − 54 − 3 6 + 3 27
√
√
√
√
√
√
11) − 3 6 − 12 + 3 3
12) − 5 − 5 − 2 54
√
√
√
√
√
√
13) 3 2 + 2 8 − 3 18
14) 2 20 + 2 20 − 3
√
√
√
√
√
√
15) 3 18 − 2 − 3 2
16) − 3 27 + 2 3 − 12
√
√
√
√
√
√
√
√
17) − 3 6 − 3 6 − 3 + 3 6
18) − 2 2 − 2 + 3 8 + 3 6
√
√
√
√
√
√
√
√
19) − 2 18 − 3 8 − 20 + 2 20
20) − 3 18 − 8 + 2 8 + 2 8
√
√
√
√
√
√
√
√
21) − 2 24 − 2 6 + 2 6 + 2 20
22) − 3 8 − 5 − 3 6 + 2 18
√
√
√
√
√
√
√
√
23) 3 24 − 3 27 + 2 6 + 2 8
24) 2 6 − 54 − 3 27 − 3
√
√
√
√
√
√
25) − 23 16 + 23 16 + 23 2
26) 33 135 − 3 81 − 3 135
√
√
√
√
√
√
27) 24 243 − 24 243 − 4 3
28) − 34 4 + 34 324 + 24 64
√
√
√
√
√
√
29) 34 2 − 24 2 − 4 243
30) 24 6 + 24 4 + 34 6
√
√
√
√
√
√
31) − 4 324 + 34 324 − 34 4
32) − 24 243 − 4 96 + 24 96
√
√
√
√
√
√
√
√
33) 24 2 + 24 3 + 34 64 − 4 3
34) 24 48 − 34 405 − 34 48 − 4 162
√
√
√
√
√
√
√
√
35) − 35 6 − 5 64 + 25 192 − 25 64
36) − 37 3 − 37 768 + 27 384 + 37 5
√
√
√
√
√
√
√
√
37) 25 160 − 25 192 − 5 160 − 5 − 160
38) − 27 256 − 27 256 − 37 2 − 7 640
√
√
√
√
39) − 6 256 − 26 4 − 36 320 − 26 128
297

---

8.4
Radicals - Multiply and Divide Radicals
Objective: Multiply and divide radicals using the product and quotient
rules of radicals.
Multiplying radicals is very simple if the index on all the radicals match. The
prodcut rule of radicals which we have already been using can be generalized as
follows:
√
√
√
Product Rule of Radicals: a m b · c m d = ac m bd
Another way of stating this rule is we are allowed to multiply the factors outside
the radical and we are allowed to multiply the factors inside the radicals, as long
as the index matches. This is shown in the following example.
Example 392.
√
√
− 5 14 · 4 6
Multiply outside and inside the radical
√
− 20 84
Simplify the radical, divisible by 4
√
− 20 4 · 21
Take the square root where possible
√
− 20 · 2 21
Multiply coefficients
√
− 40 21
Our Solution
The same process works with higher roots
Example 393.
√
√
2 3 18 · 6 3 15
Multiply outside and inside the radical
√
12 3 270
Simplify the radical, divisible by 27
√
12 3 27 · 10
Take cube root where possible
√
12 · 3 3 10
Multiply coefficients
√
36 3 10
Our Solution
When multiplying with radicals we can still use the distributive property or FOIL
just as we could with variables.
Example 394.
√
√
√
7 6(3 10 − 5 15)
Distribute, following rules for multiplying radicals
√
√
21 60 − 35 90
Simplify each radical, finding perfect square factors
√
√
21 4 · 15 − 35 9 · 10
Take square root where possible
√
√
21 · 2 15 − 35 · 3 10
Multiply coefficients
√
√
42 15 − 105 10
Our Solution
Example 395.
√
√
√
√
( 5 − 2 3)(4 10 + 6 6)
FOIL, following rules for multiplying radicals
298

---

√
√
√
√
4 50 + 6 30 − 8 30 − 12 18
Simplify radicals, find perfect square factors
√
√
√
√
4 25 · 2 + 6 30 − 8 30 − 12 9 · 2
Take square root where possible
√
√
√
√
4 · 5 2 + 6 30 − 8 30 − 12 · 3 2
Multiply coefficients
√
√
√
√
20 2 + 6 30 − 8 30 − 36 2
Combine like terms
√
√
− 16 2 − 2 30
Our Solution
World View Note: Clay tablets have been discovered revealing much about
Babylonian mathematics dating back from 1800 to 1600 BC. In one of the tables
√
there is an approximation of
2 accurate to five decimal places (1.41421)
Example 396.
√
√
√
√
(2 5 − 3 6)(7 2 − 8 7)
FOIL, following rules for multiplying radicals
√
√
√
√
14 10 − 16 35 − 21 12 − 24 42
Simplify radicals, find perfect square factors
√
√
√
√
14 10 − 16 35 − 21 4 · 3 − 24 42
Take square root where possible
√
√
√
√
14 10 − 16 35 − 21 · 2 3 − 24 42
Multiply coefficient
√
√
√
√
14 10 − 16 35 − 42 3 − 24 42
Our Solution
As we are multiplying we always look at our final solution to check if all the radi-
cals are simplified and all like radicals or like terms have been combined.
Division with radicals is very similar to multiplication, if we think about division
as reducing fractions, we can reduce the coefficients outside the radicals and
reduce the values inside the radicals to get our final solution.
√
r
a m b
a m b
Quotient Rule of Radicals:
√ =
c m d
c
d
Example 397.
√
√
15 3 108
15
3 108
√
Reduce
and √
by dividing by 5 and 2 respectively
20 3 2
20
2
√
3 3 54
Simplify radical, 54 is divisible by 27
4
√
3 3 27 · 2
Take the cube root of 27
4
√
3 · 3 3 2
Multiply coefficients
4
√
9 3 2
Our Solution
4
There is one catch to dividing with radicals, it is considered bad practice to have
a radical in the denominator of our final answer. If there is a radical in the
denominator we will rationalize it, or clear out any radicals in the denominator.
299

---

We do this by multiplying the numerator and denominator by the same thing.
The problems we will consider here will all have a monomial in the denominator.
The way we clear a monomial radical in the denominator is to focus on the index.
The index tells us how many of each factor we will need to clear the radical. For
example, if the index is 4, we will need 4 of each factor to clear the radical. This
is shown in the following examples.
Example 398.
√6
√
Index is 2, we need two fives in denominator, need 1 more
5
√   √ !
6
5
√
√
√
Multiply numerator and denominator by 5
5
5
√30 OurSolution
5
Example 399.
√
3 4 11
√
Index is 4, we need four twos in denominator, need 3 more
4 2
√   √ !
3 4 11
4 23
√
√
√
Multiply numerator and denominator by 4 23
4 2
4 23
√
3 4 88
Our Solution
2
Example 400.
√
4 3 2
√
The 25 can be written as 52. This will help us keep the numbers small
7 3 25
√
4 3 2
√
Index is 3, we need three fives in denominator, need 1 more
7 3 52
√   √ !
4 3 2
3 5
√
√
√
Multiply numerator and denominator by 3 5
7 3 52
3 5
√
4 3 10
Multiply out denominator
7 · 5
√
4 3 10
Our Solution
35
300

---

The previous example could have been solved by multiplying numerator and
√
denominator by 3 252. However, this would have made the numbers very large
and we would have needed to reduce our soultion at the end. This is why re-
√
√
writing the radical as 3 52 and multiplying by just 3 5 was the better way to sim-
plify.
We will also always want to reduce our fractions (inside and out of the radical)
before we rationalize.
Example 401.
√
6 14
√
Reduce coefficients and inside radical
12 22
√7
√
Index is 2, need two elevens, need 1 more
2 11
√   √
!
7
11
√
√
√
Multiply numerator and denominator by 11
2 11
11
√77 Multiplydenominator
2 · 11
√77 OurSolution
22
The same process can be used to rationalize fractions with variables.
Example 402.
18 4p6x3y4z
Reduce coefficients and inside radical
8 4p10xy6z3
√
9 4 3x2
Index is 4. We need four of everything to rationalize,
4 4p5y2z3
three more fives, two more y′s and one more z.
√
 
!
9 4 3x2
4
p53y2z
Multiply numerator and denominator by 4p53y2z
4 4p5y2z3
4
p53y2z
9 4p375x2y2z
Multiply denominator
4 · 5yz
9 4p375x2y2z
Our Solution
20yz
301

---

8.4 Practice - Multiply and Divide Radicals
Multiply or Divide and Simplify.
√
√
√
√
1) 3 5 · − 4 16
2) − 5 10 · 15
√
√
√
√
3)
12m · 15m
4)
5r3 · − 5 10r2
√
√
√
√
5) 3 4
3
x3 · 2x4
6) 33 4a4 · 3 10a3
√ √
√
√
√
7)
6( 2 + 2)
8)
10( 5 + 2)
√
√
√
√
9) − 5 15(3 3 + 2)
10) 5 15(3 3 + 2)
√
√
√
√
√
11) 5 10(5n +
2)
12)
15( 5 − 3 3v)
√
√
√
√
13) (2 + 2 2)( − 3 + 2)
14) ( − 2 + 3)( − 5 + 2 3)
√
√
√
√
√
√
15) ( 5 − 5)(2 5 − 1)
16) (2 3 +
5)(5 3 + 2 4)
√
√
√
√
√
17) ( 2a + 2 3a)(3 2a +
5a)
√
√
√
18) ( − 2 2p + 5 5)( 5p + 5p)
√
√
19) ( − 5 − 4 3)( − 3 − 4 3)
√
√
20) (5 2 − 1)( − 2m + 5)
√
√
21)
12
√
5 100
22)
15
√
2 4
√
√
23)
5
√
4 125
24)
12
√3
√
√
25)
10
√6
26)
2
√
3 5
√
√
27) 2 4
√
3 3
28) 4 3
√15
29)
5x2
30)
4
4p3x3y3
5p3xy4
p
√
31)
2p2
√3p
32)
8n2
√10n
√
3
√
33) 3 10
3
√
34)
15
53 27
√
3 64
√
3
√
35)
5
4
√
36)
2
43 4
√
24 64
√
4
37) 5 5r4
√
38)
4
√
4 8
4
r2
64m4n2
302

---

8.5
Radicals - Rationalize Denominators
Objective: Rationalize the denominators of radical expressions.
It is considered bad practice to have a radical in the denominator of a fraction.
When this happens we multiply the numerator and denominator by the same
thing in order to clear the radical. In the lesson on dividing radicals we talked
about how this was done with monomials. Here we will look at how this is done
with binomials.
If the binomial is in the numerator the process to rationalize the denominator is
essentially the same as with monomials. The only difference is we will have to dis-
tribute in the numerator.
Example 403.
√3 −9
√
√
√
Want to clear 6 in denominator, multiply by
6
2 6
√
  √
!
( 3 − 9)
6
√
√
√
We will distribute the 6 through the numerator
2 6
6
303

---

√
√
18 − 9 6
Simplify radicals in numerator, multiply out denominator
2 · 6
√
√
9 · 2 − 9 6
Take square root where possible
12
√
√
3 2 − 9 6
Reduce by dividing each term by 3
12
√
√
2 − 3 6
Our Solution
4
It is important to remember that when reducing the fraction we cannot reduce
with just the 3 and 12 or just the 9 and 12. When we have addition or subtrac-
tion in the numerator or denominator we must divide all terms by the same
number.
The problem can often be made easier if we first simplify any radicals in the
problem.
√
√
2 20x5 − 12x2
√
Simplify radicals by finding perfect squares
18x
√
√
2 4 · 5x3 − 4 · 3x2
√
Simplify roots, divide exponents by 2.
9 · 2x
√
√
2 · 2x2 5x − 2x 3
√
Multiply coefficients
3 2x
√
√
4x2 5x − 2x 3
√
√
Multiplying numerator and denominator by 2x
3 2x
√
√   √
!
(4x2 5x − 2x 3)
2x
√
√
Distribute through numerator
3 2x
2x
√
√
4x2 10x2 − 2x 6x
Simplify roots in numerator,
3 · 2x
multiply coefficients in denominator
√
√
4x3 10 − 2x 6x
Reduce, dividing each term by 2x
6x
304

---

√
√
2x2 10 − 6x
Our Solution
3x
As we are rationalizing it will always be important to constantly check our
problem to see if it can be simplified more. We ask ourselves, can the fraction be
reduced? Can the radicals be simplified? These steps may happen several times
on our way to the solution.
If the binomial occurs in the denominator we will have to use a different strategy
to clear the radical. Consider
2
√
, if we were to multiply the denominator by
3 − 5
√
√
3 we would have to distribute it and we would end up with 3 − 5 3. We have
not cleared the radical, only moved it to another part of the denominator. So our
current method will not work. Instead we will use what is called a conjugate. A
conjugate is made up of the same terms, with the opposite sign in the middle.
√
√
So for our example with
3 − 5 in the denominator, the conjugate would be
3 +
5. The advantage of a conjugate is when we multiply them together we have
√
√
( 3 − 5)( 3 + 5), which is a sum and a difference. We know when we multiply
√
these we get a difference of squares. Squaring
3 and 5, with subtraction in the
middle gives the product 3 − 25 = − 22. Our answer when multiplying conjugates
will no longer have a square root. This is exactly what we want.
Example 404.
2
√
Multiply numerator and denominator by conjugate
3 − 5
  √
!
2
3 + 5
√
√
Distribute numerator, difference of squares in denominator
3 − 5
3 + 5
√
2 3 + 10
Simplify denoinator
3 − 25
√
2 3 + 10
Reduce by dividing all terms by − 2
− 22
√
− 3 − 5
Our Solution
11
In the previous example, we could have reduced by dividng by 2, giving the solu-
√
tion
3 + 5 , both answers are correct.
− 11
Example 405.
√15
√
√
√
√
Multiply by conjugate,
5 − 3
5 +
3
305

---

√
  √
√ !
15
5 − 3
√
√
√
√
Distribute numerator, denominator is difference of squares
5 +
3
5 − 3
√
√
75 − 45
Simplify radicals in numerator, subtract in denominator
5 − 3
√
√
25 · 3 − 9 · 5
Take square roots where possible
2
√
√
5 3 − 3 5
Our Solution
2
Example 406.
√
2 3x
√
√
Multiply by conjugate, 4 +
5x3
4 − 5x3
√
 
√
!
2 3x
4 +
5x3
√
√
Distribute numerator, denominator is difference of squares
4 − 5x3 4 + 5x3
√
√
8 3x + 2 15x4
Simplify radicals where possible
16 − 5x3
√
√
8 3x + 2x2 15
Our Solution
16 − 5x3
The same process can be used when there is a binomial in the numerator and
denominator. We just need to remember to FOIL out the numerator.
Example 407.
√
3 − 5
√
√
Multiply by conjugate, 2 +
3
2 − 3
√  
√ !
3 − 5 2 + 3
√
√
FOIL in numerator, denominator is difference of squares
2 − 3 2 + 3
√
√
√
6 + 3 3 − 2 5 − 15
Simplify denominator
4 − 3
√
√
√
6 + 3 3 − 2 5 − 15
Divide each term by 1
1
√
√
√
6 + 3 3 − 2 5 − 15
Our Solution
306

---

Example 408.
√
√
2 5 − 3 7
√
√
√
√
Multiply by the conjugate, 5 6 − 4 2
5 6 + 4 2
√
√   √
√ !
2 5 − 3 7 5 6 − 4 2
FOIL numerator,
√
√
√
√
5 6 + 4 2
5 6 − 4 2
denominator is difference of squares
√
√
√
√
10 30 − 8 10 − 15 42 + 12 14
Multiply in denominator
25 · 6 − 16 · 2
√
√
√
√
10 30 − 8 10 − 15 42 + 12 14
Subtract in denominator
150 − 32
√
√
√
√
10 30 − 8 10 − 15 42 + 12 14
Our Solution
118
The same process is used when we have variables
Example 409.
√
√
3x 2x +
4x3
√
√
Multiply by the conjugate, 5x + 3x
5x − 3x
√
√
 
√
!
3x 2x +
4x3
5x + 3x
FOIL in numerator,
√
√
5x − 3x
5x + 3x
denominator is difference of squares
√
√
√
√
15x2 2x + 3x 6x2 + 5x 4x3 +
12x4
Simplify radicals
25x2 − 3x
√
√
√
√
15x2 2x + 3x2 6 + 10x2 x + 2x2 3
Divide each term by x
25x2 − 3x
√
√
√
√
15x 2x + 3x 6 + 10x x + 2x 3
Our Solution
25x − 3
World View Note: During the 5th century BC in India, Aryabhata published a
treatise on astronomy. His work included a method for finding the square root of
numbers that have many digits.
307

---

8.5 Practice - Rationalize Denominators
Simplify.
√
√
1) 4 + 2 3
√
2) − 4 + 3
√
9
4 9
√
√
3) 4 + 2 3
− 2
√
4) 2 3
√
5 4
2 16
√
√
5) 2 − 5 5
+ 4
√
6)
5
√
4 13
4 17
√
√
√
√
7)
2 − 3 3
− 2
√
8)
5 √
3
3 6
9)
5
√
√
10)
5
√
√
3 5 +
2
3 + 4 5
11)
2√
12)
5
√
√
5 +
2
2 3 − 2
13)
3 √
14)
4
√
4 − 3 3
2 − 2
15)
4√
16)
2
√
√
3 +
5
2 5 + 2 3
17) −
4 √
18)
4
√
√
4 − 4 2
4 3 − 5
√
19)
1√
20) 3 + 3
√
1 +
2
3 − 1
√
√
21)
14 − 2
√
√
22) 2 + 10
√
√
7 − 2
2 +
5
√
√
√
23)
ab − a
− 7
√
√
24)
14
√
√
b − a
14 +
7
√
√
25) a + ab
√
√
26) a + ab
√
√
a +
b
a +
b
√
√
√
27) 2 + 6
+
3
√
28) 2 5 √
2 +
3
1 − 3
√
29) a − b
√
30)
a − b
√
√
a +
b
a +
b
31)
6
√
√
32)
ab
√
√
3 2 − 2 3
a b − b a
√
33)
a − b
+ 3
√
√
34) 4 2
√
√
a b − b a
3 2 +
3
√
√
35) 2 − 5
√
36) − 1 + 5
√
√
− 3 + 5
2 5 + 5 2
308

---

√
√
√
√
37) 5 2 + 3
+
2
√
38)
3
√
√
5 + 5 2
2 3 − 2
309

---

8.6
Radicals - Rational Exponents
Objective: Convert between radical notation and exponential notation
and simplify expressions with rational exponents using the properties
of exponents.
When we simplify radicals with exponents, we divide the exponent by the index.
Another way to write division is with a fraction bar. This idea is how we will
define rational exponents.
n
√
Definition of Rational Exponents: am = (m a)n
The denominator of a rational exponent becomes the index on our radical, like-
wise the index on the radical becomes the denominator of the exponent. We can
use this property to change any radical expression into an exponential expression.
Example 410.
√
3
√
5
(5 x)3 = x
6
5
( 3x)5 = (3x)6
Index is denominator
1
1
√
= a− 37
√
= (xy)− 23
Negative exponents from reciprocals
(7 a)3
(3 xy)2
We can also change any rational exponent into a radical expression by using the
denominator as the index.
Example 411.
5
√
2
√
a
7
3 = (3 a)5
(2mn)7 = ( 2mn)2
Index is denominator
1
1
x− 45 = √
(xy)−29 = √
Negative exponent means reciprocals
(5 x)4
(9 xy)2
World View Note: Nicole Oresme, a Mathematician born in Normandy was the
1
first to use rational exponents. He used the notation 1•9p to represent 93. How-
3
ever his notation went largely unnoticed.
The ability to change between exponential expressions and radical expressions
allows us to evaluate problems we had no means of evaluating before by changing
to a radical.
Example 412.
27− 43
Change to radical, denominator is index, negative means reciprocal
1
√
Evaluate radical
(3 27)4
310

---

1
Evaluate exponent
(3)4
1
Our solution
81
The largest advantage of being able to change a radical expression into an expo-
nential expression is we are now allowed to use all our exponent properties to sim-
plify. The following table reviews all of our exponent properties.
Properties of Exponents
1
aman = am+n
(ab)m = ambm
a−m = am
am
 a m
am
1
= am−n
=
= am
an
b
bm
a−m
 a −m
bm
(am)n = amn
a0 = 1
=
b
am
When adding and subtracting with fractions we need to be sure to have a
common denominator. When multiplying we only need to multiply the numera-
tors together and denominators together. The following examples show several
different problems, using different properties to simplify the rational exponents.
Example 413.
2
1
1
1
a3 b2 a6 b5
Need common denominator on a′s(6) and b′s(10)
4
5
1
2
a6 b10 a6 b10
Add exponents on a′s and b′s
5
7
a6 b10
Our Solution
Example 414.
3

1
2 4
3
x3 y 5
Multiply
by each exponent
4
1
3
x4 y 10
Our Solution
Example 415.
2
1
5
x2y 3 · 2x2 y6
In numerator, need common denominator to add exponents
7
x2 y0
311

---

4
4
1
5
x2 y 6 · 2x2 y6
Add exponents in numerator, in denominator, y0 = 1
7
x2 y0
5
9
2x2 y 6
Subtract exponents on x, reduce exponent on y
7
x2
3
2x−1y 2
Negative exponent moves down to denominator
3
2y 2
Our Solution
x
Example 416.

− 1
1
2
2
25x3 y 5
Using order of operations, simplify inside parenthesis first

4

9
Need common denominators before we can subtract exponents
x5 y−32

− 1
5
4
2
Subtract exponents, be careful of the negative:
25x15 y 10



4
15
4
15
19
12

=
+
=
9x
− −
15 y− 15
10
10
10
10
10
10
 
19 !− 1
2
25x− 715 y 10
The negative exponent will flip the fraction
9
1
 
!
9
2
1
The exponent
goes on each factor
19
25x− 7
2
15 y 10
1
92
1
1
Evaluate 92 and 252 and move negative exponent
1
19
252 x− 730 y 20
7
3x30
Our Solution
19
5y 20
It is important to remember that as we simplify with rational exponents we are
using the exact same properties we used when simplifying integer exponents. The
only difference is we need to follow our rules for fractions as well. It may be worth
reviewing your notes on exponent properties to be sure your comfortable with
using the properties.
312

---

8.6 Practice - Rational Exponents
Write each expression in radical form.
3
1) m5
2) (10r)− 34
3
3) (7x)2
4) (6b) − 43
Write each expression in exponential form.
√
5)
1
√
6)
v
( 6x)3
√
7)
1
√
8)
5a
(4 n)7
Evaluate.
2
1
9) 83
10) 164
3
11) 42
12) 100− 32
Simplify. Your answer should contain only positive exponents.
1
3
2
13) yx3 · xy2
14) 4v3 · v−1
1
1
5
15) (a2b2)−1
16) (x3 y−2)0
1
1
17) a2b0
2 y 3
3a4
18) 2x4 7
3
2x3 y− 4
19) uv · u · (v2)3
20) (x · xy2)0
1
3
21) (x0y 3)2x0
3
22) u− 54v2 · (u2)−32
3
7
5
4
4
23) a b−1 · b
3
3b−1
24)
2x−2y
5
5
1
x− 4 y− 3
2
5
· xy
4
25)
3y−
1
5
1
3 · 2b− 4
y−1 · 2y− 3
26) ab 1 2
4a− 2b− 3
7
 
3
!4
1 3
2
27)
m n−2
2 )2
4
28) (y−3 1
(mn3)−1
x2 y 2
1
2
30)
y0
29) (m2n )0
3
1
3
(x4 y−1)3
n4
1
4
4
1
2 y0)− 3
3
3
32) (x
31) (x− y− · y)−1
2
1
y4 · x−2y− 3
x3 y−2
3
 
1
!
1
2
3
2
y
y−2
33) (uv2)
34)
5
3
1
3
2
v− 4v2
(x y3)−
313

---

8.7
Radicals - Radicals of Mixed Index
Objective: Reduce the index on a radical and multiply or divide radi-
cals of different index.
Knowing that a radical has the same properties as exponents (written as a ratio)
allows us to manipulate radicals in new ways. One thing we are allowed to do is
reduce, not just the radicand, but the index as well. This is shown in the fol-
lowing example.
Example 417.
8
px6y2
Rewrite as rational exponent
1
(x6y2)5
Multiply exponents
6
2
x8 y 8
Reduce each fraction
3
1
x4 y 4
All exponents have denominator of 4, this is our new index
4
px3y
Our Solution
What we have done is reduced our index by dividing the index and all the expo-
nents by the same number (2 in the previous example). If we notice a common
factor in the index and all the exponnets on every factor we can reduce by
dividing by that common factor. This is shown in the next example
Example 418.
√
24 a6b9c15
Index and all exponents are divisible by 3
√
8 a2b3c5
Our Solution
We can use the same process when there are coefficients in the problem. We will
first write the coefficient as an exponential expression so we can divide the
exponet by the common factor as well.
Example 419.
√
9 8m6n3
Write 8 as 23
√
9 23m6n3
Index and all exponents are divisible by 3
√
3 2m2n
Our Solution
We can use a very similar idea to also multiply radicals where the index does not
match. First we will consider an example using rational exponents, then identify
the pattern we can use.
314

---

Example 420.
√
√
3
4
ab2
a2b
Rewrite as rational exponents
1
1
(ab2)3(a2b)4
Multiply exponents
1
2
2
1
a3 b3 a4 b4
To have one radical need a common denominator, 12
4
8
6
3
a12 b12 a12 b12
Write under a single radical with common index, 12
√
12 a4b8a6b3
Add exponents
√
12 a10b11
Our Solution
To combine the radicals we need a common index (just like the common denomi-
nator). We will get a common index by multiplying each index and exponent by
an integer that will allow us to build up to that desired index. This process is
shown in the next example.
Example 421.
√
√
4 a2b3 6 a2b
Common index is 12.
Multiply first index and exponents by 3, second by 2
√
12 a6b9a4b2
Add exponents
√
12 a10b11
Our Solution
Often after combining radicals of mixed index we will need to simplify the
resulting radical.
Example 422.
5
px3y4 3px2y
Common index: 15.
Multiply first index and exponents by 3, second by 5
15
px9y12x10y5
Add exponents
15
px19y17
Simplify by dividing exponents by index, remainder is left inside
xy 15
px4y2
Our Solution
Just as with reducing the index, we will rewrite coefficients as exponential expres-
sions. This will also allow us to use exponent properties to simplify.
Example 423.
3
p4x2y 4p8xy3
Rewrite 4 as 22 and 8 as 23
3
p22x2y 4p23xy3
Common index: 12.
Multiply first index and exponents by 4, second by 3
12
p28x8y429x3y9
Add exponents (even on the 2)
12
p217x11y13
Simplify by dividing exponents by index, remainder is left inside
2y 12
p25x11y
Simplify 25
2y 12
p32x11y
Our Solution
315

---

If there is a binomial in the radical then we need to keep that binomial together
through the entire problem.
Example 424.
p3x(y + z) 3p9x(y + z)2
Rewrite 9 as 32
p3x(y + z) 3p32x(y + z)2
Common index: 6. Multiply first group by 3, second by 2
6
p33x3(y + z)334x2(y + z)4
Add exponents, keep (y + z) as binomial
6
p37x5(y + z)7
Simplify, dividing exponent by index, remainder inside
3(y + z) 6p3x5(y + z)
Our Solution
World View Note: Originally the radical was just a check mark with the rest of
the radical expression in parenthesis. In 1637 Rene Descartes was the first to put
a line over the entire radical expression.
The same process is used for dividing mixed index as with multiplying mixed
index. The only difference is our final answer cannot have a radical over the
denominator.
Example 425.
6
px4y3z2
Common index is 24. Multiply first group by 4, second by 3
8
px7y2z
r
24 x16y12z8
Subtract exponents
x21y6z3
24
px−5y6z5
Negative exponent moves to denominator
r
24 y6z5
Cannot have denominator in radical, need 12x′s, or 7 more
x5
r
  r
!
√
24 y6z5
24 x19
Multiply numerator and denominator by 12 x7
x5
x19
24
px19y6z5
Our Solution
x
316

---

8.7 Practice - Radicals of Mixed Index
Reduce the following radicals.
1) 8p16x4y6
2) 4p9x2y6
3) 12
p64
q
x4y6z8
4) 4 25x3
16x5
q
5) 6 16x2
15
p
9y4
6)
x9y12z6
7) 12
px6y9
8) 10
p64x8y4
9) 8px6y4z2
10) 4p25y2
11) 9p8x3y6
12) 16
p81x8y12
Combine the following radicals.
√ √
√ √
13) 3 5 6
14) 3 7 4 5
√ √
√ √
15)
x 3 7y
16) 3 y 5 3z
√ √
√
17)
√
x 3 x − 2
18) 4 3x
y + 4
√
√
√
19) 5px2y xy
20)
5
ab
2a2b2
√
√
21) 4pxy2 3px2y
22) 5
4
a2b3
a2b
√
√
23) 4 a2bc2 5 a2b3c
24) 6px2yz3 5px2yz2
√ √
√
√
25)
4
a
a3
26) 3
6
x2
x5
√ √
√
√
27) 5 b2 b3
28) 4
3
a3
a2
√
√
29) pxy3 3px2y
30) 5 a3b
ab
√
√
p
31) 4 9ab3
3a4b
32)
2x3y3 3p4xy2
√
√
33) 3p3xy2z 4p9x3yz2
34)
3
a4b3c4
ab2c
35) p27
p
a5(b + 1) 3p81a(b + 1)4
36)
8x (y + z)5 3p4x2(y + z)2
√
√
3
3
37)
a2
√
38)
x2
√
4 a
5 x
√
4
p
5
39)
x2y3
√
40)
a4b2
√
3 xy
3 ab2
√
5
p
41)
ab3c
√
42)
x3y4z9
5
p
a2b3c−1
xy−2z
4
p
3
p
43)
(3x − 1)3
44)
(2 + 5x)2
5
p (3x − 1)3
4
p (2 + 5x)
3
p
4
p
45)
(2x + 1)2
46)
(5 − 3x)3
5
p (2x + 1)2
3
p (5 − 3x)2
317

---

8.8
Radicals - Complex Numbers
Objective: Add, subtract, multiply, rationalize, and simplify expres-
sions using complex numbers.
World View Note: When mathematics was first used, the primary purpose was
for counting. Thus they did not originally use negatives, zero, fractions or irra-
tional numbers. However, the ancient Egyptians quickly developed the need for “a
part” and so they made up a new type of number, the ratio or fraction. The
Ancient Greeks did not believe in irrational numbers (people were killed for
believing otherwise). The Mayans of Central America later made up the number
zero when they found use for it as a placeholder. Ancient Chinese Mathematicians
made up negative numbers when they found use for them.
In mathematics, when the current number system does not provide the tools to
solve the problems the culture is working with, we tend to make up new ways for
dealing with the problem that can solve the problem. Throughout history this has
been the case with the need for a number that is nothing (0), smaller than zero
(negatives), between integers (fractions), and between fractions (irrational num-
bers). This is also the case for the square roots of negative numbers. To work
with the square root of negative numbers mathematicians have defined what are
called imaginary and complex numbers.
√
Definition of Imaginary Numbers: i2 = − 1 (thus i =
− 1)
√
Examples of imaginary numbers include 3i, − 6i,
3 i and 3i 5. A complex
5
number is one that contains both a real and imaginary part, such as 2 + 5i.
With this definition, the square root of a negative number is no longer undefined.
We now are allowed to do basic operations with the square root of negatives.
First we will consider exponents on imaginary numbers. We will do this by
manipulating our definition of i2 = − 1. If we multiply both sides of the definition
by i, the equation becomes i3 = − i. Then if we multiply both sides of the equa-
tion again by i, the equation becomes i4 = − i2 = − ( − 1) = 1, or simply i4 = 1.
Multiplying again by i gives i5 = i. One more time gives i6 = i2 = − 1. And if this
pattern continues we see a cycle forming, the exponents on i change we cycle
through simplified answers of i, − 1, − i, 1. As there are 4 different possible
answers in this cycle, if we divide the exponent by 4 and consider the remainder,
we can simplify any exponent on i by learning just the following four values:
Cyclic Property of Powers of i
i0 = 1
i = i
i2 = − 1
i3 = − i
318

---

Example 426.
i35
Divide exponent by 4
8R3
Use remainder as exponent on i
i3
Simplify
− i
Our Solution
Example 427.
i124
Divide exponent by 4
31R0
Use remainder as exponent on i
i0
Simplify
1
Our Solution
When performing operations (add, subtract, multilpy, divide) we can handle i just
like we handle any other variable. This means when adding and subtracting com-
plex numbers we simply add or combine like terms.
Example 428.
(2 + 5i) + (4 − 7i)
Combine like terms 2 + 4 and 5i − 7i
6 − 2i
Our Solution
It is important to notice what operation we are doing. Students often see the
parenthesis and think that means FOIL. We only use FOIL to multiply. This
problem is an addition problem so we simply add the terms, or combine like
terms.
For subtraction problems the idea is the same, we need to remember to first dis-
tribute the negative onto all the terms in the parentheses.
Example 429.
(4 − 8i) − (3 − 5i)
Distribute the negative
4 − 8i − 3 + 5i
Combine like terms 4 − 3 and − 8i + 5i
1 − 3i
Our Solution
Addition and subtraction can be combined into one problem.
Example 430.
(5i) − (3 + 8i) + ( − 4 + 7i)
Distribute the negative
5i − 3 − 8i − 4 + 7i
Combine like terms 5i − 8i + 7i and − 3 − 4
− 7 + 4i
Our Solution
Multiplying with complex numbers is the same as multiplying with variables with
one exception, we will want to simplify our final answer so there are no exponents
on i.
319

---

Example 431.
(3i)(7i)
Multilpy coefficients and i′s
21i2
Simplify i2 = − 1
21( − 1)
Multiply
− 21
Our Solution
Example 432.
5i(3i − 7)
Distribute
15i2 − 35i
Simplify i2 = − 1
15( − 1) − 35i
Multiply
− 15 − 35i
Our Solution
Example 433.
(2 − 4i)(3 + 5i)
FOIL
6 + 10i − 12i − 20i2
Simplify i2 = − 1
6 + 10i − 12i − 20( − 1)
Multiply
6 + 10i − 12i + 20
Combine like terms 6 + 20 and 10i − 12i
26 − 2i
Our Solution
Example 434.
(3i)(6i)(2 − 3i)
Multiply first two monomials
18i2(2 − 3i)
Distribute
36i2 − 54i3
Simplify i2 = − 1 and i3 = − i
36( − 1) − 54( − i)
Multiply
− 36 + 54i
Our Solution
Remember when squaring a binomial we either have to FOIL or use our shortcut
to square the first, twice the product and square the last. The next example uses
the shortcut
Example 435.
(4 − 5i)2
Use perfect square shortcut
42 = 16
Square the first
2(4)( − 5i) = − 40i
Twice the product
(5i)2 = 25i2 = 25( − 1) = − 25
Square the last, simplify i2 = − 1
16 − 40i − 25
Combine like terms
− 9 − 40i
Our Solution
320

---

Dividing with complex numbers also has one thing we need to be careful of. If i is
√−1, and it is in the denominator of a fraction, then we have a radical in the
denominator! This means we will want to rationalize our denominator so there
are no i’s. This is done the same way we rationalized denominators with square
roots.
Example 436.
7 + 3i
Just a monomial in denominator, multiply by i
− 5i
7 + 3i i 
Distribute i in numerator
− 5i
i
7i + 3i2
Simplify i2 = − 1
− 5i2
7i + 3( − 1)
Multiply
− 5( − 1)
7i − 3
Our Solution
5
The solution for these problems can be written several different ways, for example
− 3 + 7i or −3 + 7i, The author has elected to use the solution as written, but it is
5
5
5
important to express your answer in the form your instructor prefers.
Example 437.
2 − 6i
Binomial in denominator, multiply by conjugate, 4 − 8i
4 + 8i
2 − 6i 4 − 8i 
FOIL in numerator, denominator is a difference of squares
4 + 8i 4 − 8i
8 − 16i − 24i + 48i2
Simplify i2 = − 1
16 − 64i2
8 − 16i − 24i + 48( − 1)
Multiply
16 − 64( − 1)
8 − 16i − 24i − 48
Combine like terms 8 − 48 and − 16i − 24i and 16 + 64
16 + 64
− 40 − 40i
Reduce, divide each term by 40
80
− 1 − i
Our Solution
2
321

---

Using i we can simplify radicals with negatives under the root. We will use the
product rule and simplify the negative as a factor of negative one. This is shown
in the following examples.
Example 438.
√−16 Considerthenegativeasafactorof−1
√−1·16 Takeeachroot,squarerootof−1isi
4i
Our Solution
Example 439.
√−24 Findperfectsquarefactors,including−1
√−1·4·6 Squarerootof−1isi,squarerootof4is2
√
2i 6
Our Solution
When simplifying complex radicals it is important that we take the − 1 out of the
radical (as an i) before we combine radicals.
Example 440.
√
√
− 6 − 3
Simplify the negatives, bringing i out of radicals
√
√
(i 6)(i 3)
Multiply i by i is i2 = − 1, also multiply radicals
√
− 18
Simplify the radical
√
− 9 · 2
Take square root of 9
√
− 3 2
Our Solution
If there are fractions, we need to make sure to reduce each term by the same
number. This is shown in the following example.
Example 441.
√
− 15 − − 200
Simplify the radical first
20
√−200 Findperfectsquarefactors,including−1
√−1·100·2 Takesquarerootof−1and100
√
10i 2
Put this back into the expression
√
− 15 − 10i 2
All the factors are divisible by 5
20 √
− 3 − 2i 2
Our Solution
4
√
By using i =
− 1 we will be able to simplify and solve problems that we could
not simplify and solve before. This will be explored in more detail in a later sec-
tion.
322

---

8.8 Practice - Complex Numbers
Simplify.
1) 3 − ( − 8 + 4i)
2) (3i) − (7i)
3) (7i) − (3 − 2i)
4) 5 + ( − 6 − 6i)
5) ( − 6i) − (3 + 7i)
6) ( − 8i) − (7i) − (5 − 3i)
7) (3 − 3i) + ( − 7 − 8i)
8) ( − 4 − i) + (1 − 5i)
9) (i) − (2 + 3i) − 6
10) (5 − 4i) + (8 − 4i)
11) (6i)( − 8i)
12) (3i)( − 8i)
13) ( − 5i)(8i)
14) (8i)( − 4i)
15) ( − 7i)2
16) ( − i)(7i)(4 − 3i)
17) (6 + 5i)2
18) (8i)( − 2i)( − 2 − 8i)
19) ( − 7 − 4i)( − 8 + 6i)
20) (3i)( − 3i)(4 − 4i)
21) ( − 4 + 5i)(2 − 7i)
22) − 8(4 − 8i) − 2( − 2 − 6i)
23) ( − 8 − 6i)( − 4 + 2i)
24) ( − 6i)(3 − 2i) − (7i)(4i)
25) (1 + 5i)(2 + i)
26) ( − 2 + i)(3 − 5i)
27) − 9 + 5i
28) − 3 + 2i
i
− 3i
29) − 10− 9i
30) − 4 + 2i
6i
3i
31) − 3 − 6i
32) − 5 + 9i
4i
9i
33) 10− i
34) 10
− i
5i
35)
4i
36)
9i
− 10 + i
1 − 5i
37)
8
38)
4
7 − 6i
4 + 6i
39)
7
40)
9
10 − 7i
− 8 − 6i
41)
5i
42)
8i
− 6 − i
6 − 7i
323

---

√
√
43)
− 81
44)
− 45
√
√
√
√
45)
− 10 − 2
46)
− 12 − 2
√
√
47 3 + − 27
48) − 4 − − 8
6
− 4
√
√
49) 8 − − 16
50) 6 + − 32
4
4
51) i73
52) i251
53) i48
54) i68
55) i62
56) i181
57) i154
58) i51
324

---

Chapter 9 : Quadratics
9.1 Solving with Radicals .............................................................................326
9.2 Solving with Exponents ..........................................................................332
9.3 Complete the Square ..............................................................................337
9.4 Quadratic Formula .................................................................................343
9.5 Build Quadratics From Roots ................................................................348
9.6 Quadratic in Form .................................................................................352
9.7 Application: Rectangles .........................................................................357
9.8 Application: Teamwork ..........................................................................364
9.9 Simultaneous Products ...........................................................................370
9.10 Application: Revenue and Distance ......................................................373
9.11 Graphs of Quadratics ............................................................................380
325

---

9.1
Quadratics - Solving with Radicals
Objective: Solve equations with radicals and check for extraneous solu-
tions.
Here we look at equations that have roots in the problem. As you might expect,
to clear a root we can raise both sides to an exponent. So to clear a square root
we can rise both sides to the second power. To clear a cubed root we can raise
both sides to a third power. There is one catch to solving a problem with roots in
it, sometimes we end up with solutions that do not actually work in the equation.
This will only happen if the index on the root is even, and it will not happen all
the time. So for these problems it will be required that we check our answer in
the original problem. If a value does not work it is called an extraneous solution
and not included in the final solution.
When solving a radical problem with an even index: check answers!
Example 442.
√7x+2 =4 Evenindex!Wewillhavetocheckanswers
√
( 7x + 2)2 = 42
Square both sides, simplify exponents
7x + 2 = 16
Solve
− 2 − 2
Subtract 2 from both sides
7x = 14
Divide both sides by 7
7
7
x = 2
Need to check answer in original problem
p7(2) + 2 = 4
Multiply
√14+2 =4 Add
√16 =4 Squareroot
4 = 4
True! It works!
x = 2
Our Solution
Example 443.
√
3 x − 1 = − 4 Odd index, we don′t need to check answer
√
(3 x − 1)3 = ( − 4)3
Cube both sides, simplify exponents
x − 1 = − 64
Solve
326

---

+ 1
+ 1
Add 1 to both sides
x = − 63
Our Solution
Example 444.
√
4 3x + 6 = − 3 Even index! We will have to check answers
√
(4 3x + 6) = ( − 3)4
Rise both sides to fourth power
3x + 6 = 81
Solve
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
3x = 75
Divide both sides by 3
3
3
x = 25
Need to check answer in original problem
4
p3(25) + 6 = − 3
Multiply
√
4 75 + 6 = − 3 Add
√
4 81 = − 3 Take root
3 = − 3
False, extraneous solution
No Solution
Our Solution
If the radical is not alone on one side of the equation we will have to solve for the
radical before we raise it to an exponent
Example 445.
√
x +
4x + 1 = 5
Even index! We will have to check solutions
− x
− x
Isolate radical by subtracting x from both sides
√4x+1 =5−x Squarebothsides
√
( 4x + 1)2 = (5 − x)2
Evaluate exponents, recal (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
4x + 1 = 25 − 10x + x2
Re − order terms
4x + 1 = x2 − 10x + 25
Make equation equal zero
− 4x − 1
− 4x − 1
Subtract 4x and 1 from both sides
0 = x2 − 14x + 24
Factor
0 = (x − 12)(x − 2)
Set each factor equal to zero
x − 12 = 0 or x − 2 = 0
Solve each equation
+ 12 + 12
+ 2 + 2
x = 12 or x = 2
Need to check answers in original problem
(12) + p4(12) + 1 = 5
Check x = 5 first
327

---

√
12 + 48 + 1 = 5
Add
√
12 +
49 = 5
Take root
12 + 7 = 5
Add
19 = 5
False, extraneous root
(2) + p4(2) + 1 = 5
Check x = 2
√
2 +
8 + 1 = 5
Add
√
2 +
9 = 5
Take root
2 + 3 = 5
Add
5 = 5
True! It works
x = 2
Our Solution
The above example illustrates that as we solve we could end up with an x2 term
or a quadratic. In this case we remember to set the equation to zero and solve by
factoring. We will have to check both solutions if the index in the problem was
even. Sometimes both values work, sometimes only one, and sometimes neither
works.
World View Note: The babylonians were the first known culture to solve
quadratics in radicals - as early as 2000 BC!
If there is more than one square root in a problem we will clear the roots one at a
time. This means we must first isolate one of them before we square both sides.
Example 446.
√
√
3x − 8 − x = 0
Even index! We will have to check answers
√
√
√
+
x +
x
Isolate first root by adding
x to both sides
√
√
3x − 8 = x
Square both sides
√
√
( 3x − 8)2 = ( x)2
Evaluate exponents
3x − 8 = x
Solve
− 3x
− 3x
Subtract 3x from both sides
− 8 = − 2x
Divide both sides by − 2
− 2
− 2
4 = x
Need to check answer in original
√
p3(4) − 8 − 4 = 0
Multiply
√
√
12 − 8 − 4 = 0
Subtract
√
√
4 − 4 = 0
Take roots
328

---

2 − 2 = 0
Subtract
0 = 0
True! It works
x = 4
Our Solution
When there is more than one square root in the problem, after isolating one root
and squaring both sides we may still have a root remaining in the problem. In
this case we will again isolate the term with the second root and square both
sides. When isolating, we will isolate the term with the square root. This means
the square root can be multiplied by a number after isolating.
Example 447.
√
√
2x + 1 − x = 1
Even index! We will have to check answers
√
√
√
+
x +
x
Isolate first root by adding x to both sides
√
√
2x + 1 =
x + 1
Square both sides
√
√
( 2x + 1)2 = ( x + 1)2
Evaluate exponents, recall (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
√
2x + 1 = x + 2 x + 1
Isolate the term with the root
− x − 1 − x
− 1
Subtract x and 1 from both sides
√
x = 2 x
Square both sides
√
(x)2 = (2 x)2
Evaluate exponents
x2 = 4x
Make equation equal zero
− 4x − 4x
Subtract x from both sides
x2 − 4x = 0
Factor
x(x − 4) = 0
Set each factor equal to zero
x = 0 or x − 4 = 0
Solve
+ 4 + 4
Add 4 to both sides of second equation
x = 0 or x = 4
Need to check answers in original
p2(0) + 1 − p(0) = 1 Check x = 0 first
√
√
1 − 0 = 1
Take roots
1 − 0 = 1
Subtract
1 = 1
True! It works
p2(4) + 1 − p(4) = 1 Check x = 4
√
√
8 + 1 − 4 = 1
Add
√
√
9 − 4 = 1
Take roots
3 − 2 = 1
Subtract
1 = 1
True! It works
329

---

x = 0 or 4
Our Solution
Example 448.
√
√
3x + 9 − x + 4 = − 1
Even index! We will have to check answers
√
√
√
+
x + 4 +
x + 4
Isolate the first root by adding x + 4
√
√
3x + 9 =
x + 4 − 1
Square both sides
√
√
( 3x + 9)2 = ( x + 4 − 1)2
Evaluate exponents
√
3x + 9 = x + 4 − 2 x + 4 + 1
Combine like terms
√
3x + 9 = x + 5 − 2 x + 4
Isolate the term with radical
− x − 5 − x − 5
Subtract x and 5 from both sides
√
2x + 4 = − 2 x + 4
Square both sides
√
(2x + 4)2 = ( − 2 x + 4)2
Evaluate exponents
4x2 + 16x + 16 = 4(x + 4)
Distribute
4x2 + 16x + 16 = 4x + 16
Make equation equal zero
− 4x − 16 − 4x − 16
Subtract 4x and 16 from both sides
4x2 + 12x = 0
Factor
4x(x + 3) = 0
Set each factor equal to zero
4x = 0 or x + 3 = 0
Solve
4
4
− 3 − 3
x = 0 or x = − 3
Check solutions in original
p3(0) + 9 − p(0) + 4 = − 1 Check x = 0 first
√
√
9 − 4 = − 1
Take roots
3 − 2 = − 1
Subtract
1 = − 1
False, extraneous solution
p3( − 3) + 9 − p( − 3) + 4 = − 1 Check x = − 3
√−9+9 −p(−3)+4 =−1 Add
√
√
0 − 1 = − 1
Take roots
0 − 1 = − 1
Subtract
− 1 = − 1
True! It works
x = − 3
Our Solution
330

---

9.1 Practice - Solving with Radicals
Solve.
√
√
1)
2x + 3 − 3 = 0
2)
5x + 1 − 4 = 0
√
√
√
3)
6x − 5 − x = 0
4)
x + 2 − x = 2
√
√
5) 3 + x =
6x + 13
6) x − 1 = 7 − x
√
√
√
7)
3 − 3x − 1 = 2x
8)
2x + 2 = 3 + 2x − 1
√
√
√
√
9)
4x + 5 − x + 4 = 2
10)
3x + 4 − x + 2 = 2
√
√
√
√
11)
2x + 4 − x + 3 = 1
12)
7x + 2 − 3x + 6 = 6
√
√
√
√
13)
2x + 6 − x + 4 = 1
14)
4x − 3 − 3x + 1 = 1
√
√
√
√
15)
6 − 2x − 2x + 3 = 3
16)
2 − 3x − 3x + 7 = 3
331

---

9.2
Quadratics - Solving with Exponents
Objective: Solve equations with exponents using the odd root property
and the even root property.
Another type of equation we can solve is one with exponents. As you might
expect we can clear exponents by using roots. This is done with very few unex-
pected results when the exponent is odd. We solve these problems very straight
forward using the odd root property
√
Odd Root Property: if an = b, then a = n b when n is odd
Example 449.
x5 = 32
Use odd root property
√
5
√
x5 = 5 32
Simplify roots
x = 2
Our Solution
However, when the exponent is even we will have two results from taking an even
root of both sides. One will be positive and one will be negative. This is because
both 32 = 9 and ( − 3)2 = 9. so when solving x2 = 9 we will have two solutions, one
positive and one negative: x = 3 and − 3
√
Even Root Property: if an = b, then a = ± n b when n is even
Example 450.
x4 = 16
Use even root property ( ± )
332

---

√
4
√
x4 = ± 4 16
Simplify roots
x = ± 2
Our Solution
World View Note: In 1545, French Mathematicain Gerolamo Cardano pub-
lished his book The Great Art, or the Rules of Algebra which included the solu-
tion of an equation with a fourth power, but it was considered absurd by many to
take a quantity to the fourth power because there are only three dimensions!
Example 451.
(2x + 4)2 = 36
Use even root property ( ± )
√
p(2x + 4)2 = ± 36
Simplify roots
2x + 4 = ± 6
To avoid sign errors we need two equations
2x + 4 = 6 or 2x + 4 = − 6
One equation for + , one equation for −
− 4 − 4
− 4 − 4
Subtract 4 from both sides
2x = 2 or 2x = − 10
Divide both sides by 2
2
2
2
2
x = 1 or x = − 5
Our Solutions
In the previous example we needed two equations to simplify because when we
took the root, our solutions were two rational numbers, 6 and − 6. If the roots did
not simplify to rational numbers we can keep the ± in the equation.
Example 452.
(6x − 9)2 = 45
Use even root property ( ± )
√
p(6x − 9)2 = ± 45
Simplify roots
√
6x − 9 = ± 3 5
Use one equation because root did not simplify to rational
+ 9 + 9
Add 9 to both sides
√
6x = 9 ± 3 5
Divide both sides by 6
6
6 √
9 ± 3 5
x =
Simplify, divide each term by 3
6
√
3 ± 5
x =
Our Solution
2
333

---

When solving with exponents, it is important to first isolate the part with the
exponent before taking any roots.
Example 453.
(x + 4)3 − 6 = 119
Isolate part with exponent
+ 6
+ 6
(x + 4)3 = 125
Use odd root property
√
3
p(x + 4)3 = 125
Simplify roots
x + 4 = 5
Solve
− 4 − 4
Subtract 4 from both sides
x = 1
Our Solution
Example 454.
(6x + 1)2 + 6 = 10
Isolate part with exponent
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
(6x + 1)2 = 4
Use even root property ( ± )
√
p(6x + 1)2 = ± 4
Simplify roots
6x + 1 = ± 2
To avoid sign errors, we need two equations
6x + 1 = 2 or 6x + 1 = − 2
Solve each equation
− 1 − 1
− 1 − 1
Subtract 1 from both sides
6x = 1 or 6x = − 3
Divide both sides by 6
6
6
6
6
1
1
x =
or x = −
Our Solution
6
2
When our exponents are a fraction we will need to first convert the fractional
m
√
exponent into a radical expression to solve. Recall that a
n
n
= ( a)m. Once we
have done this we can clear the exponent using either the even ( ± ) or odd root
property. Then we can clear the radical by raising both sides to an exponent
(remember to check answers if the index is even).
Example 455.
2
(4x + 1)5 = 9
Rewrite as a radical expression
√
(5 4x + 1)2 = 9
Clear exponent first with even root property ( ± )
q √
√
(5 4x + 1)2 = ± 9
Simplify roots
334

---

√
5 4x + 1 = ± 3 Clear radical by raising both sides to 5th power
√
(5 4x + 1)5 = ( ± 3)5
Simplify exponents
4x + 1 = ± 243
Solve, need 2 equations!
4x + 1 = 243 or 4x + 1 = − 243
− 1 − 1
− 1
− 1
Subtract 1 from both sides
4x = 242 or 4x = − 244
Divide both sides by 4
4
4
4
4
121
x =
, − 61
Our Solution
2
Example 456.
3
(3x − 2)4 = 64
Rewrite as radical expression
√
(4 3x − 2)3 = 64
Clear exponent first with odd root property
q
√
3
√
(4 3x − 2)3 = 3 64
Simplify roots
√
4 3x − 2 = 4 Even Index! Check answers.
√
(4 3x − 2)4 = 44
Raise both sides to 4th power
3x − 2 = 256
Solve
+ 2
+ 2
Add 2 to both sides
3x = 258
Divide both sides by 3
3
3
x = 86
Need to check answer in radical form of problem
(4p3(86) − 2)3 = 64
Multiply
√
(4 258 − 2)3 = 64
Subtract
√
(4 256)3 = 64
Evaluate root
43 = 64
Evaluate exponent
64 = 64
True! It works
x = 86
Our Solution
With rational exponents it is very helpful to convert to radical form to be able to
see if we need a ± because we used the even root property, or to see if we need
to check our answer because there was an even root in the problem. When
checking we will usually want to check in the radical form as it will be easier to
evaluate.
335

---

9.2 Practice - Solving with Exponents
Solve.
1) x2 = 75
2) x3 = − 8
3) x2 + 5 = 13
4) 4x3 − 2 = 106
5) 3x2 + 1 = 73
6) (x − 4)2 = 49
7) (x + 2)5 = − 243
8) (5x + 1)4 = 16
9) (2x + 5)3 − 6 = 21
10) (2x + 1)2 + 3 = 21
2
3
11) (x − 1)3 = 16
12) (x − 1)2 = 8
3
4
13) (2 − x)2 = 27
14) (2x + 3)3 = 16
2
15) (2x − 3)3 = 4
16) (x + 3)− 13 = 4
17) (x + 1 )− 23 = 4
18) (x
2
− 1)−53 = 32
3
19) (x − 1)−52 = 32
20) (x + 3)2 = − 8
4
3
21) (3x − 2)5 = 16
22) (2x + 3)2 = 27
3
4
23) (4x + 2)5 = − 8
24) (3 − 2x)3 = − 81
336

---

9.3
Quadratics - Complete the Square
Objective: Solve quadratic equations by completing the square.
When solving quadratic equations in the past we have used factoring to solve for
our variable. This is exactly what is done in the next example.
Example 457.
x2 + 5x + 6 = 0
Factor
(x + 3)(x + 2) = 0
Set each factor equal to zero
x + 3 = 0 or x + 2 = 0
Solve each equation
− 3 − 3
− 2 − 2
x = − 3
or
x = − 2
Our Solutions
However, the problem with factoring is all equations cannot be factored. Consider
the following equation: x2 − 2x − 7 = 0. The equation cannot be factored, however
√
√
there are two solutions to this equation, 1 + 2 2 and 1 − 2 2. To find these two
solutions we will use a method known as completing the square. When completing
the square we will change the quadratic into a perfect square which can easily be
solved with the square root property. The next example reviews the square root
property.
Example 458.
(x + 5)2 = 18
Square root of both sides
√
p(x + 5)2 = ± 18
Simplify each radical
√
x + 5 = ± 3 2
Subtract 5 from both sides
− 5 − 5 √
x = − 5 ± 3 2
Our Solution
337

---

To complete the square, or make our problem into the form of the previous
example, we will be searching for the third term in a trinomial. If a quadratic is
of the form x2 + b x + c, and a perfect square, the third term, c, can be easily

2
found by the formula
1 · b . This is shown in the following examples, where we
2
find the number that completes the square and then factor the perfect square.
Example 459.
 1
2
x2 + 8x + c
c =
· b
and our b = 8
2
 1
2
· 8
= 42 = 16
The third term to complete the square is 16
2
x2 + 8x + 16
Our equation as a perfect square, factor
(x + 4)2
Our Solution
Example 460.
 1
2
x2 − 7x + c
c =
· b
and our b = 7
2
 1
2
 7 2
49
49
· 7
=
=
The third term to complete the square is
2
2
4
4
49
x2 − 11x +
Our equation as a perfect square, factor
4

7 2
x −
Our Solution
2
Example 461.
5
 1
2
x2 + x + c
c =
· b
and our b = 8
3
2
 1 5 2  5 2
25
25
·
=
=
The third term to complete the square is
2 3
6
36
36
338

---

5
25
x2 + x +
Our equation as a perfect square, factor
3
36

5 2
x +
Our Solution
6
The process in the previous examples, combined with the even root property, is
used to solve quadratic equations by completing the square. The following five
steps describe the process used to complete the square, along with an example to
demonstrate each step.
Problem
3x2 + 18x − 6 = 0
+ 6 + 6
1. Separate constant term from variables
3x2 + 18x
= 6
3 x2 + 18x
= 6
2. Divide each term by a
3
3
3
x2 + 6x
= 2

2

2
3. Find value to complete the square:
1 · b
1 · 6 = 32 = 9
2
2
x2 + 6x
= 2
4. Add to both sides of equation
+ 9 + 9
x2 + 6x + 9 = 11
5. Factor
(x + 3)2 = 11
√
p(x + 3)2 = ± 11
√
Solve by even root property
x + 3 = ± 11
− 3 − 3√
x = − 3 ± 11
World View Note: The Chinese in 200 BC were the first known culture group
to use a method similar to completing the square, but their method was only used
to calculate positive roots.
The advantage of this method is it can be used to solve any quadratic equation.
The following examples show how completing the square can give us rational solu-
tions, irrational solutions, and even complex solutions.
Example 462.
2x2 + 20x + 48 = 0
Separate constant term from varaibles
339

---

− 48 − 48
Subtract 24
2x2 + 20x
= − 48
Divide by a or 2
2
2
2
 1
2
x2 + 10x
= − 24
Find number to complete the square:
· b
2
 1
2
· 10
= 52 = 25
Add 25 to both sides of the equation
2
x2 + 10x
= − 24
+ 25
+ 25
x2 + 10x + 25 = 1
Factor
(x + 5)2 = 1
Solve with even root property
√
p(x + 5)2 = ± 1
Simplify roots
x + 5 = ± 1
Subtract 5 from both sides
− 5 − 5
x = − 5 ± 1
Evaluate
x = − 4 or − 6
Our Solution
Example 463.
x2 − 3x − 2 = 0
Separate constant from variables
+ 2 + 2
Add 2 to both sides
 1
2
x2 − 3x
= 2
No a, find number to complete the square
· b
2
 1
2
 3 2
9
9
· 3
=
=
Add
to both sides,
2
2
4
4
2 4 
9
8
9
17
+
=
+
=
Need common denominator (4) on right
1 4
4
4
4
4
9
8
9
17
x2 − 3x + = + =
Factor
4
4
4
4

3 2
17
x −
=
Solve using the even root property
2
4
s
3 2
r 17
x −
= ±
Simplify roots
2
4
√
3
± 17
3
x − =
Add
to both sides,
2
2
2
340

---

3
3
+
+
we already have a common denominator
2
2
√
3 ± 17
x =
Our Solution
2
Example 464.
3x2 = 2x − 7
Separate the constant from the variables
− 2x − 2x
Subtract 2x from both sides
3x2 − 2x = − 7
Divide each term by a or 3
3
3
3
2
7
 1
2
x2 − x
= −
Find the number to complete the square
· b
3
3
2
 1 2 2  1 2
1
·
=
=
Add to both sides,
2 3
3
9
7 3 
1
− 21
1
− 20
−
+
=
+
=
get common denominator on right
3 3
9
3
9
9
2
1
20
x2 − x + = −
Factor
3
3
9

1 2
20
x −
= −
Solve using the even root property
3
9
s
1 2
r − 20
x −
= ±
Simplify roots
3
9
√
1
± 2i 5
1
x − =
Add
to both sides,
3
3
3
1
1
+
+
Already have common denominator
3
3
√
1 ± 2i 5
x =
Our Solution
3
As several of the examples have shown, when solving by completing the square we
will often need to use fractions and be comfortable finding common denominators
and adding fractions together. Once we get comfortable solving by completing the
square and using the five steps, any quadratic equation can be easily solved.
341

---

9.3 Practice - Complete the Square
Find the value that completes the square and then rewrite as a perfect
square.
1) x2 − 30x + __
2) a2 − 24a + __
3) m2 − 36m + __
4) x2 − 34x + __
5) x2 − 15x + __
6) r2 − 1r + __
9
7) y2 − y + __
8) p2 − 17p + __
Solve each equation by completing the square.
9) x2 − 16x + 55 = 0
10) n2 − 8n − 12 = 0
11) v2 − 8v + 45 = 0
12) b2 + 2b + 43 = 0
13) 6x2 + 12x + 63 = 0
14) 3x2 − 6x + 47 = 0
15) 5k2 − 10k + 48 = 0
16) 8a2 + 16a − 1 = 0
17) x2 + 10x − 57 = 4
18) p2 − 16p − 52 = 0
19) n2 − 16n + 67 = 4
20) m2 − 8m − 3 = 6
21) 2x2 + 4x + 38 = − 6
22) 6r2 + 12r − 24 = − 6
23) 8b2 + 16b − 37 = 5
24) 6n2 − 12n − 14 = 4
25) x2 = − 10x − 29
26) v2 = 14v + 36
27) n2 = − 21 + 10n
28) a2 − 56 = − 10a
29) 3k2 + 9 = 6k
30) 5x2 = − 26 + 10x
31) 2x2 + 63 = 8x
32) 5n2 = − 10n + 15
33) p2 − 8p = − 55
34) x2 + 8x + 15 = 8
35) 7n2 − n + 7 = 7n + 6n2
36) n2 + 4n = 12
37) 13b2 + 15b + 44 = − 5 + 7b2 + 3b
38) − 3r2 + 12r + 49 = − 6r2
39) 5x2 + 5x = − 31 − 5x
40) 8n2 + 16n = 64
41) v2 + 5v + 28 = 0
42) b2 + 7b − 33 = 0
43) 7x2 − 6x + 40 = 0
44) 4x2 + 4x + 25 = 0
45) k2 − 7k + 50 = 3
46) a2 − 5a + 25 = 3
47) 5x2 + 8x − 40 = 8
48) 2p2 − p + 56 = − 8
49) m2 = − 15 + 9m
50) n2 − n = − 41
51) 8r2 + 10r = − 55
52) 3x2 − 11x = − 18
53) 5n2 − 8n + 60 = − 3n + 6 + 4n2
54) 4b2 − 15b + 56 = 3b2
55) − 2x2 + 3x − 5 = − 4x2
56) 10v2 − 15v = 27 + 4v2 − 6v
342

---

9.4
Quadratics - Quadratic Formula
Objective: Solve quadratic equations by using the quadratic formula.
The general from of a quadratic is ax2 + bx + c = 0. We will now solve this for-
mula for x by completing the square
Example 465.
ax2 + bc + c = 0
Separate constant from variables
− c − c
Subtract c from both sides
ax2 + bx
= − c
Divide each term by a
a
a
a
b
− c
x2 + x
=
Find the number that completes the square
a
a
 1 b 2  b 2
b2
·
=
=
Add to both sides,
2 a
2a
4a2
b2
c 4a 
b2
4ac
b2 − 4ac
−
=
−
=
Get common denominator on right
4a2
a
4a
4a2
4a2
4a2
b
b2
b2
4ac
b2 − 4ac
x2 + x +
=
−
=
Factor
a
4a2
4a2
4a2
4a2

b 2
b2 − 4ac
x +
=
Solve using the even root property
2a
4a2
s
r
b 2
b2 − 4ac
x +
= ±
Simplify roots
2a
4a2
√
b
± b2 − 4ac
b
x +
=
Subtract
from both sides
2a
2a
2a
√
− b ± b2 − 4ac
x =
Our Solution
2a
This solution is a very important one to us. As we solved a general equation by
completing the square, we can use this formula to solve any quadratic equation.
Once we identify what a, b, and c are in the quadratic, we can substitute those
343

---

p
values into x = − b ± b2 − 4ac and we will get our two solutions. This formula is
2a
known as the quadratic fromula
p
− b ±
b2 − 4ac
Quadratic Formula: if ax2 + b x + c = 0 then x =
2a
World View Note: Indian mathematician Brahmagupta gave the first explicit
formula for solving quadratics in 628. However, at that time mathematics was not
done with variables and symbols, so the formula he gave was, “To the absolute
number multiplied by four times the square, add the square of the middle term;
the square root of the same, less the middle term, being divided by twice the
square
is
the
value.”
This
would
translate
to
p 4ac + b2 − b as the solution to the equation ax2 + bx = c.
2a
We can use the quadratic formula to solve any quadratic, this is shown in the fol-
lowing examples.
Example 466.
x2 + 3x + 2 = 0
a = 1, b = 3, c = 2, use quadratic formula
− 3 ± p32 − 4(1)(2)
x =
Evaluate exponent and multiplication
2(1) √
− 3 ± 9 − 8
x =
Evaluate subtraction under root
2
√
− 3 ± 1
x =
Evaluate root
2
− 3 ± 1
x =
Evaluate ± to get two answers
2
− 2
− 4
x =
or
Simplify fractions
2
2
x = − 1 or − 2
Our Solution
As we are solving using the quadratic formula, it is important to remember the
equation must fist be equal to zero.
Example 467.
25x2 = 30x + 11
First set equal to zero
− 30x − 11 − 30x − 11
Subtract 30x and 11 from both sides
25x2 − 30x − 11 = 0
a = 25, b = − 30, c = − 11, use quadratic formula
30 ± p( − 30)2 − 4(25)( − 11)
x =
Evaluate exponent and multiplication
2(25)
344

---

√
30 ± 900 + 1100
x =
Evaluate addition inside root
50 √
30 ± 2000
x =
Simplify root
50 √
30 ± 20 5
x =
Reduce fraction by dividing each term by 10
50 √
3 ± 2 5
x =
Our Solution
5
Example 468.
3x2 + 4x + 8 = 2x2 + 6x − 5
First set equation equal to zero
− 2x2 − 6x + 5 − 2x2 − 6x + 5
Subtract 2x2 and 6x and add 5
x2 − 2x + 13 = 0
a = 1, b = − 2, c = 13, use quadratic formula
2 ± p( − 2)2 − 4(1)(13)
x =
Evaluate exponent and multiplication
2(1) √
2 ± 4 − 52
x =
Evaluate subtraction inside root
2
√
2 ± − 48
x =
Simplify root
2 √
2 ± 4i 3
x =
Reduce fraction by dividing each term by 2
2 √
x = 1 ± 2i 3
Our Solution
When we use the quadratic formula we don’t necessarily get two unique answers.
We can end up with only one solution if the square root simplifies to zero.
Example 469.
4x2 − 12x + 9 = 0
a = 4, b = − 12, c = 9, use quadratic formula
12 ± p( − 12)2 − 4(4)(9)
x =
Evaluate exponents and multiplication
2(4)
√
12 ± 144 − 144
x =
Evaluate subtraction inside root
8
√
12 ± 0
x =
Evaluate root
8
12 ± 0
x =
Evaluate ±
812
x =
Reduce fraction
83
x =
Our Solution
2
345

---

If a term is missing from the quadratic, we can still solve with the quadratic for-
mula, we simply use zero for that term. The order is important, so if the term
with x is missing, we have b = 0, if the constant term is missing, we have c = 0.
Example 470.
3x2 + 7 = 0
a = 3, b = 0(missing term), c = 7
− 0 ± p02 − 4(3)(7)
x =
Evaluate exponnets and multiplication, zeros not needed
2(3) √
± − 84
x =
Simplify root
6√
± 2i 21
x =
Reduce, dividing by 2
6√
± i 21
x =
Our Solution
3
We have covered three different methods to use to solve a quadratic: factoring,
complete the square, and the quadratic formula. It is important to be familiar
with all three as each has its advantage to solving quadratics. The following table
walks through a suggested process to decide which method would be best to use
for solving a problem.
x2 − 5x + 6 = 0
1. If it can easily factor, solve by factoring
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 or x = 3
x2 + 2x = 4
 1
2
· 2 = 12 = 1
2
2. If a = 1 and b is even, complete the square
x2 + 2x + 1 = 5
(x + 1)2 = 5
√
x + 1 = ± 5
√
x = − 1 ± 5
x2 − 3x + 4 = 0
p
3. Otherwise, solve by the quadratic formula
x = 3 ± ( − 3)2 − 4(1)(4)
2(1)
√
x = 3 ± i 7
2
The above table is mearly a suggestion for deciding how to solve a quadtratic.
Remember completing the square and quadratic formula will always work to solve
any quadratic. Factoring only woks if the equation can be factored.
346

---

9.4 Practice - Quadratic Formula
Solve each equation with the quadratic formula.
1) 4a2 + 6 = 0
2) 3k2 + 2 = 0
3) 2x2 − 8x − 2 = 0
4) 6n2 − 1 = 0
5) 2m2 − 3 = 0
6) 5p2 + 2p + 6 = 0
7) 3r2 − 2r − 1 = 0
8) 2x2 − 2x − 15 = 0
9) 4n2 − 36 = 0
10) 3b2 + 6 = 0
11) v2 − 4v − 5 = − 8
12) 2x2 + 4x + 12 = 8
13) 2a2 + 3a + 14 = 6
14) 6n2 − 3n + 3 = − 4
15) 3k2 + 3k − 4 = 7
16) 4x2 − 14 = − 2
17) 7x2 + 3x − 16 = − 2
18) 4n2 + 5n = 7
19) 2p2 + 6p − 16 = 4
20) m2 + 4m − 48 = − 3
21) 3n2 + 3n = − 3
22) 3b2 − 3 = 8b
23) 2x2 = − 7x + 49
24) 3r2 + 4 = − 6r
25) 5x2 = 7x + 7
26) 6a2 = − 5a + 13
27) 8n2 = − 3n − 8
28) 6v2 = 4 + 6v
29) 2x2 + 5x = − 3
30) x2 = 8
31) 4a2 − 64 = 0
32) 2k2 + 6k − 16 = 2k
33) 4p2 + 5p − 36 = 3p2
34) 12x2 + x + 7 = 5x2 + 5x
35) − 5n2 − 3n − 52 = 2 − 7n2
36) 7m2 − 6m + 6 = − m
37) 7r2 − 12 = − 3r
38) 3x2 − 3 = x2
39) 2n2 − 9 = 4
40) 6b2 = b2 + 7 − b
347

---

9.5
Quadratics - Build Quadratics From Roots
Objective: Find a quadratic equation that has given roots using reverse
factoring and reverse completing the square.
Up to this point we have found the solutions to quadratics by a method such as
factoring or completing the square. Here we will take our solutions and work
backwards to find what quadratic goes with the solutions.
We will start with rational solutions. If we have rational solutions we can use fac-
toring in reverse, we will set each solution equal to x and then make the equation
equal to zero by adding or subtracting. Once we have done this our expressions
will become the factors of the quadratic.
Example 471.
The solutions are 4 and − 2
Set each solution equal to x
x = 4 or x = − 2
Make each equation equal zero
− 4 − 4 + 2 + 2
Subtract 4 from first, add 2 to second
x − 4 = 0 or x + 2 = 0
These expressions are the factors
(x − 4)(x + 2) = 0
FOIL
x2 + 2x − 4x − 8
Combine like terms
x2 − 2x − 8 = 0
Our Solution
If one or both of the solutions are fractions we will clear the fractions by multi-
plying by the denominators.
Example 472.
2
3
The solution are
and
Set each solution equal to x
3
4
2
3
x =
or x =
Clear fractions by multiplying by denominators
3
4
3x = 2 or 4x = 3
Make each equation equal zero
− 2 − 2
− 3 − 3
Subtract 2 from the first, subtract 3 from the second
3x − 2 = 0 or 4x − 3 = 0
These expressions are the factors
(3x − 2)(4x − 3) = 0
FOIL
12x2 − 9x − 8x + 6 = 0
Combine like terms
348

---

12x2 − 17x + 6 = 0
Our Solution
If the solutions have radicals (or complex numbers) then we cannot use reverse
factoring. In these cases we will use reverse completing the square. When there
are radicals the solutions will always come in pairs, one with a plus, one with a
minus, that can be combined into “one” solution using ± . We will then set this
solution equal to x and square both sides. This will clear the radical from our
problem.
Example 473.
√
√
The solutions are 3 and − 3
Write as ′′one′′ expression equal to x
√
x = ± 3
Square both sides
x2 = 3
Make equal to zero
− 3 − 3
Subtract 3 from both sides
x2 − 3 = 0
Our Solution
We may have to isolate the term with the square root (with plus or minus) by
adding or subtracting. With these problems, remember to square a binomial we
use the formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Example 474.
√
√
The solutions are 2 − 5 2 and 2 + 5 2
Write as ′′one′′ expression equal to x
√
x = 2 ± 5 2
Isolate the square root term
− 2 − 2
Subtract 2 from both sides
√
x − 2 = ± 5 2
Square both sides
x2 − 4x + 4 = 25 · 2
x2 − 4x + 4 = 50
Make equal to zero
− 50 − 50
Subtract 50
x2 − 4x − 46 = 0
Our Solution
World View Note: Before the quadratic formula, before completing the square,
before factoring, quadratics were solved geometrically by the Greeks as early as
300 BC! In 1079 Omar Khayyam, a Persian mathematician solved cubic equations
geometrically!
If the solution is a fraction we will clear it just as before by multiplying by the
denominator.
349

---

Example 475.
√
√
2 + 3
2 − 3
The solutions are
and
Write as ′′one′′ expresion equal to x
4
4√
2 ± 3
x =
Clear fraction by multiplying by 4
4√
4x = 2 ± 3
Isolate the square root term
− 2 − 2
Subtract 2 from both sides
√
4x − 2 = ± 3
Square both sides
16x2 − 16x + 4 = 3
Make equal to zero
− 3 − 3
Subtract 3
16x2 − 16x + 1 = 0
Our Solution
The process used for complex solutions is identical to the process used for radi-
cals.
Example 476.
The solutions are 4 − 5i and 4 + 5i
Write as ′′one′′ expression equal to x
x = 4 ± 5i
Isolate the i term
− 4 − 4
Subtract 4 from both sides
x − 4 = ± 5i
Square both sides
x2 − 8x + 16 = 25i2
i2 = − 1
x2 − 8x + 16 = − 25
Make equal to zero
+ 25
+ 25
Add 25 to both sides
x2 − 8x + 41 = 0
Our Solution
Example 477.
3 − 5i
3 + 5i
The solutions are
and
Write as ′′one′′ expression equal to x
2
2
3 ± 5i
x =
Clear fraction by multiplying by denominator
2
2x = 3 ± 5i
Isolate the i term
− 3 − 3
Subtract 3 from both sides
2x − 3 = ± 5i
Square both sides
4x2 − 12x + 9 = 5i2
i2 = − 1
4x2 − 12x + 9 = − 25
Make equal to zero
+ 25 + 25
Add 25 to both sides
4x2 − 12x + 34 = 0
Our Solution
350

---

9.5 Practice - Build Quadratics from Roots
From each problem, find a quadratic equation with those numbers as
its solutions.
1) 2, 5
2) 3, 6
3) 20, 2
4) 13, 1
5) 4, 4
6) 0, 9
7) 0, 0
8) − 2, − 5
9) − 4, 11
10) 3, − 1
11) 3, 1
4 4
12) 5, 5
8 7
13) 1, 1
2 3
14) 1, 2
2 3
15) 3, 4
7
16) 2, 29
17) − 1, 5
3 6
18) 5, − 1
3
2
19) − 6, 19
20) − 2, 0
5
21) ± 5
22) ± 1
23) ± 1
√
5
24) ± 7
√
25) ± 11
√
26) ± 2 3
√
27) ± 3
4
28) ± 11i
√
√
29) ± i 13
30) ± 5i 2
√
√
31) 2 ± 6
32) − 3 ± 2
33) 1 ± 3i
34) − 2 ± 4i
√
√
35) 6 ± i 3
36) − 9 ± i 5
√
37) − 1 ± 6
38) 2 ± 5i
2
3
√
√
39) 6 ± i 2
40) − 2 ± i 15
8
2
351

---

9.6
Quadratics - Quadratic in Form
Objective: Solve equations that are quadratic in form by substitution
to create a quadratic equation.
We have seen three different ways to solve quadratics: factoring, completing the
square, and the quadratic formula. A quadratic is any equation of the form 0 =
a x2 + bx + c, however, we can use the skills learned to solve quadratics to solve
problems with higher (or sometimes lower) powers if the equation is in what is
called quadratic form.
Quadratic Form: 0 = axm + bxn + c where m = 2n
An equation is in quadratic form if one of the exponents on a variable is double
the exponent on the same variable somewhere else in the equation. If this is the
case we can create a new variable, set it equal to the variable with smallest expo-
nent. When we substitute this into the equation we will have a quadratic equa-
tion we can solve.
World View Note: Arab mathematicians around the year 1000 were the first to
use this method!
Example 478.
x4 − 13x2 + 36 = 0
Quadratic form, one exponent, 4, double the other, 2
y = x2
New variable equal to the variable with smaller exponent
y2 = x4
Square both sides
y2 − 13y + 36 = 0
Substitute y for x2 and y2 for x4
(y − 9)(y − 4) = 0
Solve. We can solve this equation by factoring
y − 9 = 0 or y − 4 = 0
Set each factor equal to zero
+ 9 + 9
+ 4 + 4
Solve each equation
y = 9 or y = 4
Solutions for y, need x. We will use y = x2 equation
9 = x2 or 4 = x2
Substitute values for y
√
√
√
√
± 9 = x2 or ± 4 = x2
Solve using the even root property, simplify roots
x = ± 3, ± 2
Our Solutions
When we have higher powers of our variable, we could end up with many more
solutions. The previous equation had four unique solutions.
352

---

Example 479.
a−2 − a−1 − 6 = 0
Quadratic form, one exponent, − 2, is double the other, − 1
b = a−1
Make a new variable equal to the variable with lowest exponent
b2 = a−2
Square both sides
b2 − b − 6 = 0
Substitute b2 for a−2 and b for a−1
(b − 3)(b + 2) = 0
Solve. We will solve by factoring
b − 3 = 0 or b + 2 = 0
Set each factor equal to zero
+ 3 + 3
− 2 − 2
Solve each equation
b = 3 or b = − 2
Solutions for b, still need a, substitute into b = a−1
3 = a−1 or − 2 = a−1
Raise both sides to − 1 power
3−1 = a or ( − 2)−1 = a
Simplify negative exponents
1
1
a = , −
Our Solution
3
2
Just as with regular quadratics, these problems will not always have rational solu-
tions. We also can have irrational or complex solutions to our equations.
Example 480.
2x4 + x2 = 6
Make equation equal to zero
− 6 − 6
Subtract 6 from both sides
2x4 + x2 − 6 = 0
Quadratic form, one exponent, 4, double the other, 2
y = x2
New variable equal variable with smallest exponent
y2 = x4
Square both sides
2y2 + y − 6 = 0
Solve. We will factor this equation
(2y − 3)(y + 2) = 0
Set each factor equal to zero
2y − 3 = 0 or y + 2 = 0
Solve each equation
+ 3 + 3
− 2 − 2
2y = 3 or y = − 2
2
2
3
y =
or y = − 2
We have y, still need x. Substitute into y = x2
2
3 = x2 or −2=x2 Squarerootofeachside
2
r 3
√
√
√
±
= x2 or ± − 2 = x2
Simplify each root, rationalize denominator
2
√
± 6
√
x =
, ± i 2
Our Solution
2
353

---

When we create a new variable for our substitution, it won’t always be equal to
just another variable. We can make our substitution variable equal to an expres-
sion as shown in the next example.
Example 481.
3(x − 7)2 − 2(x − 7) + 5 = 0
Quadratic form
y = x − 7
Define new variable
y2 = (x − 7)2
Square both sides
3y2 − 2y + 5 = 0
Substitute values into original
(3y − 5)(y + 1) = 0
Factor
3y − 5 = 0 or y + 1 = 0
Set each factor equal to zero
+ 5 + 5
− 1 − 1
Solve each equation
3y = 5 or y = − 1
3
3
5
y =
or y = − 1
We have y, we still need x.
3
5 = x −7 or −1=x −7 Substituteinto y =x −7
3
21
+
+ 7
+ 7
+ 7
Add 7. Use common denominator as needed
3
26
x =
, 6
Our Solution
3
Example 482.
(x2 − 6x)2 = 7(x2 − 6x) − 12
Make equation equal zero
− 7(x2 − 6x) + 12 − 7(x2 − 6x) + 12
Move all terms to left
(x2 − 6x)2 − 7(x2 − 6x) + 12 = 0
Quadratic form
y = x2 − 6x
Make new variable
y2 = (x2 − 6x)2
Square both sides
y2 − 7y + 12 = 0
Substitute into original equation
(y − 3)(y − 4) = 0
Solve by factoring
y − 3 = 0 or y − 4 = 0
Set each factor equal to zero
+ 3 + 3
+ 4 + 4
Solve each equation
y = 3 or y = 4
We have y, still need x.
3 = x2 − 6x or 4 = x3 − 6x
Solve each equation, complete the square
 1
2
· 6
= 32 = 9
Add 9 to both sides of each equation
2
12 = x2 − 6x + 9 or 13 = x2 − 6x + 9
Factor
354

---

12 = (x − 3)2 or 13 = (x − 3)2
Use even root property
√
√
± 12 =
(
p
p
x − 3)2 or ± 13 =
(x − 3)2
Simplify roots
√
√
± 2 3 = x − 3 or ± 13 = x − 3
Add 3 to both sides
+ 3
+ 3
+ 3
+ 3
√
√
x = 3 ± 2 3, 3 ± 13
Our Solution
The higher the exponent, the more solution we could have. This is illustrated in
the following example, one with six solutions.
Example 483.
x6 − 9x3 + 8 = 0
Quadratic form, one exponent, 6, double the other, 3
y = x3
New variable equal to variable with lowest exponent
y2 = x6
Square both sides
y2 − 9y + 8 = 0
Substitute y2 for x6 and y for x3
(y − 1)(y − 8) = 0
Solve. We will solve by factoring.
y − 1 = 0 or y − 8 = 0
Set each factor equal to zero
+ 1 + 1
+ 8 + 8
Solve each equation
y = 1 or y = 8
Solutions for y, we need x. Substitute into y = x3
x3 = 1 or x3 = 8
Set each equation equal to zero
− 1 − 1
− 8 − 8
x3 − 1 = 0 or x3 − 8 = 0
Factor each equation, difference of cubes
(x − 1)(x2 + x + 1) = 0
First equation factored. Set each factor equal to zero
x − 1 = 0 or x2 + x + 1 = 0
First equation is easy to solve
+ 1 + 1
x = 1
First solution
√
− 1 ± p12 − 4(1)(1)
1 ± i 3
=
Quadratic formula on second factor
2(1)
2
(x − 2)(x2 + 2x + 4) = 0
Factor the second difference of cubes
x − 2 = 0 or x2 + 2x + 4 = 0
Set each factor equal to zero.
+ 2 + 2
First equation is easy to solve
x = 2
Our fourth solution
− 2 ± p22 − 4(1)(4)
√
= − 1 ± i 3
Quadratic formula on second factor
2(1)
√
1 ± i 3
√
x = 1, 2,
, − 1 ± i 3
Our final six solutions
2
355

---

9.6 Practice - Quadratic in Form
Solve each of the following equations. Some equations will have
complex roots.
1) x4 − 5x2 + 4 = 0
2) y4 − 9y2 + 20 = 0
3) m4 − 7m2 − 8 = 0
4) y4 − 29y2 + 100 = 0
5) a4 − 50a2 + 49 = 0
6) b4 − 10b2 + 9 = 0
7) x4 − 25x2 + 144 = 0
8) y4 − 40y2 + 144 = 0
9) m4 − 20m2 + 64 = 0
10) x6 − 35x3 + 216 = 0
11) z6 − 216 = 19z3
12) y4 − 2y2 = 24
13) 6z4 − z2 = 12
14) x−2 − x−1 − 12 = 0
2
1
15) x3 − 35 = 2x3
16) 5y−2 − 20 = 21y−1
17) y−6 + 7y−3 = 8
18) x4 − 7x2 + 12 = 0
19) x4 − 2x2 − 3 = 0
20) x4 + 7x2 + 10 = 0
21) 2x4 − 5x2 + 2 = 0
22) 2x4 − x2 − 3 = 0
23) x4 − 9x2 + 8 = 0
24) x6 − 10x3 + 16 = 0
25) 8x6 − 9x3 + 1 = 0
26) 8x6 + 7x3 − 1 = 0
27) x8 − 17x4 + 16 = 0
28) (x − 1)2 − 4(x − 1) = 5
29) (y + b)2 − 4(y + b) = 21
30) (x + 1)2 + 6(x + 1) + 9 = 0
31) (y + 2)2 − 6(y + 2) = 16
32) (m − 1)2 − 5(m − 1) = 14
33) (x − 3)2 − 2(x − 3) = 35
34) (a + 1)2 + 2(a − 1) = 15
35) (r − 1)2 − 8(r − 1) = 20
36) 2(x − 1)2 − (x − 1) = 3
37) 3(y + 1)2 − 14(y + 1) = 5
38) (x2 − 3)2 − 2(x2 − 3) = 3
39) (3x2 − 2x)2 + 5 = 6(3x2 − 2x)
40) (x2 + x + 3)2 + 15 = 8(x2 + x + 3)
2
1
41) 2(3x + 1)3 − 5(3x + 1)3 = 88
42) (x2 + x)2 − 8(x2 + x) + 12 = 0
43) (x2 + 2x)2 − 2(x2 + 2x) = 3
44) (2x2 + 3x)2 = 8(2x2 + 3x) + 9
45) (2x2 − x)2 − 4(2x2 − x) + 3 = 0
46) (3x2 − 4x)2 = 3(3x2 − 4x) + 4
356

---

9.7
Quadratics - Rectangles
Objective: Solve applications of quadratic equations using rectangles.
An application of solving quadratic equations comes from the formula for the area
of a rectangle. The area of a rectangle can be calculated by multiplying the width
by the length. To solve problems with rectangles we will first draw a picture to
represent the problem and use the picture to set up our equation.
Example 484.
The length of a rectangle is 3 more than the width. If the area is 40 square
inches, what are the dimensions?
40
x
We do not know the width, x.
x + 3
Length is 4 more, or x + 4, and area is 40.
357

---

x(x + 3) = 40
Multiply length by width to get area
x2 + 3x = 40
Distribute
− 40 − 40
Make equation equal zero
x2 + 3x − 40 = 0
Factor
(x − 5)(x + 8) = 0
Set each factor equal to zero
x − 5 = 0 or x + 8 = 0
Solve each equation
+ 5 + 5
− 8 − 8
x = 5 or x = − 8
Our x is a width, cannot be negative.
(5) + 3 = 8
Length is x + 3, substitute 5 for x to find length
5 in by 8in
Our Solution
The above rectangle problem is very simple as there is only one rectangle
involved. When we compare two rectangles, we may have to get a bit more cre-
ative.
Example 485.
If each side of a square is increased by 6, the area is multiplied by 16. Find the
side of the original square.
x2 x
Square has all sides the same length
x
Area is found by multiplying length by width
16x2
x + 6
Each side is increased by 6,
x + 6
Area is 16 times original area
(x + 6)(x + 6) = 16x2
Multiply length by width to get area
x2 + 12x + 36 = 16x2
FOIL
− 16x2
− 16x2
Make equation equal zero
− 15x2 + 12x + 36 = 0
Divide each term by − 1, changes the signs
15x2 − 12x − 36 = 0
Solve using the quadratic formula
12 ± p( − 12)2 − 4(15)( − 36)
x =
Evaluate
2(15)
√
16 ± 2304
x =
30
16 ± 48
x =
Can′t have a negative solution, we will only add
30
60
x =
= 2
Our x is the original square
30
358

---

2
Our Solution
Example 486.
The length of a rectangle is 4 ft greater than the width. If each dimension is
increased by 3, the new area will be 33 square feet larger. Find the dimensions of
the original rectangle.
x(x + 4) x
We don′t know width, x, length is 4 more, x + 4
x + 4
Area is found by multiplying length by width
Increase each side by 3.
x(x + 4) + 33 x + 3
width becomes x + 3, length x + 4 + 3 = x + 7
x + 7
Area is 33 more than original, x(x + 4) + 33
(x + 3)(x + 7) = x(x + 4) + 33
Set up equation, length times width is area
x2 + 10x + 21 = x2 + 4x + 33
Subtract x2 from both sides
− x2
− x2
10x + 21 = 4x + 33
Move variables to one side
− 4x
− 4x
Subtract 4x from each side
6x + 21 = 33
Subtract 21 from both sides
− 21 − 21
6x = 12
Divide both sides by 6
6
6
x = 2
x is the width of the original
(2) + 4 = 6
x + 4 is the length. Substitute 2 to find
2 ft by 6ft
Our Solution
From one rectangle we can find two equations. Perimeter is found by adding all
the sides of a polygon together. A rectangle has two widths and two lengths, both
the same size. So we can use the equation P = 2l + 2w (twice the length plus
twice the width).
Example 487.
The area of a rectangle is 168 cm2. The perimeter of the same rectangle is 52 cm.
What are the dimensions of the rectangle?
x
We don′t know anything about length or width
y
Use two variables, x and y
xy = 168
Length times width gives the area.
2x + 2y = 52
Also use perimeter formula.
− 2x
− 2x
Solve by substitution, isolate y
2y = − 2x + 52
Divide each term by 2
359

---

2
2
2
y = − x + 26
Substitute into area equation
x( − x + 26) = 168
Distribute
− x2 + 26x = 168
Divide each term by − 1, changing all the signs
x2 − 26x = − 168
Solve by completing the square.
 1
2
 1
2
· 26
= 132 = 169
Find number to complete the square:
· b
2
2
x2 − 26x + 324 = 1
Add 169 to both sides
(x − 13)2 = 1
Factor
x − 13 = ± 1
Square root both sides
+ 13 + 13
x = 13 ± 1
Evaluate
x = 14 or 12
Two options for first side.
y = − (14) + 26 = 12
Substitute 14 into y = − x + 26
y = − (12) + 26 = 14
Substitute 12 into y = − x + 26
Both are the same rectangle, variables switched!
12 cm by 14cm
Our Solution
World View Note: Indian mathematical records from the 9th century demon-
strate that their civilization had worked extensivly in geometry creating religious
alters of various shapes including rectangles.
Another type of rectangle problem is what we will call a “frame problem”. The
idea behind a frame problem is that a rectangle, such as a photograph, is centered
inside another rectangle, such as a frame. In these cases it will be important to
rememember that the frame extends on all sides of the rectangle. This is shown in
the following example.
Example 488.
An 8 in by 12 in picture has a frame of uniform width around it. The area of the
frame is equal to the area of the picture. What is the width of the frame?
8
Draw picture, picture if 8 by 10
12 12 + 2x
If frame has width x, on both sides, we add 2x
8 + 2x
8 · 12 = 96
Area of the picture, length times width
2 · 96 = 192
Frame is the same as the picture. Total area is double this.
(12 + 2x)(8 + 2x) = 192
Area of everything, length times width
96 + 24x + 16x + 4x2 = 192
FOIL
4x2 + 40x + 96 = 192
Combine like terms
− 192 − 192
Make equation equal to zero by subtracting 192
4x2 + 40x − 96 = 0
Factor out GCF of 4
360

---

4(x2 + 10x − 24) = 0
Factor trinomial
4(x − 2)(x + 12) = 0
Set each factor equal to zero
x − 2 = 0 or x + 12 = 0
Solve each equation
+ 2 + 2
− 12 − 12
x = 2 or − 12
Can′t have negative frame width.
2 inches
Our Solution
Example 489.
A farmer has a field that is 400 rods by 200 rods. He is mowing the field in a
spiral pattern, starting from the outside and working in towards the center. After
an hour of work, 72% of the field is left uncut. What is the size of the ring cut
around the outside?
400 − 2x
Draw picture, outside is 200 by 400
200 − 2x 200
If frame has width x on both sides,
subtract 2x from each side to get center
400
400 · 200 = 80000
Area of entire field, length times width
80000 · (0.72) = 57600
Area of center, multiply by 28% as decimal
(400 − 2x)(200 − 2x) = 57600
Area of center, length times width
80000 − 800x − 400x + 4x2 = 57600
FOIL
4x2 − 1200x + 80000 = 57600
Combine like terms
− 57600 − 57600
Make equation equal zero
4x2 − 1200x + 22400 = 0
Factor out GCF of 4
4(x2 − 300x + 5600) = 0
Factor trinomial
4(x − 280)(x − 20) = 0
Set each factor equal to zero
x − 280 = 0 or x − 20 = 0
Solve each equation
+ 280 + 280
+ 20 + 20
x = 280 or 20
The field is only 200 rods wide,
Can′t cut 280 off two sides!
20 rods
Our Solution
For each of the frame problems above we could have also completed the square or
use the quadratic formula to solve the trinomials. Remember that completing the
square or the quadratic formula always will work when solving, however, factoring
only works if we can factor the trinomial.
361

---

9.7 Practice - Rectangles
1) In a landscape plan, a rectangular flowerbed is designed to be 4 meters longer
than it is wide. If 60 square meters are needed for the plants in the bed, what
should the dimensions of the rectangular bed be?
2) If the side of a square is increased by 5 the area is multiplied by 4. Find the
side of the original square.
3) A rectangular lot is 20 yards longer than it is wide and its area is 2400 square
yards. Find the dimensions of the lot.
4) The length of a room is 8 ft greater than it is width. If each dimension is
increased by 2 ft, the area will be increased by 60 sq. ft. Find the dimensions
of the rooms.
5) The length of a rectangular lot is 4 rods greater than its width, and its area is
60 square rods. Find the dimensions of the lot.
6) The length of a rectangle is 15 ft greater than its width. If each dimension is
decreased by 2 ft, the area will be decreased by 106 ft2. Find the dimensions.
7) A rectangular piece of paper is twice as long as a square piece and 3 inches
wider. The area of the rectangular piece is 108 in2. Find the dimensions of the
square piece.
8) A room is one yard longer than it is wide. At 75c per sq. yd. a covering for
the floor costs S31.50. Find the dimensions of the floor.
9) The area of a rectangle is 48 ft2 and its perimeter is 32 ft. Find its length and
width.
10) The dimensions of a picture inside a frame of uniform width are 12 by 16
inches. If the whole area (picture and frame) is 288 in2, what is the width of
the frame?
11) A mirror 14 inches by 15 inches has a frame of uniform width. If the area of
the frame equals that of the mirror, what is the width of the frame.
12) A lawn is 60 ft by 80 ft. How wide a strip must be cut around it when
mowing the grass to have cut half of it.
13) A grass plot 9 yards long and 6 yards wide has a path of uniform width
around it. If the area of the path is equal to the area of the plot, determine
the width of the path.
14) A landscape architect is designing a rectangular flowerbed to be border with
28 plants that are placed 1 meter apart. He needs an inner rectangular space
in the center for plants that must be 1 meter from the border of the bed and
362

---

that require 24 square meters for planting. What should the overall
dimensions of the flowerbed be?
15) A page is to have a margin of 1 inch, and is to contain 35 in2 of painting.
How large must the page be if the length is to exceed the width by 2 inches?
16) A picture 10 inches long by 8 inches wide has a frame whose area is one half
the area of the picture. What are the outside dimensions of the frame?
17) A rectangular wheat field is 80 rods long by 60 rods wide. A strip of uniform
width is cut around the field, so that half the grain is left standing in the form
of a rectangular plot. How wide is the strip that is cut?
18) A picture 8 inches by 12 inches is placed in a frame of uniform width. If the
area of the frame equals the area of the picture find the width of the frame.
19) A rectangular field 225 ft by 120 ft has a ring of uniform width cut around
the outside edge. The ring leaves 65% of the field uncut in the center. What
is the width of the ring?
20) One Saturday morning George goes out to cut his lot that is 100 ft by 120 ft.
He starts cutting around the outside boundary spiraling around towards the
center. By noon he has cut 60% of the lawn. What is the width of the ring
that he has cut?
21) A frame is 15 in by 25 in and is of uniform width. The inside of the frame
leaves 75% of the total area available for the picture. What is the width of the
frame?
22) A farmer has a field 180 ft by 240 ft. He wants to increase the area of the
field by 50% by cultivating a band of uniform width around the outside. How
wide a band should he cultivate?
23) The farmer in the previous problem has a neighber who has a field 325 ft by
420 ft. His neighbor wants to increase the size of his field by 20% by
cultivating a band of uniform width around the outside of his lot. How wide a
band should his neighbor cultivate?
24) A third farmer has a field that is 500 ft by 550 ft. He wants to increase his
field by 20%. How wide a ring should he cultivate around the outside of his
field?
25) Donna has a garden that is 30 ft by 36 ft. She wants to increase the size of
the garden by 40%. How wide a ring around the outside should she cultivate?
26) A picture is 12 in by 25 in and is surrounded by a frame of uniform width.
The area of the frame is 30% of the area of the picture. How wide is the
frame?
363

---

9.8
Quadratics - Teamwork
Objective: Solve teamwork problems by creating a rational equation to
model the problem.
If it takes one person 4 hours to paint a room and another person 12 hours to
paint the same room, working together they could paint the room even quicker, it
turns out they would paint the room in 3 hours together. This can be reasoned by
the following logic, if the first person paints the room in 4 hours, she paints 1 of
4
the room each hour. If the second person takes 12 hours to paint the room, he
paints 1 of the room each hour. So together, each hour they paint 1 + 1 of the
12
4
12
room. Using a common denominator of 12 gives: 3 + 1 = 4 = 1. This means
12
12
12
3
each hour, working together they complete 1 of the room. If 1 is completed each
3
3
hour, it follows that it will take 3 hours to complete the entire room.
This pattern is used to solve teamwork problems. If the first person does a job in
A, a second person does a job in B, and together they can do a job in T (total).
We can use the team work equation.
1
1
1
Teamwork Equation:
+
=
A
B
T
Often these problems will involve fractions. Rather than thinking of the first frac-
tion as 1 , it may be better to think of it as the reciprocal of A’s time.
A
World View Note: When the Egyptians, who were the first to work with frac-
tions, wrote fractions, they were all unit fractions (numerator of one). They only
used these type of fractions for about 2000 years! Some believe that this cumber-
some style of using fractions was used for so long out of tradition, others believe
the Egyptians had a way of thinking about and working with fractions that has
been completely lost in history.
Example 490.
Adam can clean a room in 3 hours. If his sister Maria helps, they can clean it in
2 2 hours. How long will it take Maria to do the job alone?
5
2
12
2
2 =
Together time, 2 , needs to be converted to fraction
5
5
5
5
Adan: 3, Maria: x, Total:
Clearly state times for each and total, using x for Maria
12
364

---

1
1
5
+
=
Using reciprocals, add the individual times gives total
3
x
12
1(12x)
1(12x)
5(12x)
+
=
Multiply each term by LCD of 12x
3
x
12
4x + 12 = 5x
Reduce each fraction
− 4x
− 4x
Move variables to one side, subtracting 4x
12 = x
Our solution for x
It takes Maria 12 hours
Our Solution
Somtimes we only know how two people’s times are related to eachother as in the
next example.
Example 491.
Mike takes twice as long as Rachel to complete a project. Together they can com-
plete the project in 10 hours. How long will it take each of them to complete the
project alone?
Mike: 2x, Rachel: x, Total: 10
Clearly define variables. If Rachel is x, Mike is 2x
1
1
1
+
=
Using reciprocals, add individal times equaling total
2x
x
10
1(10x)
1(10x)
1(10x)
+
=
Multiply each term by LCD, 10x
2x
x
10
5 + 10 = x
Combine like terms
15 = x
We have our x, we said x was Rachel′s time
2(15) = 30
Mike is double Rachel, this gives Mike′s time.
Mike: 30 hr, Rachel: 15hr
Our Solution
With problems such as these we will often end up with a quadratic to solve.
Example 492.
Brittney can build a large shed in 10 days less than Cosmo can. If they built it
together it would take them 12 days. How long would it take each of them
working alone?
Britney: x − 10, Cosmo: x, Total: 12
If Cosmo is x, Britney is x − 10
1
1
1
+
=
Using reciprocals, make equation
x − 10
x
12
365

---

1(12x(x − 10))
1(12x(x − 10))
1(12x(x − 10))
+
=
Multiply by LCD: 12x(x − 10)
x − 10
x
12
12x + 12(x − 10) = x(x − 10)
Reduce fraction
12x + 12x − 120 = x2 − 10x
Distribute
24x − 120 = x2 − 10x
Combine like terms
− 24x + 120 − 24x + 120
Move all terms to one side
0 = x2 − 34x + 120
Factor
0 = (x − 30)(x − 4)
Set each factor equal to zero
x − 30 = 0 or x − 4 = 0
Solve each equation
+ 30 + 30
+ 4 + 4
x = 30 or x = 4
This, x, was defined as Cosmo.
30 − 10 = 20 or 4 − 10 = − 6
Find Britney, can′t have negative time
Britney: 20 days, Cosmo: 30 days
Our Solution
In the previous example, when solving, one of the possible times ended up nega-
tive. We can’t have a negative amount of time to build a shed, so this possibility
is ignored for this problem. Also, as we were solving, we had to factor x2 − 34x +
120. This may have been difficult to factor. We could have also chosen to com-
plete the square or use the quadratic formula to find our solutions.
It is important that units match as we solve problems. This means we may have
to convert minutes into hours to match the other units given in the problem.
Example 493.
An electrician can complete a job in one hour less than his apprentice. Together
they do the job in 1 hour and 12 minutes. How long would it take each of them
working alone?
12
1 hr 12 min = 1
hr
Change 1 hour 12 minutes to mixed number
60
12
1
6
1
= 1 =
Reduce and convert to fraction
60
5
5
6
Electrician: x − 1, Apprentice: x, Total:
Clearly define variables
5
1
1
5
+
=
Using reciprocals, make equation
x − 1
x
6
1(6x(x − 1))
1(6x(x − 1))
5(6x(x − 1)
+
=
Multiply each term by LCD 6x(x − 1)
x − 1
x
6
366

---

6x + 6(x − 1) = 5x(x − 1)
Reduce each fraction
6x + 6x − 6 = 5x2 − 5x
Distribute
12x − 6 = 5x2 − 5x
Combine like terms
− 12x + 6 − 12x + 6
Move all terms to one side of equation
0 = 5x2 − 17x + 6
Factor
0 = (5x − 2)(x − 3)
Set each factor equal to zero
5x − 2 = 0 or x − 3 = 0
Solve each equation
+ 2 + 2
+ 3 + 3
5x = 2 or x = 3
5
5
2
x =
or x = 3
Subtract 1 from each to find electrician
5
2
− 3
− 1 =
or 3 − 1 = 2
Ignore negative.
5
5
Electrician: 2 hr, Apprentice: 3 hours
Our Solution
Very similar to a teamwork problem is when the two involved parts are working
against each other. A common example of this is a sink that is filled by a pipe
and emptied by a drain. If they are working against eachother we need to make
one of the values negative to show they oppose eachother. This is shown in the
next example..
Example 494.
A sink can be filled by a pipe in 5 minutes but it takes 7 minutes to drain a full
sink. If both the pipe and the drain are open, how long will it take to fill the
sink?
Sink: 5, Drain: 7, Total: x
Define variables, drain is negative
1
1
1
− =
Using reciprocals to make equation,
5
7
x
Subtract because they are opposite
1(35x)
1(35x)
1(35x)
−
=
Multiply each term by LCD: 35x
5
7
x
7x − 5x = 35
Reduce fractions
2x = 35
Combine like terms
2
2
Divide each term by 2
x = 17.5
Our answer for x
17.5 min or 17 min 30 sec
Our Solution
367

---

9.8 Practice - Teamwork
1) Bills father can paint a room in two hours less than Bill can paint it. Working
together they can complete the job in two hours and 24 minutes. How much
time would each require working alone?
2) Of two inlet pipes, the smaller pipe takes four hours longer than the larger pipe
to fill a pool. When both pipes are open, the pool is filled in three hours and
forty-five minutes. If only the larger pipe is open, how many hours are required
to fill the pool?
3) Jack can wash and wax the family car in one hour less than Bob can. The two
working together can complete the job in 1 1 hours. How much time would
5
each require if they worked alone?
4) If A can do a piece of work alone in 6 days and B can do it alone in 4 days,
how long will it take the two working together to complete the job?
5) Working alone it takes John 8 hours longer than Carlos to do a job. Working
together they can do the job in 3 hours. How long will it take each to do the
job working alone?
6) A can do a piece of work in 3 days, B in 4 days, and C in 5 days each working
alone. How long will it take them to do it working together?
7) A can do a piece of work in 4 days and B can do it in half the time. How long
will it take them to do the work together?
8) A cistern can be filled by one pipe in 20 minutes and by another in 30 minutes.
How long will it take both pipes together to fill the tank?
9) If A can do a piece of work in 24 days and A and B together can do it in 6
days, how long would it take B to do the work alone?
10) A carpenter and his assistant can do a piece of work in 3 3 days. If the
4
carpenter himself could do the work alone in 5 days, how long would the
assistant take to do the work alone?
11) If Sam can do a certain job in 3 days, while it takes Fred 6 days to do the
same job, how long will it take them, working together, to complete the job?
12) Tim can finish a certain job in 10 hours. It take his wife JoAnn only 8 hours
to do the same job. If they work together, how long will it take them to
complete the job?
13) Two people working together can complete a job in 6 hours. If one of them
works twice as fast as the other, how long would it take the faster person,
working alone, to do the job?
14) If two people working together can do a job in 3 hours, how long will it take
the slower person to do the same job if one of them is 3 times as fast as the
other?
15) A water tank can be filled by an inlet pipe in 8 hours. It takes twice that long
for the outlet pipe to empty the tank. How long will it take to fill the tank if
both pipes are open?
368

---

16) A sink can be filled from the faucet in 5 minutes. It takes only 3 minutes to
empty the sink when the drain is open. If the sink is full and both the faucet
and the drain are open, how long will it take to empty the sink?
17) It takes 10 hours to fill a pool with the inlet pipe. It can be emptied in 15 hrs
with the outlet pipe. If the pool is half full to begin with, how long will it
take to fill it from there if both pipes are open?
18) A sink is 1 full when both the faucet and the drain are opened. The faucet
4
alone can fill the sink in 6 minutes, while it takes 8 minutes to empty it with
the drain. How long will it take to fill the remaining 3 of the sink?
4
19) A sink has two faucets, one for hot water and one for cold water. The sink
can be filled by a cold-water faucet in 3.5 minutes. If both faucets are open,
the sink is filled in 2.1 minutes. How long does it take to fill the sink with just
the hot-water faucet open?
20) A water tank is being filled by two inlet pipes. Pipe A can fill the tank in 4 12
hrs, while both pipes together can fill the tank in 2 hours. How long does it
take to fill the tank using only pipe B?
21) A tank can be emptied by any one of three caps. The first can empty the
tank in 20 minutes while the second takes 32 minutes. If all three working
together could empty the tank in 8 8 minutes, how long would the third take
59
to empty the tank?
22) One pipe can fill a cistern in 1 1 hours while a second pipe can fill it in 2 1 hrs.
2
3
Three pipes working together fill the cistern in 42 minutes. How long would it
take the third pipe alone to fill the tank?
23) Sam takes 6 hours longer than Susan to wax a floor. Working together they
can wax the floor in 4 hours. How long will it take each of them working
alone to wax the floor?
24) It takes Robert 9 hours longer than Paul to rapair a transmission. If it takes
them 2 2 hours to do the job if they work together, how long will it take each
5
of them working alone?
25) It takes Sally 10 1 minutes longer than Patricia to clean up their dorm room.
2
If they work together they can clean it in 5 minutes. How long will it take
each of them if they work alone?
26) A takes 7 1 minutes longer than B to do a job. Working together they can do
2
the job in 9 minutes. How long does it take each working alone?
27) Secretary A takes 6 minutes longer than Secretary B to type 10 pages of
manuscript. If they divide the job and work together it will take them 8 34
minutes to type 10 pages. How long will it take each working alone to type
the 10 pages?
28) It takes John 24 minutes longer than Sally to mow the lawn. If they work
together they can mow the lawn in 9 minutes. How long will it take each to
mow the lawn if they work alone?
369

---

9.9
Quadratics - Simultaneous Products
Objective: Solve simultaneous product equations using substitution to
create a rational equation.
When solving a system of equations where the variables are multiplied together
we can use the same idea of substitution that we used with linear equations.
When we do so we may end up with a quadratic equation to solve. When we used
substitution we solved for a variable and substitute this expression into the other
equation. If we have two products we will choose a variable to solve for first and
divide both sides of the equations by that variable or the factor containing the
variable. This will create a situation where substitution can easily be done.
Example 495.
xy = 48
To solve for x, divide first
(x + 3)(y − 2) = 54
equation by x, second by x + 3
48
54
48
y =
and y − 2 =
Substitute
for y in the second equation
x
x + 3
x
48
54
− 2 =
Multiply each term by LCD: x(x + 3)
x
x + 3
48x(x + 3)
54x(x + 3)
− 2x(x + 3) =
Reduce each fraction
x
x + 3
48(x + 3) − 2x(x + 3) = 54x
Distribute
48x + 144 − 2x2 − 6x = 54x
Combine like terms
− 2x2 + 42x + 144 = 54x
Make equation equal zero
− 54x
− 54x
Subtract 54x from both sides
− 2x2 − 12x + 144 = 0
Divide each term by GCF of − 2
x2 + 6x − 72 = 0
Factor
(x − 6)(x + 12) = 0
Set each factor equal to zero
x − 6 = 0 or x + 12 = 0
Solve each equation
+ 6 + 6
− 12 − 12
x = 6 or x = − 12
Substitute each solution into xy = 48
6y = 48 or − 12y = 48
Solve each equation
6
6
− 12 − 12
y = 8 or y = − 4
Our solutions for y,
(6, 8) or ( − 12, − 4)
Our Solutions as ordered pairs
370

---

These simultaneous product equations will also solve by the exact same pattern.
We pick a variable to solve for, divide each side by that variable, or factor con-
taining the variable. This will allow us to use substitution to create a rational
expression we can use to solve. Quite often these problems will have two solu-
tions.
Example 496.
xy = − 35
To solve for x, divide the first
(x + 6)(y − 2) = 5
equation by x, second by x + 6
− 35
5
− 35
y =
and y − 2 =
Substitute
for y in the second equation
x
x + 6
x
− 35
5
− 2 =
Multiply each term by LCD: x(x + 6)
x
x + 6
− 35x(x + 6)
5x(x + 6)
− 2x(x + 6) =
Reduce fractions
x
x + 6
− 35(x + 6) − 2x(x + 6) = 5x
Distribute
− 35x − 210 − 2x2 − 12x = 5x
Combine like terms
− 2x2 − 47x − 210 = 5x
Make equation equal zero
− 5x
− 5x
− 2x2 − 52x − 210 = 0
Divide each term by − 2
x2 + 26x + 105 = 0
Factor
(x + 5)(x + 21) = 0
Set each factor equal to zero
x + 5 = 0 or x + 21 = 0
Solve each equation
− 5 − 5
− 21 − 21
x = − 5 or x = − 21
Substitute each solution into xy = − 35
− 5y = − 35 or − 21y = − 35
Solve each equation
− 5
− 5
− 21 − 21
5
y = 7 or y =
Our solutions for y
3

5 
( − 5, 7) or
− 21,
Our Solutions as ordered pairs
3
The processes used here will be used as we solve applications of quadratics
including distance problems and revenue problems. These will be covered in
another section.
World View Note: William Horner, a British mathematician from the late 18th
century/early 19th century is credited with a method for solving simultaneous
equations, however, Chinese mathematician Chu Shih-chieh in 1303 solved these
equations with exponents as high as 14!
371

---

9.9 Practice - Simultaneous Product
Solve.
1)
xy = 72
2)
xy = 180
(x + 2)(y − 4) = 128
(x − 1)(y − 1) = 205
2
3)
xy = 150
4)
xy = 120
(x&